Классическое доказательство гиромагнитного отношения g = 2 g = 2

Question

Классическое доказательство гиромагнитного отношения g = 2 g = 2

Физика
Электроны
Угловой-момент
Дипольный-момент
Квантово-спиновой
Классическая-механика

AccidentalFourierTransform

Я читал « Представление электронов: биографический подход к теоретическим сущностям» Теодора Арабациса.

В определенный момент, когда он объясняет историю магнитного момента электрона, он описывает процесс, который привел к

μ знак равно грамм \frac{е}{2 м} S

Орбитальный магнитный момент удовлетворяет приведенному выше соотношению с $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $грамм знак равно 1$ ; каким-то образом спиновый магнитный момент имеет $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ , На странице 226 он утверждает, что (выделение мое):

Таким образом, электрон приобрел собственный магнитный момент (один магнит Бора), который был в два раза больше его магнитного момента из-за его орбитального движения. Возник вопрос, можно ли это свойство учитывать в классическом электромагнитном представлении электрона . Действительно, по предложению Эренфеста Уленбеку удалось объяснить это свойство, воспользовавшись анализом Авраама гиромагнитного отношения сферического (поверхностного) распределения заряда. В предположении, что электрон представляет собой вращающуюся сферу, заряд которой распределен по его поверхности, следует требуемое значение его магнитного момента.

Если я правильно понимаю, автор говорит, что если мы думаем об электроне как о сфере с поверхностным распределением заряда, мы должны получить $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ фактор, используя исключительно классические аргументы . Дело в том, что я пытался это проверить, и мой результат заключается в том, что $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $грамм знак равно 1$ ,

Мой анализ выглядит следующим образом: предположим, что электрон представляет собой твердую сферу с массой $m$ $m$ $м$ и радиус $r_{e}$ $r_{e}$ $r_{e}$ $r_{e}$ $р_{е}$ ; тогда его момент инерции

я знак равно \frac{2}{5} м р_{е}^{2}

Если предположить, что электрон вращается с угловой частотой $ω$ $ω$ $ω$ , мы находим, что спиновый момент импульса

S знак равно я ω знак равно \frac{2}{5} м р_{е}^{2} ω

С другой стороны, магнитный момент полой заряженной сферы

μ знак равно \frac{1}{5} е р_{е}^{2} ω

Наконец, соотношение $μ$ $μ$ $μ$ в $S$ $S$ $S$ является

\frac{μ}{S} знак равно \frac{1}{5} е р_{е}^{2} ω \frac{5}{2} \frac{1}{м р_{е}^{2} ω} знак равно \frac{е}{2 м}

что обозначает

g = 1

g = 1

g = 1

g = 1

грамм знак равно 1

,

Мой вопрос: где мой анализ не удался?

На самом деле, то же самое относится и к Джорджу Уленбеку и открытию спина электрона Абрахамом Паисом:

Следуя подсказке Эренфеста, Джордж обнаружил в старой статье Макса Абрахама, что электрон, рассматриваемый как жесткая сфера с только поверхностным зарядом, имеет $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ ,

Поскольку А. Паис является уважаемым историком науки, я должен верить, что это утверждение является точным, но я все еще не могу доказать это (скорее) простое утверждение. Есть ли вероятность того, что претензия является ложной? Или это можно как-то доказать $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ верно для классической сферы?

AccidentalFourierTransform

Примечание: я уже знаю, что

g = 2

g = 2

g = 2

g = 2

грамм знак равно 2

очень хорошо объяснено квантовой механикой; мой вопрос: может ли это быть объяснено, как говорит автор, классической механикой? Я обнаружил, что это не может быть объяснено твердой сферой, но я считаю, что автор должен быть прав, поэтому в какой момент мой анализ потерпел неудачу?

Ян Лалинский

Ваш первый расчет использует нерелятивистскую формулу для углового момента

I ω

I ω

I ω

I ω

я ω

, Поскольку второй расчет показывает, что необходим размер сферы

r_{e}

r_{e}

r_{e}

r_{e}

р_{е}

и угловой момент

ℏ

ℏ

ℏ

Подразумевая сверхсветовую скорость поверхности сферы, вы установили множество предположений в нарушение специальной теории относительности. Вы можете восстановить либо, увеличив

r_{e}

r_{e}

r_{e}

r_{e}

р_{е}

так, чтобы применилась нерелятивистская формула, или повторите расчет с помощью релятивистской формулы для момента импульса. Вы должны быть в состоянии получить произвольно высокий момент импульса, в то время как все части сферы имеют сверхсветовые скорости.

