Считается ли обычно правило Борна аксиомой квантовой механики?

Правильное утверждение состоит в том, что вероятность того, что измерение наблюдаемой, представленное эрмитовым оператором$A$(с невырожденным спектром) по состоянию$\vert\psi\rangle$даст собственное значение$\lambda_i$дан кем-то

$$\begin{align}p_i=\frac{\langle\psi\vert\psi_i\rangle\langle\psi_i\vert\psi\rangle}{\langle\psi\vert\psi\rangle}\end{align}$$ где$\vert\psi_i\rangle$является нормализованным собственным состоянием оператора$A$соответствующее собственному значению$\lambda_i$. Однако это не требует, чтобы$\vert\psi\rangle=\sum_i\vert\psi_i\rangle$. Вектор состояния$\vert\psi\rangle$может быть наиболее общим нормализуемым состоянием и, таким образом, в общем случае может быть представлено как общая линейная комбинация$\vert\psi\rangle=\sum_ic_i\vert\psi_i\rangle$где$c_i\in\mathbb{C}$.

Это утверждение называется правилом Борна.

Он должен быть снабжен тесно связанной аксиомой, которая носит название постулата коллапса или постулата редукции волновых пакетов, чтобы дать «полную» картину того, что происходит, когда вы выполняете измерение. В нем говорится, что вышеупомянутое измерение развивает состояние$\vert\psi\rangle$в собственное состояние$\vert\psi_i\rangle$соответствует результату$\lambda_i$.

Все это можно сделать немного более общим, чтобы позаботиться об измерениях операторов с вырожденными спектрами с помощью проекционных операторов, но основная идея уже здесь. В случае измерения оператора$A$с различными собственными значениями$\lambda_i$такой, что$A=\sum_i\lambda_i\mathbb{P}_i$где$\mathbb{P}_i$s — проекционные операторы, соответствующие$i^\mathrm{th}$собственное подпространство, вероятность результата измерения, дающего$\lambda_i$дан кем-то

$$\begin{align}p_i=\frac{\langle\psi\vert\mathbb{P}_i\vert\psi\rangle}{\langle\psi\vert\psi\rangle}\end{align}$$

Постулат редукции волновых пакетов теперь говорит, что вышеупомянутое измерение развивает состояние$\vert\psi\rangle$государству$\frac{\mathbb{P}_i\vert\psi_i\rangle}{\langle\psi\vert\mathbb{P}_i\vert\psi\rangle}$соответствует результату измерения$\lambda_i$. Обратите внимание, что знаменатель здесь необходим для обеспечения нормализации результирующего состояния.

---

Насколько мне известно, в стандартном учебнике по квантовой механике обе эти аксиомы всегда считаются основными. Можно сформулировать их квантовую механику, используя другой математический формализм, но они все равно должны обеспечить некоторый перевод этих аксиом как аксиом в своей структуре — до тех пор, пока они действительно являются просто другой формулировкой квантовой механики из стандартного учебника по своему физическому содержанию.

Сказав это, были попытки, начиная с 1957 года и продолжающиеся по сей день, вывести правило Борна. Было в основном три подхода к попытке вывода:

• Теоретико-мерные/частотные подходы

  • Довольно теоретико-мерная и математическая теорема Глисона 1957 г. утверждает, что в гильбертовом пространстве с$d>3$, единственная вероятностная мера, согласующаяся с другими аксиомами квантовой механики (линейность и т. Д.), Задается правилом Борна.
  • Доказательство правила Борна Хартлом в 1968 году , по сути, показывает, что правило Борна является квантово-механической версией слабого закона больших чисел.
  • Доказательство правила Борна, проведенное Фахри, Голдстоуном и Гутманом в 1989 году, показывает , что правило Борна является квантово-механической версией усиленного закона больших чисел.

• Подходы, основанные на симметрии

  • В статье Зурека 2005 года правило Борна выводится с использованием аргумента, основанного на инвариантности , которая представляет собой инвариантность, которую демонстрируют системы, запутанные с окружающей средой.
  • В статье Кэрролла и Себенса 2015 года правило Борна выводится в контексте многомировой формулировки квантовой механики. Они используют «принцип эпистемической отделимости», который является просто странным/причудливым способом сказать, что вероятность результата измерения не должна зависеть от эволюции среды, которая не связана и не связана с системой.

• Теоретические подходы к принятию решений

  • Я просто упоминаю их для полноты и предлагаю более информированному читателю не стесняться редактировать ответ и заполнять детали.

Теперь ни одна из этих попыток не была принята, по крайней мере до сих пор, сообществом как истинные производные от правила Борна. По сути, в стандартной квантовой механике нет никакого правдоподобного способа отказаться от аксиомы редукции волновых пакетов (которая должна сопровождать правило Борна, чтобы вероятности имели смысл, иначе была бы просто детерминистическая эволюция в соответствии с уравнением Шредингера). Таким образом, даже если показать, что правило Борна — единственная непротиворечивая вероятностная мера для гильбертовых пространств квантовой механики, оно не вступает в контакт с физическими утверждениями, сделанными стандартными аксиомами. Другой подход, в частности статьи Кэрролла и Дойча (последний из которых работал над подходами теории принятия решений), находится в рамках многословной формулировки. Там, вы можете понимать сокращение волновых пакетов как уменьшение относительного состояния системы по отношению к наблюдателю, не нарушая лежащей в основе унитарности. Однако здесь концептуально сложно вывести правило Борна. Одна из причин заключается в том, что наивный подсчет ветвей приводит к противоречию с правилом Борна. А более изощренные эпистемологические подходы подвергались критике либо за цикличность, либо за небрежность.

Вы можете увидеть критику выводов правила Борна в статьях Адриана Кента, 1997 и 2014 . Я бы также рекомендовал взглянуть на этот ответ на мой недавний вопрос , чтобы @ChiralAnomalyполучить некоторые общие комментарии о выводах правила Борна.