Можно ли вычислить массу атома водорода калибровочно-инвариантным способом?

Как я уже говорил, энергия не является калибровочно-инвариантной величиной - грубо говоря, это «разности энергий», которые, как объяснено в учебнике по теории поля, на который я ссылался в предыдущей ветке.

Когда эти изящные рассуждения о сложении масс/энергий преподаются в бакалавриате, очевидно, что профессорам следует замалчивать тонкости правильного определения калибровочно-инвариантных величин. Аргумент, который вы привели в пользу массы атома водорода, на самом деле хорош, просто все вещи, которые существуют, строго говоря, являются энергетическими различиями.

Во-первых, совершенно законно сдвигать гамильтониан на константу и, следовательно, формально сдвигать энергию основного состояния атома водорода так, как вам хочется. Но вспомним, что существуют как связанные состояния решения кулоновской проблемы, так и континуальные (или «рассеивающие») состояния. Утверждение калибровочного инварианта, которое останется неизменным независимо от того, что вы делаете, звучит так: «разрыв между связанным состоянием с наивысшей энергией и первым континуальным состоянием составляет 13,6 эВ».

Таким образом, независимо от того, как вы определяете абсолютные значения самих энергетических уровней, это калибровочно-инвариантный факт: когда вы связаны, у вас на 13,6 эВ меньше, чем когда вы свободны.

Что касается масс самих протонов/электронов, это немного более тонкий момент. Причина, по которой это сбивает с толку, заключается в том, что «электрон» и «протон» на самом деле не являются калибровочно-инвариантными объектами, потому что они заряжены. Создание протона/электрона из основного состояния (не беспокоясь об «истинном» микроскопическом происхождении протонов, которые проявляются только при высоких энергиях — давайте просто представим, что это положительные пробные заряды) требует, чтобы вы создали электрон-позитрон ( или протон-антипротон). 0,5 МэВ — это половина энергии электрон-позитронной пары, и это тоже калибровочно-инвариантная величина.

Таким образом, мы суммируем две энергетические разницы. Во-первых, это разница в энергии между наличием одного электрона/протона и отсутствием частиц. Во-вторых, это разница в энергии между двумя связанными частицами и свободными. Обе величины калибровочно-инвариантны: первая дает нам массы протона и электрона, их сумма дает нам массу атома водорода.

Да, массу покоя такой системы, как атом водорода, можно рассчитать полностью калибровочно-инвариантным способом, интегрируя$T^{00}$компонент его калибровочно-инвариантного тензора энергии-импульса-напряжения Гильберта$T^{\mu\nu}$. Эта компонента представляет собой плотность энергии, и интегрирование ее по всему пространству дает полную калибровочно-инвариантную энергию системы.

«Канонический» тензор энергии-импульса-напряжения, созданный теоремой Нётер, гарантированно сохраняется, если действие системы инвариантно относительно временных и пространственных перемещений, но оно не обязательно калибровочно-инвариантно или даже симметрично. Таким образом, она и энергия, полученная путем ее интегрирования, не имеют физического значения.

Однако существует хорошо известная процедура получения физически значимых тензоров энергии-импульса-напряжения, которые не только сохраняются, но и явно калибровочно-инвариантны, явно лоренц-ковариантны и явно симметричны. Эти тензоры имеют физическое значение: они представляют локальную плотность энергии, плотность импульса и т. д. материи.

От появления такого$T^{\mu\nu}$в правой части уравнений поля Эйнштейна для общей теории относительности очевидно, что плотность энергии, плотность импульса и т. д. должны поддаваться измерению, поскольку они создают кривизну пространства-времени. Кривизна измерима, поэтому$T^{\mu\nu}$измеримо. Таким образом, это не тот случай, когда только различия в энергиях имеют физический смысл. «Абсолютное» значение плотности энергии имеет смысл, потому что оно искривляет пространство-время.