AccidentalFourierTransform

@ ЯнЛалински спасибо за ваш ответ. «Повторить расчет с помощью релятивистской формулы для момента импульса» невозможно (я полагаю), потому что концепция твердого тела недействительна в СТО (поэтому нет релятивистского обобщения

I ω

I ω

I ω

I ω

я ω

). Если мы (как и предполагал Уленбек) хотим вычислить гиромагнитное отношение электрона, как если бы оно было твердой сферой, мы должны согласиться с нерелятивистской механикой (тот факт, что

v > c

v > c

v > с

вероятно означает, что проблема некорректна с самого начала. Возможно, утверждение автора неточно?).

Владимир

Используете ли вы полую сферу или сферу, заполненную равномерно распределенной массой и зарядом? Из вашего описания кажется, что вы смешиваете это, масса распределяется, а заряд находится полностью на поверхности.

Ян Лалинский

«концепция твердого тела недействительна в SR (поэтому нет релятивистского обобщения Iω)», это истинное тело не может быть жестким (недеформируемым) в SR, но вам нужно только предположение о жестком стационарном вращении, которое делает не противоречит СР. Или вы можете попытаться создать и проанализировать нежесткую модель частицы, но это становится очень быстро.

Ответы (4)

Классическое доказательство гиромагнитного отношения g = 2 g = 2

Примечание: я уже знаю, что $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ очень хорошо объяснено квантовой механикой; мой вопрос: может ли это быть объяснено, как говорит автор, классической механикой? Я обнаружил, что это не может быть объяснено твердой сферой, но я считаю, что автор должен быть прав, поэтому в какой момент мой анализ потерпел неудачу?
Ваш первый расчет использует нерелятивистскую формулу для углового момента $I ω$ $I ω$ $I ω$ $I ω$ $я ω$ , Поскольку второй расчет показывает, что необходим размер сферы $r_{e}$ $r_{e}$ $r_{e}$ $r_{e}$ $р_{е}$ и угловой момент $ℏ$ $ℏ$ $ℏ$ Подразумевая сверхсветовую скорость поверхности сферы, вы установили множество предположений в нарушение специальной теории относительности. Вы можете восстановить либо, увеличив $r_{e}$ $r_{e}$ $r_{e}$ $r_{e}$ $р_{е}$ так, чтобы применилась нерелятивистская формула, или повторите расчет с помощью релятивистской формулы для момента импульса. Вы должны быть в состоянии получить произвольно высокий момент импульса, в то время как все части сферы имеют сверхсветовые скорости.
@ ЯнЛалински спасибо за ваш ответ. «Повторить расчет с помощью релятивистской формулы для момента импульса» невозможно (я полагаю), потому что концепция твердого тела недействительна в СТО (поэтому нет релятивистского обобщения $I ω$ $I ω$ $I ω$ $I ω$ $я ω$ ). Если мы (как и предполагал Уленбек) хотим вычислить гиромагнитное отношение электрона, как если бы оно было твердой сферой, мы должны согласиться с нерелятивистской механикой (тот факт, что $v > c$ $v > c$ $v > с$ вероятно означает, что проблема некорректна с самого начала. Возможно, утверждение автора неточно?).
Используете ли вы полую сферу или сферу, заполненную равномерно распределенной массой и зарядом? Из вашего описания кажется, что вы смешиваете это, масса распределяется, а заряд находится полностью на поверхности.
«концепция твердого тела недействительна в SR (поэтому нет релятивистского обобщения Iω)», это истинное тело не может быть жестким (недеформируемым) в SR, но вам нужно только предположение о жестком стационарном вращении, которое делает не противоречит СР. Или вы можете попытаться создать и проанализировать нежесткую модель частицы, но это становится очень быстро.

Ilja · Answer 1

Я прошел без ответа вопросы и наткнулся на это ...
Вы нашли оригинальные книги?

