Имеет ли GL(N,R)GL⁡(N,R)\operatorname{GL}(N,\mathbb{R}) спинорное представление? Какая группа является его покрывающей группой? (учебник Каку по QFT)

На странице 54 учебника QFT Каку есть поговорка:

$\operatorname{GL}(N)$не имеет конечномерного спинориального представления.

Это подразумевает, что$\operatorname{GL}(N)$владеет бесконечномерным спинориальным представлением. В то время как, на мой взгляд, спинориальное представление группы — это представление ее универсальной покрывающей группы. И связанный компонент$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$($n>2$) группа не является односвязной, а ее фундаментальная группа$\mathbb{Z}_2$. Итак, какая группа является его прикрывающей группой?

Мой вопрос:

1. Поскольку связанная компонента$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$($n>2$) группа не является односвязной и согласно теореме Ли существует простая связная группа Ли, алгебра Ли которой равна$\mathfrak{gl}(n,\mathbb{R})$, то что это за покрывающая группа$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$? Хотя я не могу себе представить, какая группа может покрыть$\operatorname{GL}(n,\mathbb{R})$.

2. Теперь, когда$\operatorname{GL}(N)$владеет бесконечномерным спинориальным представлением, может показать мне явно, или дать мне какую-нибудь ссылку, решившую эту проблему.