Почему максимальное время полета (выносливость) не совпадает с максимальной рабочей точкой L/D?

Максимальное время выдержки или максимальная выносливость имеют место, когда требуемая мощность минимальна. Следовательно, в этом случае максимальная выносливая скорость - это скорость, при которой требуемая мощность минимальна, а в случае максимальной дальней скорости требуемая тяга минимальна.

Для максимальной выносливости мы должны минимизировать расход топлива в единицу времени, т.е. расход топлива. Для максимальной дальности мы должны минимизировать расход топлива на единицу пройденного расстояния.

В случае винтовых самолетов расход топлива пропорционален производимой мощности. Следовательно, максимальная выносливость возникает в точке, где мощность минимальна. Для (турбо)реактивных двигателей минимальный расход топлива возникает при минимальной тяге. Следовательно, максимальная выносливость достигается, когда L/D максимально. Для турбовентиляторов это где-то посередине.

---

Рассмотрим винтовой самолет в устойчивом горизонтальном полете. Для определения условия, при котором затраты энергии минимальны, имеем

$P = W (\frac{C_{D}}{C_{L}})V$

минимальна. Для установившегося полета имеем

$V = \sqrt{\frac{W}{\frac{1}{2} \rho S C_{L}}}$

Это дает,

$P = \sqrt{\frac{W}{\frac{1}{2} \rho S}}(\frac{C_{D}}{C_{L}^{\frac{3}{2}}})$

Таким образом, для винтовых самолетов минимальная мощность и максимальная выносливость имеют место при$\frac{C_{L}^{\frac{3}{2}}}{C_{D}}$, скорее, чем$\frac{C_{L}}{C_{D}}$является максимальным. В связи с этим условие минимальной мощности (максимальной выносливости) возникает при скорости, составляющей 76% от условия минимального сопротивления (максимальной дальности).

Изображение с сайта eaa1000.av.org

Также смотрите здесь и здесь

---

Тяга — это сила, которая приводит в движение самолет. В установившемся горизонтальном полете это равно лобовому сопротивлению (если оно больше/меньше, самолет будет ускоряться/тормозиться). Мощность — это скорость выполнения работы, т. е. энергия, потребляемая в единицу времени, или скорость расхода энергии (силовой установкой переменного тока). Вот почему мы рассматриваем минимальную мощность, т.е. скорость расхода энергии для определения выносливости.

Мощность есть произведение силы (тяги) и скорости. Подумайте об этом так: по мере увеличения скорости сопротивление уменьшается, достигает минимума, а затем увеличивается. Однако, поскольку мощность является произведением лобового сопротивления (т.е. тяги) и скорости, она также следует аналогичному пути; однако минимум достигается до минимального сопротивления. Эта скорость дает максимальную выносливость.

Для реактивных самолетов скорости другие. При этом скорость, соответствующая минимальной$\frac{C_{L}}{C_{D}}$дает максимальную выносливость, а скорость, соответствующая$\frac{C_{L}^{\frac{1}{2}}}{C_{D}}$дает максимальную дальность. Также см. здесь

Полярная точка максимального времени полета совпадает с точкой минимального сопротивления только тогда, когда тяга двигателя не изменяется со скоростью. Это примерно верно для чистых ТРД и ракет. Если создание тяги связано с ускорением большого массового потока воздуха, то уменьшение тяги с увеличением скорости при заданной мощности двигателя смещает оптимум в сторону более низких скоростей.

Для более общей цели оптимизации нам нужно минимизировать не сопротивление, а расход топлива. Поскольку тяга зависит от расхода топлива для винтовых и двухконтурных двигателей (как и для прямоточных воздушно-реактивных двигателей ), ее можно рассчитать, когда мы моделируем тягу.$T$превышение скорости$v$в качестве$T \varpropto v^{n_v}$с$n_v$отрицательное число для винтовых и турбовентиляторных двигателей и положительное для прямоточных воздушно-реактивных двигателей.

Начиная с положения равновесия в установившемся полете

$$T_0\cdot v^{n_v} = c_D\cdot\frac{\rho}{2}\cdot v^2\cdot S$$ мы можем выразить скорость $v$по коэффициенту подъемной силы $c_L$ $$T_0 = c_D\cdot\left(\frac{\rho}{2}\cdot S\right)^{\frac{n_v}{2}}\cdot\left(\frac{m\cdot g}{c_L}\right)^{1-\frac{n_v}{2}}$$

$T_0$является эталонной тягой на определенной скорости и зависит только от расхода топлива. Вы можете видеть его так же, как и настройку тяги, и мы хотим свести это к минимуму. Поэтому мы аппроксимируем коэффициент лобового сопротивления квадратичной полярой ($c_D = c_{D0} + \frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon}$), продифференцируем правую часть уравнения по$c_L$и ищем коэффициент подъемной силы, при котором он равен нулю:

$$0 = \frac{n_v-2}{2}\cdot c_{D0}\cdot c_L^{\frac{n_v-4}{2}} + \frac{n_v+2}{2\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon}\cdot c_L^{\frac{n_v}{2}}$$ $$\Leftrightarrow c_L = \sqrt{\frac{2-n_v}{n_v+2}\cdot\pi\cdot AR\cdot\epsilon\cdot c_{D0}}$$ Само по себе это еще не полезно, но если мы посмотрим на соотношение компонентов сопротивления при определенных значениях $n_v$, ответ становится очевидным: $$c_{Di} = \frac{c_L^2}{\pi\cdot AR\cdot\epsilon} = \frac{2-n_v}{n_v+2}\cdot c_{D0}$$ Винтовые самолеты ( $n_v$= -1): $c_{Di} = 3\cdot c_{D0} \Rightarrow$76% скорости для наименьшего сопротивления

Турбовентиляторный самолет ($n_v$= -0,5):$c_{Di} = \frac{5}{3}\cdot c_{D0} \Rightarrow$88% скорости для минимального сопротивления

Турбореактивный самолет ($n_v$= 0):$c_{Di} = c_{D0} \Rightarrow$100% скорости для минимального сопротивления

Для оптимальной скорости ожидания индуктивное сопротивление винтового самолета должно быть в три раза больше, чем сопротивление при нулевой подъемной силе. Поскольку индуктивное сопротивление падает с увеличением скорости , только для турбореактивных двигателей оптимальная полярная точка для максимальной продолжительности полета будет равна точке при наименьшем сопротивлении.

Номенклатура:
$c_L \:\:\:$коэффициент подъемной силы
$n_v \:\:\:$показатель тяги, как в$T = T_0\cdot v^{n_v}$
$\pi \:\:\:\:\:$3.14159$\dots$
$AR \:\:$удлинение крыла
$\epsilon \:\:\:\:\:$фактор Освальда крыла
$c_{D0} \:$коэффициент сопротивления при нулевой подъемной силе
$c_{Di} \:\:$коэффициент индуктивного сопротивления