Принцип Паули для частиц, находящихся очень далеко друг от друга

Вот длинный ответ, ведущий к математической оценке актуальности принципа Паули. Квантовое состояние электрона определяется не только его энергией, угловым моментом (величинами, которые приводят к хорошим или приблизительным квантовым числам). Позиция также является частью уравнения. Теперь положение в КМ — это не просто простой вектор, как в классической механике, оно управляется распределением вероятностей. Такое распределение вероятностей может иметь экзотическую форму, но оно должно удовлетворять нескольким элементарным правилам для [физически релевантных] распределений вероятностей:

1. Тогда вероятность того, что частица окажется внутри некоторого заданного объема, определяется интегралом от распределения вероятностей по этому объему. Обратите внимание, что вероятность того, что частица окажется в одном конкретном положении, равна нулю (некоторые могут сказать, что она бесконечно мала ).

   Вы можете убедиться, что это правда, если учесть, что сумма$N$положений, в которых могла бы находиться частица, бесконечно (если пространство плотное, как мы предполагаем), и вам интересно, находится ли оно в$1$особое положение. Вероятность того, что это правда,$1/N = 1/\infty = 0$.

2. Вероятность того, что частицы вообще находятся где угодно , должна быть$1$. Мы можем со стопроцентной уверенностью сказать, что частица где- то есть . Математически это выражается требованием, чтобы интеграл вероятности по всему объему был$1$.

3. Распределение вероятностей должно вести себя хорошо. Обычно это означает, что оно должно быть непрерывным (не может иметь скачков) и должно обращаться в нуль для бесконечно больших аргументов (это требование следует вместе с предыдущим, поскольку неисчезающее распределение не может быть интегрируемо для$1$по всему пространству).

Теперь в КМ распределение вероятностей задается квадратом модуля волновой функции,$|\psi(\vec{r},t)|^2$. Если$\psi(\vec{r},t)$является точной волновой функцией, она содержит всю информацию о частицах, которые она описывает. Предположим, что оно точное и описывает состояние номер один электрона. Кроме того, предположим, что числовой дуэт электронов описывается точной волновой функцией$\phi(\vec{r},t)$.

Таким образом, у нас наверняка есть два распределения вероятностей, связанных с этой ситуацией. Одно существо$|\psi(\vec{r},t)|^2$, другой$|\phi(\vec{r},t)|^2$. Однако есть еще одна вероятность, которая может нас волновать: какова вероятность того, что двойное число электронов находится в определенном объеме, учитывая распределение вероятностей числа один электронов? Это условная вероятность, которую мы можем вычислить как интеграл по произведению обеих волновых функций, где первая комплексно сопряжена:

$$\langle\phi(\vec{r},t)|\psi(\vec{r},t)\rangle = \int_{V}{\phi^*(\vec{r},t)\psi(\vec{r},t) d\vec{r}}$$

Я использовал общепринятое обозначение этой вероятности в левой части уравнения. Правую часть иногда называют интегралом перекрытия , потому что подынтегральная функция является мерой того, насколько сильно обе волновые функции перекрываются. Обратите внимание, что она становится нормальной вероятностью для отдельной частицы, если мы возьмем интеграл перекрытия одной волновой функции с самой собой.

Это помогает нашей интуиции относительно принципа Паули. Если интеграл перекрытия$1$, электроны должны отличаться по крайней мере одним квантовым числом, например их спином. Если это близко к$1$, маловероятно, что электроны будут находиться в одном и том же состоянии. Чем меньше становится интеграл перекрытия, тем менее строго применяется принцип запрета Паули. Это звучит странно, потому что в своей известной форме (никакие два одинаковых фермиона не могут одновременно находиться в одном и том же квантовом состоянии) принцип Паули выглядит очень строгим и закономерным. Но это проблема известной формы.

Итак, мы предполагали, что волновые функции точны. Все было бы хорошо, если бы частицы не могли взаимодействовать друг с другом. Однако они делают. Поэтому нам нужно смоделировать это взаимодействие. Electron numero uno влияет на numero duo и наоборот (немного английского в этом предложении). Итак, теперь мы будем рассматривать оба электрона как единую систему, описываемую абстрактной волновой функцией двух пространственных аргументов.$\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2,t)$.

Давайте посмотрим, что произойдет, если мы поменяем местами оба электрона. Иногда это изображается так, как будто мы «заставляем их поменяться местами», что создает впечатление, будто мы меняем местами два маленьких шарика. Конечно, это плохая картина из-за деликатного характера позиций в QM, о которых мы говорили ранее. Лучший способ подумать об этом — представить, что мы изменили все квантовые числа (на самом деле только все состояние, за исключением распределения вероятностей) обоих электронов. Итак, давайте сделаем это. Мы будем обозначать этот переключатель как переключатель пространственных аргументов, который предлагает первое изображение, но это просто для упрощения обозначений.

