Амплитуда вероятности в терминах непрофессионала

Часть вашей проблемы

«Амплитуда вероятности — это квадратный корень из вероятности [...]»

Амплитуда представляет собой комплексное число, амплитуда которого представляет собой вероятность. То есть$\psi^* \psi = P$где верхний индекс звездочки означает комплексное сопряжение. ¹ Проведение этого различия может показаться немного педантичным, потому что до сих пор «комплексная фаза» амплитуд вообще не влияла на наблюдаемые: мы всегда могли бы повернуть любую заданную амплитуду на положительную действительную прямую, а затем «квадратный корень». было бы хорошо.

Но мы не можем гарантировать, что сможем вращать таким образом более одной амплитуды одновременно.

Более того, есть два способа комбинирования амплитуд для нахождения вероятностей наблюдения комбинированных событий.

• Когда конечные состояния различимы, вы добавляете вероятности:$P_{dis} = P_1 + P_2 = \psi_1^* \psi_1 + \psi_2^* \psi_2$.

• Когда конечное состояние неразличимо, ² вы добавляете амплитуды:$\Psi_{1,2} = \psi_1 + \psi_2$, а также$P_{ind} = \Psi_{1,2}^*\Psi_{1,2} = \psi_1^*\psi_1 + \psi_1^*\psi_2 + \psi_2^*\psi_1 + \psi_2^*\psi_2$. Члены, которые смешивают амплитуды, помеченные 1 и 2, являются «терминами интерференции». Из-за интерференционных членов мы не можем игнорировать сложную природу амплитуд, и они вызывают много видов квантовых странностей.

¹ Здесь я использую обозначение, напоминающее формулировку Шредингера, но такая интерпретация не требуется. Просто прими$\psi$как комплексное число, представляющее амплитуду для некоторого наблюдения.

² Это не точно, государства должны быть «согласованными», но вы не хотите слышать об этом сегодня.

Прежде чем пытаться понять собственно квантовую механику, я думаю, полезно попытаться понять общую идею ее статистики и вероятности.

Есть в основном два вида математических систем, которые могут дать нетривиальный формализм для вероятности. С одним из них мы знакомы из повседневной жизни: у каждого исхода есть вероятность, и эти вероятности в сумме составляют 100 %. У медали две стороны, каждая с вероятностью 50%.$50\% + 50\% = 100\%$, так что вы идете.

Но есть и другая система вероятностей, сильно отличающаяся от той, к которой мы с вами привыкли. Это система, в которой каждому событию соответствует вектор (или комплексное число), а сумма квадратов величин этих векторов (комплексных чисел) равна 1.

Квантовая механика работает в соответствии с этой последней системой, и по этой причине мы часто имеем дело с комплексными числами, связанными с событиями . Волновая функция частицы — это просто распределение этих комплексных чисел в пространстве. Мы решили назвать эти числа «амплитудами вероятности» просто для удобства.

Система вероятностей, которой следует КМ, сильно отличается от того, чему нас ожидает повседневный опыт, и это имеет много математических следствий. Это делает возможным, например, интерференционные эффекты, которые можно объяснить непосредственно только амплитудами. По этой причине амплитуды значимы физически — они значимы, потому что математическая модель вероятности в квантовом масштабе — это не то, к чему мы с вами привыкли.

Изменить : относительно «просто дополнительных вещей под капотом». Вот более конкретный способ говорить о разнице между классической и квантовой вероятностью.

Позволять$A$а также$B$быть взаимоисключающими событиями. В классической вероятности они имели бы связанные вероятности$p_A$а также$p_B$, а суммарная вероятность их появления получается сложением$p_{A \cup B} = p_A + p_B$.

В квантовой вероятности вместо этого складываются их амплитуды. Это ключевое отличие. есть полная амплитуда$\psi_{A \cup B} = \psi_A + \psi_B$. а квадрат величины этой амплитуды, то есть вероятность, выглядит следующим образом:

Существует дополнительный термин , приводящий к физически другому поведению . Это дает количественную оценку эффектов помех, и для правильного выбора$\psi_A$а также$\psi_B$, вы можете получить два события с ненулевыми индивидуальными вероятностями, но вероятность объединения равна нулю! Или выше, чем индивидуальные вероятности.