Существует стандартная процедура Гильберта и Эйнштейна для нахождения сохраняющихся, калибровочно-инвариантных, лоренц-ковариантных и симметричных тензоров напряжений, а именно путем функционального интегрирования лагранжевой плотности по метрике:

$$T_{\mu\nu} = \frac{-2}{\sqrt{-g}} \frac{{\delta\mathcal{L}_{\text{matter}}\sqrt{-g}}}{\delta g^{\mu\nu}}.$$

Когда человек использует такой$T^{\mu\nu}$для системы точечных частиц и электромагнитных полей результат для атома водорода (в порядке$\alpha^2$приближение, используемое в вопросе) идентично «наивному» расчету, представленному в вопросе. Но он полностью калибровочно-инвариантен от начала до конца.

Что можно найти, так это то, что$U(r) = q_1 q_2/r$, ранее считавшаяся «электростатической потенциальной энергией протона и электрона», на самом деле является калибровочно-инвариантной зависящей от положения частью энергии покоя, находящейся в электростатическом поле протона и электрона. Тот факт, что он выглядит как произведение одного заряда на электростатический потенциал другого заряда, зависящий от калибра, не имеет значения. Приведенный ниже расчет вообще не использует никаких потенциалов.

Существует также бесконечная, не зависящая от положения, калибровочно-инвариантная постоянная часть энергии электростатического поля, которая просто перенормирует массы двух частиц.

Таким образом, электростатическую «потенциальную энергию» можно понимать как зависящую от положения часть калибровочно-инвариантной энергии покоя, находящуюся в электростатическом поле. Он действительно стремится к нулю на бесконечности, потому что калибровочно-инвариантный расчет говорит нам об этом. Стремление к нулю на бесконечности — это не просто условность.

Если вы хотите сказать, что массы протона и электрона являются их стандартными измеренными величинами, то вы должны принять «потенциальную энергию» между ними точно равной$-e^2/r$и не добавлять константу или любой другой член, зависящий от калибровки.

Вот математические подробности:

Рассмотрим набор точечных частиц с массами$m_i$и обвинения$q_i$, движущихся под действием электромагнитного поля, которое могло быть комбинацией полей самих частиц и некоторого внешнего поля.

Сохраняющийся, симметричный, явно ковариантный и калибровочно-инвариантный тензор энергии-импульса-напряжения для системы точечных частиц и электромагнитных полей четко делится на два члена:

$$T^{\mu\nu} = T_{(p)}^{\mu\nu} + T_{(f)}^{\mu\nu},$$

где термин только для частиц

$$T_{(p)}^{\mu\nu} = \sum_i m_i \int \dot{X}_i^\mu (\tau) \dot{X}_i^\nu (\tau) \; \delta^{(4)}(x-X_i(\tau)) \; d\tau$$

и термин только для полей

$$T_{(f)}^{\mu\nu}=\frac{1}{4\pi} \left( F^{\mu\alpha} {F^\nu}_\alpha - \frac{1}{4} \eta^{\mu\nu} F^{\alpha\beta} F_{\alpha\beta} \right).$$

Здесь$m_i$это масса$i^\text{th}$частица,$X_i(\tau)$есть его мировая линия как функция собственного времени$\tau$вдоль мировой линии и$F^{\mu\nu}$— калибровочно-инвариантный тензор электромагнитного поля. Обратите внимание, что электромагнитный потенциал, зависящий от калибровки, нигде не появляется в этом тензоре энергии-импульса-напряжения.