Ошибка должна быть в вашей формуле для $μ$ $μ$ $μ$ полой сферы; значение с $1 / 5$ $1 / 5$ $1 / 5$ Вы дали это из твердой сферы ...
Я думаю, что проблема становится более простой, если сравнить две вещи напрямую:

Вы получаете оба, угловой момент и $μ$ $μ$ $μ$ из сильно аналогичных интегралов по всем точкам, в которых существует $r^{2} d m$ $r^{2} d m$ $r^{2} d m$ $r^{2} d m$ $r^{2} d m$ $r^{2} d m$ $р^{2} d м$ или $r^{2} d q$ $r^{2} d q$ $r^{2} d q$ $r^{2} d q$ $r^{2} d q$ $r^{2} d q$ $р^{2} d Q$ :

S знак равно я ω знак равно ω \int р^{2} d м

и с определением

d μ

d μ

d μ

как текущее время огороженная территория:

μ знак равно \int d μ знак равно \int d я знак равно \int π р^{2} \cdot \frac{d Q}{T} знак равно \int π р^{2} \cdot \frac{d Q}{2 π} ω знак равно \frac{ω}{2} \int р^{2} d Q

G-фактор определяется как единица, если заряды совпадают с массами (отношение их плотностей везде одинаково), то есть определение учитывает $1 / 2$ $1 / 2$ $1 / 2$ во второй формуле.

Таким образом, если вы распределяете заряд дальше от оси, на которой находится масса, вы получаете g-фактор больше единицы. Интегралы всегда эквивалентны и зависят от геометрии распределения.
Для той же геометрии вы всегда получите предварительный фактор для интерции, который в два раза больше коэффициента для магнитного момента - и, следовательно, по определению $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $грамм знак равно 1$ ,

Теперь прибывает странная вещь: предварительный фактор в момент инерции полной сферы $1 / 5$ $1 / 5$ $1 / 5$ и для полой сферы $1 / 3$ $1 / 3$ $1 / 3$ , Таким образом, g-фактор с распределением массы в сфере и заряда на оболочке дает $g = 5 / 3$ $g = 5 / 3$ $g = 5 / 3$ $g = 5 / 3$ $грамм знак равно 5 / 3$ ,
Это явно противоречит утверждению, что оно равно двум. Это объясняет, что оно больше единицы.
Может быть, тогда они не могли измерить $g$ $g$ $грамм$ так хорошо и видел только, что он значительно больше единицы, и поэтому мог бы объяснить хотя бы это ...?

Таким образом, дело в том , что заряды находятся дальше от оси, чем массы. Сфера - это просто хороший пример, который объясняет (измеренный) фактор больше единицы красивым / правдоподобным распределением.

... Аргумент с релятивистскими скоростями (из комментариев) идет в другом направлении: поскольку другие измерения предполагают максимальный радиус для электрона, вы можете вычислить необходимые скорости, что опровергает наивное объяснение спина (для обоих: инерция и магнитный аспект (это не имеет ничего общего с их соотношением) как реального движения.

Но момент инерции полой сферы $2 / 3$ $2 / 3$ $2 / 3$ не $4 / 5$ $4 / 5$ $4 / 5$ ,
Вы правы ... Я сделал расчет и отредактировал пост. Но, тем не менее, я убежден, что основной момент, который в комментариях казался не очевидным: магнитный момент, например, рассчитывается как текущее время, и, таким образом, для фиксированного значения $ω$ $ω$ $ω$ пропорционально $r^{2} q$ $r^{2} q$ $r^{2} q$ $r^{2} q$ $r^{2} q$ $r^{2} q$ $р^{2} Q$ , аналогично моменту инерции.
@Илья (+1) Большое спасибо за проявленный интерес. Я должен сказать, что я довольно уверен в своей ценности для $μ$ $μ$ $μ$ (Я сомневаюсь, что это в два раза больше), потому что я нашел тот же результат на многих страницах онлайн (если я гуглю magnetic moment of hollow sphere я нахожу то же значение $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ = \frac{1}{5} e r^{2} ω$ $μ знак равно \frac{1}{5} е р^{2} ω$ где угодно...).
... это странно; Я тоже попытался найти его в Google, и нашел статью, на которую вы ссылались, в исходном вопросе, а в ее заголовке есть «полная сфера» ... Я отредактировал пост, чтобы разъяснить причины. Я не понимаю, где это может быть не так, и мы должны прочитать оригиналы, чтобы понять, что они имели в виду ...

