Нахождение правильных собственных состояний нулевого порядка в вырожденной теории возмущений, когда вырождение не снимается поправкой первого порядка

Недавно я узнал, что если вырождение не снимается в первом порядке в вырожденной теории возмущений, нужно диагонализовать другую матрицу, которая играет ту же роль, что и матрица возмущения первого порядка (см. ответы здесь), чтобы получить второй порядок поправки на энергию, но, что более важно, правильные собственные состояния нулевого порядка.

Мой вопрос в основном заключается в том, есть ли более простой способ определить правильные состояния нулевого порядка, не прибегая к систематическому способу, описанному выше?

В частности, я знаю, что в «регулярной» теории возмущений с вырождением первого порядка, если удается найти симметрию возмущающего гамильтониана (т. е. оператор А ^ такой, что [ В ^ , А ^ ] "=" 0 где ЧАС ^ "=" ЧАС ^ 0 + В ^ ), то одновременные собственные состояния обоих ЧАС ^ 0 и А ^ являются правильными состояниями нулевого порядка.

Справедливо ли это, если вырождение не снимается в первом порядке? Я был убежден, что это так после того, как проработал несколько примеров, где это работает, но я больше не уверен, что это работает в целом.

Для конкретности рассмотрим

ЧАС ^ "=" ЧАС ^ 0 + В ^ "=" ( 0 0 0 0 0 0 0 0 Е ) + ( 0 0 В 0 0 В В В 0 ) , В ≪ Е
Точно диагонализируя ЧАС ^ и расширяется до нулевого порядка по В / Е мы видим, что правильные собственные состояния нулевого порядка
| + ⟩ "=" 1 2 ( | 1 ⟩ + | 2 ⟩ ) , | − ⟩ "=" 1 2 ( | 1 ⟩ − | 2 ⟩ ) , | 3 ⟩

Дело в том, что В ^ кажется инвариантным относительно | 1 ⟩ ↔ | 2 ⟩ предполагает, что это правильные собственные состояния нулевого порядка, и действительно оператор

А ^ "=" ( 0 1 0 1 0 0 0 0 1 )
коммутирует с В ^ .

Я удалил свой ответ, так как понял форму своей матрицы А ^ ′ не воспроизвел ваш А ^ . Я действительно немного неправильно понял вашу мысль, и я вижу, что вы А ^ действительно может работать.
Кажется, то, что вы предлагаете, связано с 2 × 2 версия physics.stackexchange.com/a/313670/36194 , но я могу снова ошибиться...

Ответы (1)

А ^ разделяет собственные состояния с обоими ЧАС ^ 0 и ЧАС ^ , но это не одни и те же собственные состояния!

В частности, например, этот , вы можете нормализовать ЧАС ^ на E и установить В / Е ≡ г , чтобы увидеть, что (с наклоном) собственные векторы ЧАС ^ являются

| − ~ ⟩ "=" | − ⟩ , | + ~ ⟩ "=" Н + ( | + ⟩ + 1 − 1 + 8 г 2 2 2 г | 3 ⟩ ) , | 3 ~ ⟩ "=" Н 3 ( 1 + 1 + 8 г 2 2 | 3 ⟩ + 2 г | + ⟩ ) ,
все с разными собственными значениями 0, 1 2 ( 1 − 1 + 8 г 2 ) ≈ − 4 г 2 , и 1 2 ( 1 + 1 + 8 г 2 ) ≈ 1 + 4 г 2 ; поэтому энергетическое вырождение полностью снимается.

Однако собственные значения А ^ -1 для | − ⟩ ; и +1 за оба | + ⟩ и | 3 ⟩ , и поэтому | + ~ ⟩ и | 3 ~ ⟩ . Таким образом, этот оператор не может служить для указания смешивания | + ⟩ с | 3 ⟩ воздействует возмущение.

Когда речь идет о «хороших» состояниях нулевого порядка в вырожденном подпространстве, конечно, А ^ будет "предпочитать" | + ⟩ , | − ⟩ к | 1 ⟩ , | 2 ⟩ , так как вы видите, что А ^ характеризует пространство, в котором смешиваются его вырожденные собственные состояния, поэтому он сделал выбор для | + ⟩ уже -- оно сняло вырождение, сознавая возмущение. (См. Теорему Гриффитса КМ, стр. 229, глава 6.)

Для быстрого доступа вы можете посмотреть связанный вопрос. На вашем примере видно | − ⟩ не связывается с возмущением, поэтому остается немодифицированным и несвязанным; эффективно, это отбрасывает проблему.

Нахождение правильных собственных состояний нулевого порядка в вырожденной теории возмущений, когда вырождение не снимается поправкой первого порядка
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v