В квантовой механике амплитуда$\psi$, а не вероятность$\mid\psi\mid^2$, является величиной, которая допускает принцип суперпозиции . Обратите внимание, что динамика физической системы (уравнение Шредингера) сформулирована в терминах эволюции этого объекта и является линейной. Обратите внимание, что работая с суперпозицией$\psi$также допускает сложные фазы$e^{i\theta}$играть роль. В том же духе перекрытие двух систем вычисляется путем исследования перекрытия амплитуд.

Я согласен с другими предоставленными ответами. Однако вы можете обнаружить, что амплитуды вероятности более наглядны в контексте подхода Фейнмана к интегралу по путям.

Предположим, что частица создана в месте$x_1$вовремя$0$и что вы хотите знать вероятность наблюдения его позже в каком-то положении$x_2$вовремя$t$.

Каждый путь$P$это начинается в$x_1$в нулевое время и заканчивается в$x_2$вовремя$t$связана с (комплексной) амплитудой вероятности$A_P$. В рамках подхода интеграла по путям полная амплитуда первоначально описанного процесса определяется суммой всех этих амплитуд:

$A_{\textrm{total}} = \sum_P A_P$

Т.е. сумма по всем возможным путям, которые частица может пройти между$x_1$а также$x_2$. Эти пути когерентно интерферируют, и вероятность наблюдения частицы на$x_2$вовремя$t$определяется квадратом полной амплитуды:

$\textrm{probability to observe the particle at $x_2$ at time $t$} = |A_{\textrm{total}}|^2 = |\sum_P A_P|^2$

Я должен отметить, что формализм интеграла по путям Фейнмана (описанный выше) на самом деле является частным случаем более общего подхода, в котором амплитуды связаны с процессами, а не с путями.

Кроме того, хорошим справочником по этому вопросу является третий том «Лекций Фейнмана» .

В квантовой механике частица описывается ее волновой функцией$\psi$(в пространственном представлении это будет, например,$\psi(x,t)$, но я опускаю аргументы в следующем). Наблюдаемые, такие как позиция$x$представлены операторами$\hat x$. Среднее значение положения частицы вычисляется как

С$\hat x$применительно к$\psi(x,t)$просто дает позицию$x$раз$\psi(x,t)$мы можем записать интеграл как

$\tilde \psi$представляет собой комплексное сопряжение$\psi$и поэтому$\tilde \psi \psi=|\psi|^2$.

И, наконец, поскольку среднее значение обычно вычисляется как интеграл по переменной, умноженной на распределение вероятностей$\rho$в качестве

Таким образом, волновая функция (которая является решением уравнения Шредингера, описывающего рассматриваемую систему) представляет собой амплитуду вероятности в смысле первого предложения статьи, на которую вы ссылаетесь.

Наконец, гантель показывает область в пространстве, где$|\psi|^2$больше, чем какое-то очень малое число, поэтому в основном области, где вполне вероятно найти электрон.

Взгляните на это упрощенное утверждение при описании поведения частицы в потенциальной проблеме:

В квантовой механике амплитуда вероятности — это комплексное число, квадрат модуля которого представляет вероятность или плотность вероятности.

Это комплексное число получается из решения квантово-механического уравнения с граничными условиями задачи, обычно уравнения Шредингера, решениями которого являются «волновые функции».$\psi(x)$, куда$x$представляет координаты в общем для этого аргумента.

Значения, принимаемые нормированной волновой функцией$\psi$в каждой точке$x$являются амплитудами вероятности, поскольку$|\psi(x)|^2$дает плотность вероятности в положении$x$.

Чтобы перейти от комплексных чисел к распределению вероятности, вероятности обнаружения частицы, мы должны взять комплексный квадрат волновой функции$\psi^\ast\psi$.

Таким образом, «амплитуда вероятности» — это альтернативное определение/идентификация «волновой функции», появившееся после того, как экспериментально было обнаружено, что$\psi^\ast \psi$дает распределение плотности вероятности для рассматриваемой частицы.

Сначала вычисляется ψ, а затем можно оценить плотность вероятности$\psi^\ast \psi$, А не наоборот. Значение$\psi$заключается в том, что это результат вычислений.

Я согласен, что это сбивает с толку нефизиков, которые знают вероятности из статистики.