Что является основой для гильбертова пространства одномерного состояния рассеяния?

Предположим, у меня есть массивная частица в нерелятивистской квантовой механике. Его волновая функция может быть записана в позиционном базисе как

| Ψ ⟩ знак равно Ψ Икс ( Икс , т )

или в импульсной основе как

| Ψ ⟩ знак равно Ψ п ( п , т )
.

Ψ Икс а также Ψ п связаны между собой преобразованием Фурье.

Однако, если я напишу | Ψ ⟩ как интеграл по бесконечному количеству «базисных векторов положения»

| Ψ ⟩ знак равно ∫ − ∞ ∞ Ψ Икс ( Икс ) | Икс ⟩

тогда базисные векторы положения ∣ Икс ⟩ являются дельта-функциями Дирака - на самом деле они не являются функциями. Если мы попытаемся представить их в импульсном базисе, мы получим ненормируемые плоские волны. Эти базисные векторы не являются членами физического гильбертова пространства.

В моем учебнике по квантовой математике для студентов бакалавриата объясняется, что дельты Дирака и плоские волны являются вычислительными инструментами, и демонстрируется их использование. Дельты Дирака не представляют собой истинные волновые функции. Реальная частица с низкой неопределенностью положения будет просто иметь волновую функцию с высоким, но конечным пиком.

Я в порядке с этим; Я думаю, что понимаю, как делать расчеты и что они означают. Однако я до сих пор не знаю, как найти основу для физического гильбертова пространства, состоящего из векторов, находящихся на самом деле в этом пространстве.

В связанном состоянии без вырождения собственные функции энергии образуют базис. Тогда физическое гильбертово пространство состоит из всех линейных комбинаций собственных функций энергии. Однако, когда мы переходим в состояние рассеяния, спектр собственных значений энергии становится непрерывным, а собственные функции энергии не поддаются нормировке, поскольку они по существу совпадают с собственными функциями импульса плоской волны.

Поскольку состояние рассеяния имеет физическое гильбертово пространство нормируемых волновых функций, не должен ли я найти базис, состоящий из элементов самого физического гильбертова пространства, даже если этот базис не удобен для вычислений?

Есть ли пример такого базиса для свободной частицы?

Вы говорите: «Однако я все еще не знаю, как найти основу для физического гильбертова пространства». -> Я тоже, потому что существует бесконечное количество баз (даже разумных), поэтому я понятия не имею, какую из них вы ищете.
Если вы ищете какое-то «сглаживание» «собственных состояний» непрерывного спектра, то было бы неплохо сначала обдумать идею о том, что работа с векторами может быть не лучшей идеей с концептуальной точки зрения (вы, очевидно, не удовлетворены расчетной точки зрения, потому что для этого вам не нужно ничего, кроме дельт Дирака). Для этого вы могли бы вместо этого вообще забыть о векторах и просто рассмотреть алгебру операторов (знаменитую C*-алгебру фон Неймана), которая уже содержит всю информацию и не содержит дельта Дирака.
@Marek Под «основой» я имел в виду, что любая основа подойдет для удовлетворения моего любопытства по этому вопросу.
Я хотел бы быть педантичным и отметить, что волновые функции должны быть записаны: ⟨ Икс | Ψ ⟩ знак равно … .
Пожалуйста, исправьте вопрос: вы наверняка можете записать волновую функцию в той форме, в которой, по вашим словам, вы не можете ее записать.
@Ron Пожалуйста, читайте внимательнее. Я знаю, что вы можете записать волновую функцию в позиционном базисе. В моем вопросе правильно сказано, что «позиционный базис» не является базисом для физического гильбертова пространства, потому что его элементы не находятся в гильбертовом пространстве. Таким образом, я не могу записать волновую функцию в виде суммы по «базисным векторам положения», потому что таких векторов в гильбертовом пространстве нет.
Но вы все равно можете расширить псевдобазис с помощью интегралов. Понятие «базис» в квантовой механике включает в себя дистрибутивные базы, поэтому формула, которую вы пишете, является правильным расширением. Это в точности то же самое, что и формула преобразования Фурье, где разложение по p-состояниям является таким же предельным процессом, потому что p-состояния находятся не в гильбертовом пространстве, а в его распределенном пополнении.
@ Рон, я не согласен. Немного изменю формулировку.