The $T^{00}$компонента для частиц может быть записана после интегрирования по$\tau$, как

$$T_{(p)}^{00} = \sum_i m_i( 1-\mathbf{v}_i^2)^{-1/2} \; \delta^{(3)}(\mathbf{x}-\mathbf{X}_i(t)),$$

и интегрирование этого по пространству дает энергию частиц,

$$E_{(p)} = \sum_i m_i( 1-\mathbf{v}_i^2)^{-1/2} = \sum_i m_i + \sum_i \frac{1}{2}m_i \mathbf{v}^2 + \dots \; .$$

Очевидно, это обычное разложение на энергию масс покоя плюс кинетическую энергию. Мы делаем нерелятивистское приближение и не нуждаемся в высших терминах. В случае атома водорода энергия частиц в системе центра масс принимает вид

$$E_{(p)} = m_p + m_e + \frac{\mathbf{p}^2}{2\mu}$$

где$\mu = m_p m_e/(m_p + m_e)$это приведенная масса и$\mathbf{p}$- относительный импульс. Ожидаемое значение этого третьего члена - это то, что было обозначено$\langle K \rangle$в вопросе. Итак, мы воспроизвели первые три члена для энергии покоя водорода.

The $T^{00}$составляющая поля может быть записана через электрическое поле$\mathbf{E}$и магнитное поле$\mathbf{B}$,

$$T_{(f)}^{00} = \frac{\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2}{8 \pi},$$

и интегрирование этого по пространству дает энергию полей,

$$E_{(f)} = \int \frac{\mathbf{E}^2 + \mathbf{B}^2}{8 \pi} \, dV.$$

Для заказа-$\alpha^2$приближение энергии покоя водорода, которое нас интересует, мы можем вычислить эту энергию поля, игнорируя движение зарядов. Электрическое поле — обычное кулоновское для статического заряда, а магнитного поля нет. Внешнее поле для рассмотрения отсутствует.

Поля$q_1$являются

$$\mathbf{E}_1 = q_1 \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_1}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^3}, \quad \mathbf{B}_1 = 0,$$

и поля$q_2$являются

$$\mathbf{E}_2 = q_2 \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_2}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^3}, \quad \mathbf{B}_2 = 0.$$

Энергия поля, очевидно, распадается на три интеграла:

$$E_f = \int \frac{(\mathbf{E}_1 + \mathbf{E}_2)^2}{8 \pi} \, dV = \int \frac{\mathbf{E}_1^2}{8 \pi} \, dV + \int \frac{\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2}{4 \pi} \, dV + \int \frac{\mathbf{E}_2^2}{8 \pi} \, dV.$$

Первый интеграл,

$$E_{f,1} = \int \frac{\mathbf{E}_1^2}{8 \pi} \, dV = \frac{q_1^2}{8\pi} \int \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^4} \, dV = \frac{q_1^2}{2} \int_0^\infty \frac{dr}{r^2},$$

расходится. Это классическая электростатическая собственная энергия точечного заряда.$q_1$взаимодействие со своим полем. Это не имеет ничего общего с$q_2$и не зависит ни от расстояния между зарядами, ни от положения$q_1$. Энергия покоя так же присуща$q_1$как его масса-энергия, и эта энергия просто перенормирует массу$m_1$, так же, как это происходит в КЭД.

Третий интеграл,

$$E_{f,2} = \int \frac{\mathbf{E}_2^2}{8 \pi} \, dV = \frac{q_2^2}{8\pi} \int \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^4} \, dV = \frac{q_2^2}{2} \int_0^\infty \frac{dr}{r^2},$$

аналогично расходится и просто перенормирует$m_2$.

Второй интеграл,

$$E_{f,12} = \int \frac{\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2}{4 \pi} \, dV = \frac{q_1 q_2}{4\pi} \int \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_1}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^3} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_2}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^3} \; d^3\mathbf{r} = \;?$$

это интересно. В него входят оба калибровочно-инвариантных поля$\mathbf{E}_1$и$\mathbf{E}_2$и может быть описан как калибровочно-инвариантная энергия взаимодействия, зависящая от положения. Казалось бы, расходится, но оказывается, что этот интеграл можно выполнить (см. ниже) и результат конечен! По сути, это просто обычная «потенциальная энергия» двух точечных зарядов:

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2}|}$$

Для атома водорода это означает, что термин «потенциальная энергия»$\langle -e^2/r \rangle$полностью законен; это$r$-зависимая часть калибровочно-инвариантной энергии поля. $r$-независимая часть калибровочно-инвариантной энергии поля расходится и перенормирует массы.