AccidentalFourierTransform · Answer 2

Кажется, некоторым людям понравился этот вопрос, поэтому я пока оставлю свои мысли. У меня нет однозначного ответа, но я получил интересные результаты.

Позволять $ρ_{m} (r)$ $ρ_{m} (r)$ $ρ_{m} (r)$ $ρ_{m} (r)$ $ρ_{m} (r)$ $ρ_{m} (r)$ $ρ_{м} (р)$ и $ρ_{e} (r)$ $ρ_{e} (r)$ $ρ_{e} (r)$ $ρ_{e} (r)$ $ρ_{e} (r)$ $ρ_{e} (r)$ $ρ_{е} (р)$ быть массы и плотности заряда электрона. $g$ $g$ $грамм$ фактор определяется

\begin{matrix} (1) & грамм знак равно \frac{м}{е} \frac{\int d р р^{2} грех θ ρ_{м} (р)}{\int d р р^{2} грех θ ρ_{е} (р)} \end{matrix}

Из этого легко увидеть, что если $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{m} \propto ρ_{e}$ $ρ_{м} α ρ_{е}$ , мы получаем $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $грамм знак равно 1$ , Это означает, что если мы имеем твердую сферу с постоянной плотностью заряда и постоянной массой, то $g$ $g$ $грамм$ коэффициент равен 1; Полая сфера с поверхностным зарядом также имеет $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $g = 1$ $грамм знак равно 1$ , Если мы хотим $g \neq 1$ $g \neq 1$ $g \neq 1$ $g \neq 1$ $грамм \neq 1$ мы должны взять плотность заряда, которая не пропорциональна плотности массы.

Первая модель, которая приходит в голову, это взять объемную массовую плотность и поверхностный заряд, то есть заполненную сферу с ее зарядом на поверхности:

\begin{aligned} ρ_{м} & знак равно \frac{м}{В} Θ (р - р) \\ (2) & ρ_{е} & знак равно \frac{е}{S} δ (р - р) \end{aligned}

где

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

V = \frac{4}{3} π R^{3}

В знак равно \frac{4}{3} π р^{3}

и

S = 4 π R^{2}

S = 4 π R^{2}

S = 4 π R^{2}

S = 4 π R^{2}

S = 4 π R^{2}

S = 4 π R^{2}

S = 4 π R^{2}

S = 4 π R^{2}

S знак равно 4 π р^{2}

, Если мы подключим эти функции в

(1)

(1)

(1)

мы получаем

g = 5 / 3

g = 5 / 3

g = 5 / 3

g = 5 / 3

грамм знак равно 5 / 3

как уже признали Илья и Анубхав . Это означает, что утверждения Арабациса и Паиса неточны: эта модель не предсказывает

g = 2

g = 2

g = 2

g = 2

грамм знак равно 2

но

g = 1.67

g = 1.67

g = 1.67

g = 1.67

грамм знак равно 1,67

вместо.

Чтобы сделать шаг вперед, мы можем взять ту же модель и раньше, но с другим радиусом массы и заряда, то есть

\begin{aligned} ρ_{м} & знак равно \frac{м}{В} Θ (р_{м} - р) \\ (3) & ρ_{е} & знак равно \frac{е}{S} δ (р_{е} - р) \end{aligned}

с

R_{m} \neq R_{e}

R_{m} \neq R_{e}

R_{m} \neq R_{e}

R_{m} \neq R_{e}

R_{m} \neq R_{e}

R_{m} \neq R_{e}

R_{m} \neq R_{e}

R_{m} \neq R_{e}

р_{м} \neq р_{е}

, В этом случае мы находим

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

g = 5 R_{e}^{2} / 3 R_{m}^{2}

грамм знак равно 5 р_{е}^{2} / 3 р_{м}^{2}

, который равен 2, если

R_{e} = 1.095 R_{m}

R_{e} = 1.095 R_{m}

R_{e} = 1.095 R_{m}

R_{e} = 1.095 R_{m}

R_{e} = 1.095 R_{m}

R_{e} = 1.095 R_{m}

R_{e} = 1.095 R_{m}

R_{e} = 1.095 R_{m}

р_{е} знак равно 1,095 р_{м}

, Эта модель кажется очень искусственной.

