Когда положение измеряется, неопределенность положения результирующего дельта-всплеска равна 0.

Это представление является корнем проблемы. Квантовые состояния, которые на самом деле являются собственными состояниями оператора положения, математически патологически, а также совершенно нефизичны.

Некоторые математические инструменты

Рассмотрим одномерную систему. Предполагать$\{|x\rangle \}$является ортонормированным базисом векторного пространства возможных квантовых состояний. Тогда мы должны быть в состоянии расширить любое общее состояние$|\Psi \rangle$по этому основанию

$$|\Psi\rangle = \int_x |x\rangle \Psi(x) \, dx. \qquad (1)$$

В этом уравнении просто подумайте о$\Psi(x)$как коэффициенты разложения вектора$|\Psi\rangle$в основе$\{|x\rangle \}$. Если отнестись к этому расширению серьезно, чтобы$\Psi(x)$— коэффициенты разложения, и если базис действительно ортонормирован, то должно быть так, что

$$\langle y | \Psi \rangle = \Psi(y) . \qquad (2)$$

Вставка (2) в (1) дает

$$|\Psi \rangle = \int_x |x\rangle \langle x | \Psi \rangle \, dx = \left( \int_x |x\rangle \langle x | \, dx \right) | \Psi \rangle$$

что предполагает, что

$$\int_x |x \rangle \langle x | \, dx = 1 \qquad (*)$$

Помните уравнение$(*)$навсегда, так как это имеет решающее значение.

Хорошо, теперь давайте начнем с (2) и впишем в него (1):

$$\begin{align} (2) &\qquad \langle y | \Psi \rangle &= \Psi(y) \\ \text{use }(1) &\qquad \langle y | \int_x |x \rangle \Psi(x) \, dx &= \Psi(y) \\ &\qquad \int_x \langle y | x \rangle \Psi(x) \, dx &= \Psi(y) \end{align}$$

Это уравнение показывает, что$\langle y | x \rangle = \delta(y-x)$. Это просто формальное доказательство того, что вы уже знаете, что собственное состояние позиции является дельта-функцией.

Собственные состояния не нормализованы

Позволять$| p\rangle$быть импульсным собственным состоянием с собственным значением$p$. Вы можете знать, что$\langle x | p \rangle = e^{ipx/\hbar}$. Другими словами, волновая функция в базисе положения собственного состояния импульса равна$e^{ipx/\hbar}$. Используя это, мы можем попытаться найти норму$|p\rangle$

$$\begin{align} \langle p | p \rangle &= \langle p | \left( \int_x | x \rangle \langle x | \, dx \right) \left( \int_y | y \rangle \langle y| \, dy \right)| p \rangle \\ &= \left( \int_x \langle p | x \rangle \langle x | \, dx\right) \left( \int_y | y \rangle \langle y | p \rangle \, dy \right) \\ &= \int_{x,y}e^{-ipx/\hbar}e^{ipy/\hbar} \langle x | y \rangle \, dx \, dy \\ &= \int_{x,y} e^{ip(y-x)/\hbar}\delta(y-x) \, dx \, dy \\ &= \int_x 1 \, dx \end{align}$$

Это проблема. Интеграл от 1 по всем возможным$x$определенно не конечное число. Это серьезная проблема, потому что наши базы должны быть нормализованы. Оказывается, с непрерывным набором собственных значений, таких как положение и импульс, вы не можете придумать нормализуемые базисные состояния [1]. Отметим также, что волновая функция импульса$e^{ipx/\hbar}$имеет бесконечную неопределенность положения.

Дело в том, что собственные состояния положения и импульса являются математически патологическими, поэтому любые соотношения (например, соотношение неопределенностей), полученные в общем случае, разваливаются при применении к собственным состояниям положения и импульса.

Ответ на вопросы

Является$0 \times \infty$просто определено, чтобы быть$\ge \hbar /2$?

Нет. Соотношение неопределенностей просто не работает с собственными состояниями положения и импульса, потому что они патологические.

Обычное применение принципа неопределенности, насколько мне известно, - это ограничение до фактического проведения измерения в отношении изменения ожидаемых значений наблюдаемых. После того как вы произвели измерение, принцип неопределенности больше не применяется?

Отношение$\sigma_x \sigma_p \ge \hbar / 2$— это просто утверждение о формах, которые может иметь волновая функция, или, что то же самое, о возможных результатах, которые вы можете получить, производя измерения ансамбля квантовых состояний. Он сохраняется до, во время и после измерения!

В реальной жизни вы не можете выполнить измерение, которое свернет состояние в собственное состояние положения. Оказывается, для этого нужен аппарат бесконечно больших размеров. В любом реальном эксперименте после измерения всегда существует конечная ширина базисной волновой функции положения. Это, в свою очередь, приводит к конечным значениям для$\sigma_x$и$\sigma_p$и всегда выполняется соотношение неопределенностей.

Вернитесь к своему уравнению$0 \times \infty \ge \hbar / 2$. Вместо того, чтобы иметь дельта-функцию в положении, давайте предположим, что у нас есть острый, но конечный пик, что-то вроде$\exp [ -x^2 / (2\sigma_x^2)]$где$\sigma_x$очень мал. В этом случае волновая функция по импульсу равна$\exp[ -p^2 / (2\sigma_p^2)]$где$\sigma_p = \hbar / 2 \sigma_x$. Обратите внимание, что$\sigma_p$большой, потому что$\sigma_x$маленький. Это делает$0 \times \infty \ge \hbar/2$скорее

$$\text{big thing} \times \text{small thing} \ge \hbar / 2$$

что остается верным, если вы действительно не рассматриваете сумасшедший случай, когда неопределенность положения фактически стремится к нулю.

[1] Мы могли бы увидеть это, попытавшись вычислить норму позиционного состояния.$|x\rangle$, но это включает в себя квадрат дельта-функций, которые могут сбивать с толку.

Насколько я понимаю, ваше утверждение касается не измерения как такового , а больше похоже на то, что «если я готовлю частицу в собственном состоянии положения или импульса, не означает ли это, что у меня есть произведение неопределенностей?$0.\infty$?" не так ли?

Одна из первых проблем с этим утверждением состоит в том, что соответствующие «волновые функции» этих состояний не$L^2(\mathbb{R})$и поэтому не может реально представить физическое состояние частицы.

Вторая проблема заключается в том, как бы вы на самом деле подготовили повторяющимся образом одно и то же собственное состояние либо положения, либо импульса. Маршрут, который вы предлагаете, кажется, «путем измерения либо положения, либо импульса» частицы, которая с самого начала будет находиться в любом квантовом состоянии и полагаться на коллапс волны. Проблема с этой стратегией заключается в том, что, поскольку в неограниченной системе$X$и$P$являются непрерывными переменными, то и их соответствующие распределения вероятностей. Одна вещь, которую нужно знать о непрерывных распределениях вероятностей, это то, что они никогда не дают дважды один и тот же результат , т.е.$X=x$или$P=p$скажем, строго равен нулю (именно поэтому эти состояния соответствуют нефизическим волновым функциям).

Теперь, если вместо этого вы представите ящик с твердыми стенками, вы сможете подготовить частицу в состоянии с определенным импульсом, например, поскольку импульсы принимают только дискретные значения. Единственная проблема заключается в том, что гамильтониан строго не коммутирует с оператором импульса, и импульс будет меняться со временем (поскольку частица может многократно отскакивать от стен и менять, по крайней мере, направление импульса).