Этот член, поступающий от полей, дает четвертый член в энергии покоя водорода, который ранее обозначался$\langle U\rangle$.

Чтобы сделать интеграл, введите декартовы координаты с$q_1$Я сидел$\mathbf{r}_1=a\hat{\mathbf{z}}$и$q_2$Я сидел$\mathbf{r}_2=-a\hat{\mathbf{z}}$.

Электрическое поле$q_1$является

$$\mathbf{E}_1 = q_1 \frac{x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + (z-a)\hat{\mathbf{z}}}{[x^2 + y^2 + (z-a)^2]^{3/2}}$$

и электрическое поле$q_2$является

$$\mathbf{E}_2 = q_2 \frac{x\hat{\mathbf{x}} + y\hat{\mathbf{y}} + (z+a)\hat{\mathbf{z}}}{[x^2 + y^2 + (z+a)^2]^{3/2}},$$

поэтому энергия взаимодействия полей равна

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi} \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dy \int_{-\infty}^\infty dz \; \frac{x^2 + y^2 + z^2 - a^2}{[(x^2 + y^2 + z^2 + a^2)^2 - 4 a^2 z^2]^{3/2}}.$$

Преобразовывая в сферические полярные координаты, интеграл принимает вид

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{4 \pi} \int_0^\infty r^2 dr \int_0^\pi \sin\theta d\theta \int_0^{2\pi} d\phi \; \frac{r^2 - a^2}{[(r^2 + a^2)^2 - 4 a^2 r^2 \cos^2\theta]^{3/2}}.$$

Интеграл по$\phi$просто дает$2\pi$, а интеграл по$\theta$становится элементарным с заменой$u=\cos\theta$:

$$\begin{align*} E_{f,12} &= \frac{q_1 q_2}{2} \int_0^\infty r^2 (r^2 - a^2) \; dr \int_{-1}^1 \frac{du}{[(r^2 + a^2)^2 - 4 a^2 r^2 u^2]^{3/2}} \\ &= \frac{q_1 q_2}{2} \int_0^\infty r^2 (r^2 - a^2) \; dr \left[ \frac{u}{(r^2 + a^2)^2 [(r^2 + a^2)^2 - 4 a^2 r^2 u^2]^{1/2}} \right]_{-1}^1 \\ &= q_1 q_2 \int_0^\infty \frac{r^2 dr}{(r^2 + a^2)^2} \frac{r^2 - a^2}{|r^2 - a^2|}. \end{align*}$$

Интеграл по$r$необходимо разделить на две части, одну от 0 до$a$, и один из$a$к$\infty$.

$$E_{f,12} = q_1 q_2 \left( \int_0^a \frac{r^2 dr}{(r^2 + a^2)^2}(-1) + \int_a^\infty \frac{r^2 dr}{(r^2 + a^2)^2} (+1) \right).$$

Полученные интегралы можно сделать с заменой$r=a\tan{u}$и дать

$$\begin{align*} E_{f,12} &= q_1 q_2 \left( \left[ \frac{r}{2(r^2 + a^2)} - \frac{\tan^{-1}(r/a)}{2 a} \right]_0^a + \left[ \frac{\tan^{-1}(r/a)}{2 a} - \frac{r}{2(r^2 + a^2)} \right ]_a^\infty \right) \\ &= q_1 q_2 \left[ \left( \frac{1}{4a} - \frac{\pi}{8a} \right) - (0) + \left( \frac{\pi}{4a} \right) - \left( \frac{\pi}{8a} - \frac{1}{4a} \right) \right] \\ &= \frac{q_1 q_2}{2a} \end{align*}$$

Таким образом, окончательный результат

$$E_{f,12} = \frac{q_1 q_2}{d}$$

где$d=2a$это расстояние между зарядами.

