Рассмотрим ноту как набор частот, лад как набор из семи нот и гамму как набор из семи ладов. Следовательно, C — это набор частот, CDEFGAB — набор нот, ионийский лад и его семь циклических перестановок образуют набор, называемый мажорной гаммой.
Теперь рассмотрим семейство звукорядов как набор звукорядов с одинаковым числом полутонов в написании. Используя это определение, мы получаем следующие семейства:
Итак, это 38 гамм и 266 ладов, которые можно построить, используя более m3 в их интервальном написании. Этот метод, однако, позволяет вам легко расширять другие семейства с большими интервалами, чем m3:
И хотя это не гептатоника, чтобы завершить все возможные варианты написания полушагов, мы должны включить
Таким образом, общее количество возможных гептатонических гамм составляет 60, охватывающих в общей сложности 420 ладов.
Может ли кто-нибудь проверить эти результаты для меня и, в идеале, указать мне журнал или книгу, в которой шкалы организованы по сходным принципам, т. е. созданы семейства шкал, даже если они так не называются?
Я не чувствую себя комфортно, проверяя результаты, просто потому, что я не настолько хорошо подготовлен как математик, и мне было бы удобнее пойти по этому пути, чтобы проверить что-то с таким количеством перестановок.
Тем не менее, вот несколько замечательных источников в области теории музыки, которые вы должны проверить:
Все это необходимо для изучения теории масштабов. (Я рекомендую начать со статьи Clough/Douthett 1991 года, которая, вероятно, является самой известной.) Вы также захотите ознакомиться с такими понятиями, как свойство Майхилла , свойство глубокого масштаба и представление о том, что кардинальность равна разнообразию .
Веселиться!
Недавно я заинтересовался количеством различных гептатонических гамм и их классификацией.
Очевидно, вам не хватает семьи из пяти m2, одной M2 и одной P4 (идеальная четвертая) из 6 членов. Это составляет 66 гептатонических гамм.
Приведенный выше результат можно проверить с помощью некоторой комбинаторики. Рассуждение может быть таким: существует 12!/(5!7!) = 792 возможных способа выбрать 7 нот из 12 нот хроматической гаммы. Конечно, некоторые из них совпадают с точностью до циклической перестановки. На самом деле циклическая перестановка в 1, 2, .., 12 позиций любого конкретного выбора образует набор длины 12 (можно доказать, что все циклические перестановки любого выбора отличны друг от друга, поскольку 7 и 12 взаимно просты). Таким образом, эти 792 пути распадаются на 792/12 = 66 коллекций.
Хосе Давид
Хосе Давид
Рикардо Дж. Радемахер