Почему кинетическая энергия для нерелятивистских скоростей не описывается формулой KE=mc2KE=mc2KE=mc^2?

Вам нужно вычесть энергию покоя из общей энергии, чтобы получить кинетическую энергию, так что кинетическая энергия тела в состоянии покоя равна нулю. Другими словами,

$$\text{KE} = (\gamma-1)mc^2.$$ Вы обнаружите, что это выражение сводится к$\frac{1}{2}mv^2$на малых скоростях.

(Изначально я намеревался опубликовать это как ответ на ваш дополнительный вопрос: почему формула релятивистской кинетической энергии дает неверные результаты для нерелятивистских скоростей? , но поскольку этот вопрос сейчас закрыт, я опубликую его здесь).

Как уже упоминалось, при расчете кинетической энергии вы забыли вычесть массу-энергию покоя из общей энергии. Итак, вам нужно$\gamma-1$в этом уравнении не$\gamma$.

Позволять$E_N$— ньютоновская кинетическая энергия, а$E_R$— релятивистская кинетическая энергия. Так

$$E_N=\frac12 mv^2$$ $$E_R=(\gamma-1)mc^2$$

Когда$v=0$,$\gamma=1$и$E_N=E_R=0$, поэтому оба уравнения явно согласуются. Для маленьких$v>0$, мы ожидаем$E_N\approx E_R$, так

$$\frac12 mv^2 \approx (\gamma-1)mc^2$$ $$v^2/c^2 \approx 2(\gamma-1)$$ Позволять$\beta=v/c$. Мы хотим показать, что для$v \ll c$, $$q=\frac{\beta^2}{\gamma-1} \approx 2$$

Сейчас

$$1/\gamma^2=1-\beta^2$$ Так $$\beta^2=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2}$$ Следовательно $$q=\frac{\gamma^2-1}{\gamma^2(\gamma-1)}$$ $$q=\frac{\gamma+1}{\gamma^2}$$

Для маленьких$\beta$,$\gamma\approx 1$, и так$\gamma^2$, так

$$q\approx \frac{1+1}{1}=2$$

Вот полулогарифмический график$q$против$\beta$. Как вы видете,$q$остается близким к 2, пока$\beta$становится довольно большим.

---

Как отмечено в вашем последующем вопросе, вы можете столкнуться с ошибками округления при попытке вычислить$\gamma$,$\gamma-1$или$q$, если вы не используете арифметику произвольной точности. Однако, применив немного алгебры, можно получить хорошие приближения для этих величин, используя стандартные арифметические функции языка программирования или калькулятор, поддерживающий экспоненциальное представление. (Вы даже можете получить разумные результаты с помощью простого калькулятора без экспоненциальной записи, вам просто нужно вручную настроить десятичные разряды, чтобы числа оставались в диапазоне). Мы могли бы сделать это, используя методы исчисления, такие как разложение в ряд Тейлора, но есть более простой способ.

Основная проблема заключается в том, как получить точное значение$\gamma-1$когда$\beta$маленький. Отношение между$1/\gamma$и$\beta$является пифагорейским, и мы можем использовать простую пифагорейскую формулу для упрощения.

Для всех$k$,

$$(k^2+1)^2 = (k^2-1)^2 + (2k)^2$$ Позволять $$\beta=\frac{2k}{k^2+1}$$ затем $$\gamma=\frac{k^2+1}{k^2-1}$$ и $$\gamma-1=\frac{2}{k^2-1}$$ $$\gamma+1=\frac{2k^2}{k^2-1}$$

Замена на

$$q=\frac{\gamma+1}{\gamma^2}$$ мы получаем $$q=\left(\frac{2k^2}{k^2-1} \right) \left(\frac{k^2-1}{k^2 +1}\right)^2$$ $$q=\frac{2k^2(k^2-1)}{(k^2 +1)^2}$$

Позволять$z=(k^2+1)$

Таким образом

$$q=\frac{2(z-1)(z-2)}{z^2}$$ $$=\frac{2(z^2-3z+2)}{z^2}$$ $$q=2(1-3/z+2/z^2)$$ или $$q=2 - 6/(k^2+1) + 4/(k^2+1)^2$$

Итак, теперь у нас есть выражения для$\gamma-1$и$q-2$которые можно безопасно вычислить. Данный$k$, нам даже не нужно вычислять квадратные корни! Но как мы можем легко найти$k$данный$\beta$? Для маленьких$\beta$,$k\approx 2/\beta$, и это на самом деле очень разумное приближение для$\beta < 0.01$.

Позволять$n=2/\beta$, так

$$n=\frac{k^2+1}{k}$$ или $$n=k+1/k$$ Обратите внимание, что мы можем использовать либо$k$или его обратное представление$n$(и поэтому$\beta, \gamma$, и т. д).

$$k^2+1=nk$$ которые мы можем решить точно: $$k=\frac{n\pm\sqrt{n^2-4}}{2}$$ (Обратите внимание, что два решения являются обратными, нам нужно большее решение).

Это точное значение необходимо для больших$\beta$, но для таких скоростей можно было бы использовать стандартные формулы и не возиться с$k$. ;)

Для меньших скоростей, чтобы получить большую точность, чем$k=n$мы можем использовать$k=n-1/n$, и если мы хотим большей точности, мы можем повторить$k \leftarrow n - 1/k$несколько раз. Он не сходится быстро, но вполне подходит даже для$\beta\approx 0.1$. Если вы хотите исследовать, как быстро он сходится для различных$\beta$см. этот интерактивный сценарий Python/Sage .

Вот чуть более подробный интерактивный скрипт , который вычисляет$\gamma-1$и$q$от$v$, с 3 вариантами$k$:$n$,$n-1/n$, или истинное значение. Вы можете вводить такие выражения, как 0.1*cи c/50в vполе ввода. (Эти сценарии фактически закодированы в самом URL-адресе, а не хранятся на сервере SageMath).

Вы должны расширить выражение до первых 3 членов разложения Тейлора, для$v$маленький.$v=0$не мало, а равно нулю, что означает нулевую кинетическую энергию.

Для маленького у:$f(u) = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}u^2$

А также вычитание оставшейся энергии, как упоминал Пак.