Заявленный результат,

$$E_{f,12} = \int \frac{\mathbf{E}_1 \cdot \mathbf{E}_2}{4 \pi} \, dV = \frac{q_1 q_2}{4\pi} \int \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_1}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_1}|^3} \cdot \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r_2}}{|\mathbf{r}-\mathbf{r_2}|^3} \; d^3\mathbf{r} = \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r_1}-\mathbf{r_2}|}$$

следует из того факта, что это вращательно-инвариантное уравнение, которое мы проверили с одним конкретным выбором координат.

Приложение:

Гораздо более простой подход состоит в том, чтобы просто понять, что уравнение Шрёдингера калибровочно-инвариантно. Для электрона в электромагнитном поле, описываемом скалярным потенциалом$\phi(\mathbf{r})$и векторный потенциал$\mathbf{A}(\mathbf{r})$, уравнение Шрёдингера имеет вид

$$\left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{i}\nabla + \frac{e}{c} \mathbf{A}(\mathbf{r}) \right)^2 - e \phi(\mathbf{r}) \right] \psi(\mathbf{r}, t)=E \psi(\mathbf{r}, t).$$

При выполнении калибровочных преобразований

$$\psi(\mathbf{r}, t) \rightarrow \exp({i \lambda(\mathbf{r}, t)}) \psi(\mathbf{r}, t)$$

$$\phi(\mathbf{r}) \rightarrow \phi(\mathbf{r}) + \frac{\hbar}{e} \frac{\partial\lambda(\mathbf{r}, t)}{\partial t}$$

$$\mathbf{A}(\mathbf{r}) \rightarrow \mathbf{A}(\mathbf{r}) - \frac{\hbar c}{e} \nabla \lambda(\mathbf{r}, t)$$

и использует отношение

$$i \hbar \frac{\partial \psi(\mathbf{r}, t)}{\partial t} = E \psi(\mathbf{r}, t),$$

обнаруживается, что уравнение остается неизменным, показывая, что энергия$E$является калибровочно-инвариантным. Это стандартная часть большинства курсов бакалавриата по квантовой механике.

Таким образом, исходное вычисление в вопросе полностью калибровочно-инвариантно (хотя и не явно, как в моем ответе), потому что калибровочная инвариантность уравнения Шредингера гарантирует, что энергия одинакова в любой калибровке. Таким образом, можно вычислить энергию в манометре, где потенциал протона равен$\phi=e/r$.

Несогласный комментатор, похоже, не понимает, что уравнение Шредингера калибровочно-инвариантно. Он утверждал (в ветке «Энергия/масса квантового вакуума»), что перефазировка волновой функции как$\psi \rightarrow e^{i \alpha t} \psi$, где$\alpha$постоянна, сдвигает спектр на$\alpha$. Похоже, он забыл, что перефазировка волновой функции — это только часть калибровочного преобразования. Другая часть — изменение электромагнитных потенциалов. Когда человек делает и то, и другое, энергия не меняется. В этом весь смысл наличия калибровочных полей... они нужны для того, чтобы сделать уравнения калибровочно- инвариантными . Его утверждение в другой теме о том, что «энергия основного состояния не является наблюдаемой величиной», очевидно, потому, что он думает, что она зависит от калибровки, ложно.

Одна потенциальная путаница состоит в том, что, хотя уравнение Шредингера для заряда в электромагнитном поле калибровочно-инвариантно, гамильтониан, вообще говоря, нет. Но это не противоречит калибровочно-инвариантной энергии, потому что гамильтониан не всегда является оператором энергии. Проблема в том, что калибровочное преобразование может превратить гамильтониан, не зависящий от времени, в зависящий от времени гамильтониан, и в этом случае уже неверно, что$\hat{H}\psi=E\psi$.