Ответы (3)

Если я правильно понимаю, ваш вопрос в основном сводится к определению основы для пространства интегрируемых с квадратом функций, л 2 ( р ) , так как любое физическое состояние | Ψ ⟩ можно построить, выполнив интеграл, указанный в вашем вопросе, с функцией Ψ Икс ( Икс ) е л 2 ( р ) . л 2 известно, что это векторное пространство, поэтому должен существовать базис. Внезапно я думаю, что примером может быть

ф к ( Икс ) знак равно е − Икс 2 / а 2 − я к Икс

который является просто нормальным базисом плоской волны е − я к Икс умножить на огибающую Гаусса е − Икс 2 / а 2 куда а является некоторой константой. Умножение на эту огибающую Гаусса гарантирует, что функции будут интегрируемыми с квадратом, но поскольку вы используете одну и ту же огибающую для каждого элемента базиса, вы можете вынести ее из преобразования Фурье, так что это не изменит ни одного из основных свойств. импульсного разложения.

PS Я нашел вопрос на math.SE, который кажется связанным и который мотивировал этот ответ.

Верно. Точно так же мы знаем десятки других базисов, соответствующих собственным состояниям того или иного гамильтониана. Конечно, ни один из них никоим образом не является естественным (или даже полезным) для произвольной общей проблемы.

Собственные функции самосопряженного оператора лежат вне гильбертова пространства функций, суммируемых с квадратом на прямой. Одним из решений является работа с базой собственных функций несамосопряженного оператора, такого как Икс + я п . Конечно, это когерентные состояния. Для когерентных состояний имеется сверхполный базис и разбиение единицы, поэтому нетрудно разложить любой вектор в л 2 ( р ) .

Другой вариант — работать с оснащенным гильбертовым пространством, которое представляет собой формализацию метода бюстгальтера и кет Дирака. Очень хорошее изложение оснащенных гильбертовых пространств дано в статье Франсуа Жьера . Согласно этому варианту вы работаете с собственными состояниями оператора положения, но помните, что они принадлежат не гильбертовому, а банаховому пространству, которое также содержит распределения.

Я хотел бы отметить, что когерентные состояния не являются истинными собственными функциями, а являются только левыми или правыми (но не обеими) собственными функциями. Кроме того, сверхполная база — это своего рода оксюморон. Я бы просто использовал термин «охватывающий набор».
Сверхполнота — это четко определенное математическое понятие. en.wikipedia.org/wiki/Overcompleteness Я не думаю, что видел использование терминологии связующего множества в сочетании с разрешением единства. Может быть, вы бы предпочли термин «жесткая рамка», определенный на странице Википедии (что, конечно, верно для когерентных состояний).
@Marek: однако термин «сверхполный базис» часто встречается в учебниках и литературе --- к настоящему времени будет трудно преодолеть сетевой эффект.
@David: у меня нет проблем с чрезмерной полнотой. Мне просто не нравится чрезмерно полная база (которую статья в Википедии избегает по уважительной причине). Хотя я согласен с Геннетом, что сейчас будет сложно что-то изменить...
В будущем, пожалуйста, давайте ссылку на страницу реферата arXiv, а не на файл в формате pdf, например, arxiv.org/abs/quant-ph/9907069.

Вы можете расширить любую функцию в л 2 ( р ) в (не обязательно нормализуемом) собственном базисе произвольного гамильтониана. Так что вам просто нужно выбрать один с дискретным спектром. Тогда собственные векторы нормализуемы, и ваше расширение представляет собой сумму. (Гильбертово пространство одинаково для всех несингулярных гамильтонианов с одной степенью свободы, просто расширено по-разному, чтобы получить другую физику.)

Что является основой для гильбертова пространства одномерного состояния рассеяния?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v