Операция смены состояний является перестановкой, назовем оператора, выполняющего эту задачу$\hat{P}$. Эффект от этого оператора очевиден. Мы опустим временную зависимость, так как она здесь несущественна:

$$\hat{P}\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = \Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1).$$

Распределение вероятностей$|\Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1)| = |\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2)|$должна быть неизменна этой операцией, поэтому это должно означать, что

$$\Psi(\vec{r}_2,\vec{r}_1) = \text{e}^{i\delta}\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2).$$

Кроме того, повторное переключение электронов должно вернуть волновую функцию к ее первоначальной форме, а это означает, что

$$\text{e}^{2i\delta} = 1$$

или

$$\text{e}^{i\delta} = \pm 1.$$

Таким образом, это означает, что акт «переключения» электронов либо оставляет волновую функцию неизменной, либо приводит к изменению знака. Обратите внимание, что ничто в приведенном выше обсуждении не зависит от того факта, что мы описываем именно эти электроны. Таким образом, это верно для двух общих частиц. Теперь первый вариант (без смены знака при переключении) связан с бозонами, второй — с фермионами. Так что для наших электронов происходит смена знака. Это антисимметрия, которую Оаоа уже подчеркивал в своем ответе. Мы получаем форму волновой функции из этого свойства:

$$\Psi(\vec{r}_1,\vec{r}_2) = A\left[\psi(\vec{r}_1)\phi(\vec{r}_2)-\psi(\vec{r}_2)\phi(\vec{r}_1)\right]$$

Обратите внимание, что эта волновая функция исчезает, если$\psi = \phi$, т. е. если состояния обоих электронов одинаковы.

Теперь, используя эту антисимметричную волновую функцию, мы можем выяснить, какова связь между принципом Паули (или антисимметрией двухэлектронной волновой функции) и расстоянием между электронами. Для этого рассчитаем средний квадрат расстояния между ними. Это дается (допустим, 1D для простоты записи)

$$\langle\Psi(x_1,x_2)|(x_1-x_2)^2|\Psi(x_1,x_2)\rangle \equiv \langle(x_1-x_2)^2\rangle = \langle x_1^2\rangle + \langle x_2^2\rangle - 2 \langle x_1x_2\rangle$$

«Несмешанные» ожидаемые значения могут быть рассчитаны довольно легко и, конечно, равны. Вместе они дают

$$\langle x_1^2\rangle + \langle x_2^2\rangle = \langle\psi|x^2|\psi\rangle + \langle\phi|x^2|\phi\rangle.$$

«Смешанное» математическое ожидание дает

$$\langle x_1x_2\rangle = \langle\psi|x|\psi\rangle\langle\phi|x|\phi\rangle - |\langle\psi|x|\phi\rangle|^2.$$

Обратите внимание, что второй член здесь соответствует фермионной перестановке$|\psi\rangle \leftrightarrow|\phi\rangle$. Эти результаты дают следующее выражение для среднего значения квадрата расстояния между электронами:

$$\langle(x_1-x_2)^2\rangle = \langle\psi|x^2|\psi\rangle + \langle\phi|x^2|\phi\rangle - 2\langle\psi|x|\psi\rangle\langle\phi|x|\phi\rangle + 2|\langle\psi|x|\phi\rangle|^2.$$

Что можно извлечь из этого? Что ж, для различимых частиц (скажем, электрона и мюона), которые не могут находиться в одном и том же состоянии, мы получаем одно и то же математическое ожидание, за исключением последнего члена . Этот термин называется обменным термином. Кажется, что электроны в среднем дальше друг от друга, чем, скажем, электрон и мюон. Насколько дальше определяется срок обмена. Обратите внимание, что обменный член равен нулю, если между волновыми функциями нет перекрытия (состояния совершенно разные).

Это подтверждает нашу предыдущую интуицию, только теперь у нас есть математический рецепт, подтверждающий ее. Мы могли бы сказать, что если средний квадрат расстояния между электронами намного больше, чем член обмена, принцип Паули не дает большого вклада. Если срок обмена сравним с другими условиями, принцип Паули намного строже.

Итак, принцип Паули гласит

• волновая функция системы идентичных частиц с целым спином имеет одно и то же значение, когда положения любых двух частиц меняются местами. Частицы с волновыми функциями, симметричными относительно обмена, называются бозонами;

• волновая функция системы одинаковых частиц с полуцелым спином меняет знак, когда две частицы меняются местами. Частицы с антисимметричными относительно обмена волновыми функциями называются фермионами.

со страницы Википедии о спин-статистической теореме . Приведенное выше утверждение подразумевает принцип запрета Паули , мы покажем, как.