Следующим возможным примером может быть экспоненциальная плотность, которая может быть результатом какого-то скрининга на некотором фундаментальном уровне:

\begin{aligned} ρ_{м} & α ехр [- \frac{р^{2}}{р_{м}^{2}}] \\ (4) & ρ_{е} & α ехр [- \frac{р}{р_{е}}] \end{aligned}

из которого мы находим

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

g = 8 R_{e}^{2} / R_{m}^{2}

грамм знак равно 8 р_{е}^{2} / р_{м}^{2}

; если мы возьмем

R_{m} = 2 R_{e}

R_{m} = 2 R_{e}

R_{m} = 2 R_{e}

R_{m} = 2 R_{e}

R_{m} = 2 R_{e}

R_{m} = 2 R_{e}

R_{m} = 2 R_{e}

R_{m} = 2 R_{e}

р_{м} знак равно 2 р_{е}

мы получаем

g = 2

g = 2

g = 2

g = 2

грамм знак равно 2

, Это все еще очень искусственно, но может быть какая-то электростатическая модель, способная приспособиться к этому.

Другие возможные модели могут состоять из несферических плотностей, таких как цилиндры или нитевидные провода. Я оставляю читателю, чтобы изучить эту модель. В любом случае ясно, что самые естественные модели не предсказывают $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ и не легко найти другой, который исправит это, не становясь слишком специальным. Но можно записать экзотические модели с настраиваемыми параметрами, чтобы получить $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ , что означает, по крайней мере, что $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ достижимо на классическом уровне.

Анубхав Гоэль · Answer 3

www.physicspages.com/2013/04/11/magnetic-dipole-moment-of-spinning-spherical-shell/

Мой поиск дает

$μ = \frac{e ω R^{2}}{3}$ $μ = \frac{e ω R^{2}}{3}$ $μ = \frac{e ω R^{2}}{3}$ $μ = \frac{e ω R^{2}}{3}$ $μ = \frac{e ω R^{2}}{3}$ $μ = \frac{e ω R^{2}}{3}$ $μ знак равно \frac{е ω р^{2}}{3}$

Это дает $g = 5 / 3 = 1.667$ $g = 5 / 3 = 1.667$ $g = 5 / 3 = 1.667$ $g = 5 / 3 = 1.667$ $грамм знак равно 5 / 3 знак равно 1,667$

Разве вы не предоставили ссылку, приведенную ниже?

https://en.wikipedia.org/wiki/Electron_magnetic_moment#The_classical_theory_of_the_g-factor

Что объясняет, что неравномерное распределение заряда может объяснить значение g = 2 без какого-либо уравнения Дирака .

Следуя подсказке Эренфеста, Джордж обнаружил в старой статье Макса Абрахама, что электрон, рассматриваемый как жесткая сфера с только поверхностным зарядом, действительно имеет.

Возможно, под вышеприведенным утверждением он подразумевал, что отношение радиусов $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{р_{е}}{р_{м}} \approx 1,09051$ был приближен к поверхности заряда.

Торгни · Answer 4

Я попросил кого-нибудь профессионала взглянуть на это, и он получил тот же ответ. Поэтому я планирую это:

Я смотрю на теорию классической связи между магнитным импульсом $μ$ $μ$ $μ$ и вращение $S$ $S$ $S$ , Говорят, что $g$ $g$ $грамм$ -фактор $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $g = 2$ $грамм знак равно 2$ для уравнения: $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ = g \frac{e}{2 m_{e}} S$ $μ знак равно грамм \frac{е}{2 м_{е}} S$ если вы посмотрите на электрон. Здесь я пытаюсь доказать это с помощью классических рассуждений:

\begin{aligned} S & знак равно я ω знак равно ω \int ρ_{м} р^{2} d В \\ μ & знак равно \frac{ω}{2} \int ρ_{е} р^{2} d В \end{aligned}

Следующие две формулы основаны на этой странице: https://en.wikipedia.org/wiki/Electron_magn_moment#The_classical_theory_of_the_g-factor

\begin{aligned} ρ_{е} & знак равно е N_{е} е^{- \frac{р^{2}}{р_{е}^{2}}} \\ ρ_{м} & знак равно м_{е} N_{м} е^{- \frac{р^{2}}{р_{е}^{2}}} \end{aligned}

Следовательно,

\begin{aligned} μ & знак равно 4 π \frac{ω}{2} \int_{0}^{\infty} е N_{е} е^{- \frac{р^{2}}{р_{е}^{2}}} р^{2} р^{2} d р \\ S & знак равно 4 π ω \int_{0}^{\infty} м_{е} N_{м} е^{- \frac{р^{2}}{р_{м}^{2}}} р^{2} р^{2} d р \end{aligned}

