Независимая от спина протона тонкая структура "гамильтониан" WfWfW_f

Итак, вы хотите диагонализовать оператор в подпространстве.

В частности, вы хотите диагонализовать$W_f^n$, ограничение$W_f$к собственному пространству, связанному с$E_n^0$.

[С]$W_f$не зависит от спина протона, то размер задачи можно разделить на 2 ($\frac{g_n}{2} X \frac{g_n}{2}$матрица вместо$g_n X g_n$матрица).

Если собственный вектор в$E_n^0$выглядит как линейная комбинация$\{\Psi_n\otimes|+\rangle,\Psi_n\otimes|-\rangle\}$где$|\pm\rangle$спин протона, то нас волнует, как$W_f$действует на произвольный вектор в промежутке$\{\Psi_n\otimes|+\rangle,\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$

Теперь предположим, что мы находим некоторые специфические функции$(\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_k)$ортогональны и такие, что$W_f\Phi_i\otimes|+\rangle=\alpha_i\Phi_i\otimes|+\rangle$тогда оператор диагональный (это версия задачи о половинной размерности). Если мы сможем ее решить (т.е. найти$(\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_k)$которые удовлетворяют$W_f\Phi_i\otimes|+\rangle=\alpha_i\Phi_i\otimes|+\rangle$) то, поскольку возмущение не зависело от спина протона, также получаем$W_f\Phi_i\otimes|-\rangle=\alpha_i\Phi_i\otimes|-\rangle$это значит, что$\{\Phi_k\otimes|+\rangle,\Phi_k\otimes|-\rangle\}$представляет собой набор ортогональных собственных векторов (ортогональность следует из$(\Phi_1, \Phi_2, \dots, \Phi_k)$ортогональны).

Итак, у нас есть куча ортогональных собственных векторов, если их достаточно, мы закончили, мы диагонализировали матрицу. Таким образом, продолжительность$\{\Psi_n\otimes|+\rangle,\Psi_n\otimes|-\rangle\}$был размерности$g_n$так$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$является$g_n/2$размерный. Так что, если эту меньшую проблему можно диагонализовать, тогда все в порядке.

Очевидно ли, что оно диагонализируемо? Даже не очевидно, что это оператор, вы можете ограничить свой домен, но чтобы быть оператором, диапазон должен быть в домене (или, может быть, закрытие домена, если вам нравятся неограниченные операторы). Вы можете проецировать на домен заставить его или быть оператором. (Чтобы проекция, составленная с помощью функции, была оператором.) Тогда вам все равно нужно спросить, диагонализируема ли она. Поэтому нам нужно знать, достаточно ли собственных векторов в сокращенном пространстве.

Возмущение$W_f$отшельник?

Если да, то это решает вышеуказанную проблему. Если цель состоит в том, чтобы аппроксимировать эрмитов оператор, то разумно иметь эрмитовы возмущения, но не очевидно, что он должен быть эрмитовым. Однако мы можем утверждать, что если оператор возмущения эрмитов в большем пространстве, то мы можем сделать это ограничение для меньшей задачи диагонализируемым.

Для этого мы хотим показать, что диагонализация возможна и имеет действительные собственные значения. Если мы знаем, что диагонализация происходит (с реальными собственными значениями) в большем пространстве, то любой собственный вектор$A\otimes(\alpha_+|+\rangle\alpha_-|-\rangle)$с собственным значением$a\in\mathbb R$подразумевает состояние$A\otimes(\alpha_+|+\rangle-\alpha_-|-\rangle)$также является собственным вектором с тем же собственным значением, как и все пространство, поскольку он отличается только спином протона. И поэтому так$A\otimes|+\rangle$и$A\otimes|-\rangle.$Тогда мы могли бы с тем же успехом заменить все другие собственные вектора с тем же собственным значением (если есть) на один, ортогональный обоим из этих (ограничиваясь подмножеством собственного пространства, которое ортогонально этим двум и диагонализировано, что оно диагонализируемо на всем собственном пространстве оно кратно единице в этом собственном пространстве). Таким образом, мы продолжаем делать это (при необходимости используя лемму Цорна), пока не получим собственные векторы, которые все находятся в пространстве, натянутом на$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$или в пространстве, охватываемом$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$Было$g_n$собственные векторы в большем пространстве, каждый из которых был заменен вектором в диапазоне$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$или в течение$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$(Либо напрямую, либо когда одна из других была помещена в одну, но дело в том, что у нас была диагонализированная, где все$g_n$собственные векторы находятся в интервале$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$или в течение$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}.$)

Поскольку собственные векторы в большем пространстве были ортогональными и ненулевыми, они были линейно независимыми. Таким образом, те, в промежутке$\{\Psi_n\otimes|+\rangle\}$линейно независимы, а те, которые находятся в промежутке$\{\Psi_n\otimes|-\rangle\}$Аде линейно независим. Поскольку эти пространства имеют размерность$g_n/2$(при условии$g_n$конечно, поэтому деление имеет смысл), то существует не более$g_n/2$вектора в каждом. Если вы попытались поставить$m$в одном меньше, чем в другом$g_n/2+M$чтобы они складывались в$g_n$векторов, но это превысит$g_n/2$для другого, поэтому должно быть$g_n$именно в каждом. Этого как раз достаточно, чтобы ограниченный можно было диагонализовать. Но все они имеют действительные собственные значения, поэтому они эрмитовы.

Это означает, что когда мы искали собственные векторы меньшей задачи, мы могли найти$g_n/2$ортогональные собственные векторы с действительными собственными значениями, он эрмитов, поэтому это можно сделать.

почему мы можем разделить матрицу, если она еще не диагонализирована?

Я говорю, что если вы диагонализировали$g_nxg_n$матрицу, то вы можете блокировать диагонализацию в соответствии с собственными пространствами, затем для каждого собственного пространства найдите вектор V, а затем его проекции на два$g_n/2$размерные пространства будут находиться в одном и том же собственном пространстве, и любые два ортогональных вектора в этом собственном пространстве являются собственными векторами. Таким образом, мы можем выбрать один, спроецировать его на оба$g_n/2$размерных пространств, и если одно из них дает нуль, взять другое и заменить$|\pm\rangle$с$|\mp\rangle$поэтому мы получаем два вектора вниз, затем выбираем случайный вектор в собственном пространстве, который ортогонален всем тем, которые у нас есть до сих пор, и повторяем. Таким образом, вы получаете свои собственные векторы для большой матрицы, чтобы все векторы в двух$g_n$объемные пространства. Таким образом, ограничение на меньшее пространство является оператором и диагонализируемо.