Итак, теперь представим, что наша Вселенная не больше системы Земля-Луна (только для товарного понимания). Опишем один электрон — один фермион, один спин$1/2$частица, какая вам больше нравится — на Земле с волновой функцией, зависящей от положения и времени.$\phi_{E}\left(x_{1}\right)$. На товар отмечу$x\equiv\left(x,y,z,t\right)$для всех пространственно-временных параметров. То же самое для электрона на Луне, описанного$\phi_{M}\left(x_{2}\right)$. Индексы$1$и$2$предназначены для последнего использования, я, кстати, могу выбрать ту систему отсчета, которую хочу. Обратите внимание, что они сильно избыточны с индексами$E$и$M$. Затем принцип запрета Паули утверждает, что полная волновая функция для двух электронов равна

$$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right) = \phi_{E}\left(x_{1}\right)\otimes\phi_{M}\left(x_{2}\right)-\phi_{M}\left(x_{1}\right)\otimes\phi_{E}\left(x_{2}\right)$$

где индексы$E$и$M$сейчас бессмысленны. Поскольку тензорное произведение$\otimes$коммутативно, в частности

$$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right) = 0$$

это принцип исключения Паули в действии!

Если вы попытаетесь подобрать слова к математическому выражению для$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$, возможно:

взяв волновую функцию$\phi_{E}$одного электрона, который мы ранее идентифицировали как находящийся на Земле , и волновая функция$\phi_{M}$других электронов, которые мы ранее идентифицировали как находящиеся на Луне, и замена их местами приводит к противоположному знаку для тензорного произведения$\phi_{E}\otimes\phi_{M}$описывая их все вместе

Что мы понимаем под индексами$E$и$M$бессмысленны? Ну, если вы знаете , что один из электронов находится на Луне, а второй на самом деле на Земле, то нет никакого способа найти$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right)$, так как у двух электронов никогда не будет шанса встретиться друг с другом. (Я надеюсь, что расстояния Земля-Луна было достаточно, чтобы убедиться в этом, в противном случае делайте это между любыми звездами, которые вы предпочитаете, пока не убедитесь...)

Ключевым моментом является то, что мы имеем дело с неразличимыми частицами, когда индексы$E$и$M$не имеют никакого физического смысла. Эти индексы нужны только для того, чтобы придать смысл$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$и правильно определить антисимметрию полной волновой функции.

Действительно более разумно было бы думать так: если вы действительно настаиваете на описании двух электронов (одного на Земле и одного на Луне) с помощью уникальной волновой функции, то эта волновая функция$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$имеет свойство

$$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)=-\Psi\left(x_{2},x_{1}\right)$$

и в частности$\Psi\left(x_{1}=x_{2}\right) = 0$вот и все. Ничего мистического за этим нет. Это математическая помощь, потому что понятие неразличимости действительно трудно понять руками.

Итак, в чем причина антисимметрии? Ну, с самого начала я предполагаю, что можно найти один электрон. Это не имеет смысла в квантовой механике, которая сводится к плотности вероятности найти что-то где-то иногда, знаменитое$\Psi\left(x\right)$. Так$\Psi\left(x_{1},x_{2}\right)$примерно равна вероятности найти один электрон в пространственно-временной позиции$x_{1}$ и второй электрон в пространственно-временной позиции$x_{2}$.

Пожалуйста, сообщите нам, если у вас есть идея получше, чтобы смоделировать эту штуку :-)

Если вы можете выразить два электрона одной волновой функцией, тогда будет применяться принцип запрета Паули. Однако, за исключением самых простых систем, электроны будут взаимодействовать со своим окружением и запутываться в нем. Теперь у вас больше не волновая функция двух электронов, а волновая функция двух электронов плюс миллион других частиц, с которыми взаимодействовали электроны. В такой сложной системе уже не будет простой корреляции между спинами электронов.

Для такого маленького объекта, как атом или молекула, взаимодействие между электронами намного больше, чем взаимодействие с остальной частью Вселенной. Однако если вы попытаетесь построить двухэлектронную систему макроскопических размеров, взаимодействие с окружающей средой будет доминирующим, и вы потеряете корреляцию между электронными спинами.

Комментарии Брайана Кокса нужны для хорошего телевидения, но они применимы только к нереалистично упрощенным системам.

Ответ на комментарий:

Я думаю, вы можете смешивать идеи о запутанности и принципе запрета Паули. Если два электрона, один на Земле, а другой на Марсе, запутались, и я провожу измерения на электроне на Земле, то это немедленно повлияет на электрон на Марсе. Однако это не доставляет нам никаких проблем, потому что никакая информация не передается быстрее света. Сверхсветовое поведение фактически было измерено экспериментально .