Я должен нормализовать эти два

\begin{aligned} \int_{0}^{\infty} N_{е} е^{- \frac{р^{2}}{р_{е}^{2}}} d р \\ \int_{0}^{\infty} N_{м} е^{- \frac{р^{2}}{р_{е}^{2}}} d р \end{aligned}

Получается, что:

\begin{aligned} N_{е} & знак равно \frac{1}{\sqrt{π} р_{е}} \\ N_{м} & знак равно \frac{1}{\sqrt{π} р_{м}} \end{aligned}

Мы получаем:

\begin{aligned} μ & знак равно \frac{е}{\sqrt{π} р_{е}} 4 π \frac{ω}{2} \int_{0}^{\infty} е^{- \frac{р^{2}}{р_{е}^{2}}} р^{4} d р \\ S & знак равно \frac{м_{е}}{\sqrt{π} р_{м}} 4 π ω \int_{0}^{\infty} е^{- \frac{р^{2}}{р_{м}^{2}}} р^{4} d р \end{aligned}

Я получил из онлайн интегрального калькулятора, что: $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} e^{\frac{- x^{2}}{a}} x^{4} = \frac{3 \sqrt{π} a^{\frac{5}{2}}}{8}$ $\int_{0}^{\infty} е^{\frac{- {Икс}^{2}}{}} {Икс}^{4} знак равно \frac{3 \sqrt{π}^{\frac{5}{2}}}{8}$

Так

\begin{aligned} μ & знак равно \frac{е}{\sqrt{π} р_{е}} 4 π \frac{ω}{2} \frac{3 \sqrt{π} р_{е}^{5}}{8} \\ S & знак равно \frac{м_{е}}{\sqrt{π} р_{м}} 4 π ω \frac{3 \sqrt{π} р_{м}^{5}}{8} \end{aligned}

Мы хотим решить

μ знак равно D S

\frac{е}{\sqrt{π} р_{е}} 4 π \frac{ω}{2} \frac{3 \sqrt{π} р_{е}^{5}}{8} знак равно D \frac{м_{е}}{\sqrt{π} р_{м}} 4 π ω \frac{3 \sqrt{π} р_{м}^{5}}{8}

Мы получаем:

D знак равно \frac{е}{2 м_{е}} \frac{р_{е}^{4}}{р_{м}^{4}}

Но это $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{r_{e}^{4}}{r_{m}^{4}} = 2$ $\frac{р_{е}^{4}}{р_{м}^{4}} знак равно 2$ ?

из статьи википедии выше говорится, что нужно

$\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}}$ $\frac{р_{е}^{8}}{р_{м}^{8}}$ , Но мои расчеты не дают того же результата. Любые пожелания приветствуются. Я предполагаю, что это сделало бы меня на шаг ближе, если бы это был тот же результат, что и на странице википедии. Страница Википедии также сообщает, что $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{r_{e}}{r_{m}} \approx 1.09051$ $\frac{р_{е}}{р_{м}} \approx 1,09051$ и это привело бы к $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{r_{e}^{8}}{r_{m}^{8}} \approx 2$ $\frac{р_{е}^{8}}{р_{м}^{8}} \approx 2$ ,

Классическое доказательство гиромагнитного отношения g = 2 g = 2

AccidentalFourierTransform

AccidentalFourierTransform

Ян Лалинский

AccidentalFourierTransform

Владимир

Ян Лалинский

Ответы (4)

Ilja

knzhou

Ilja

AccidentalFourierTransform

Ilja

AccidentalFourierTransform

Анубхав Гоэль

Торгни

Матрица спин-орбитальной связи в p-орбитальной основе

Гамильтонова теорема Нетера в классической механике [дубликат]

Лагранжева, кинетическая и потенциальная энергия с двумя массами, соединенными с тремя пружинами [закрыто]

Физический смысл преобразования Лежандра

Что происходит на атомном уровне, когда вы соединяете две батареи последовательно, чтобы их напряжение добавлялось?

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Sourcing тонкий 3,5 мм разъем для стерео разъема [закрыт]

ϕ 4 ϕ4 теория кинков как фермионов?