Почему |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 плотность вероятности?

Я начинаю с квантовой механики, учусь онлайн. Я не могу найти причину | Ψ | 2 плотность вероятности обнаружения электрона. Они просто воспринимали это как должное везде. Я изучаю всю эту математику, но не могу полностью понять интуитивную идею, стоящую за всем этим. Если кто-то может объяснить это с должным рассуждением, я был бы признателен.

Возможный дубликат: physics.stackexchange.com/q/73329/2451 и ссылки в нем.
Это вопрос другого рода, но, возможно, этот мой ответ может чем-то помочь.
См. эту статью Скотта Ааронсона . Он рассматривает другие способы вычисления плотности вероятности и показывает, что 2-норма является единственно физически разумной.
@JohnRennie спасибо, но эта статья сейчас выходит за рамки моей компетенции.
@Wouter- Это был очень интересный ответ, очень интуитивный. Спасибо.
Документ , упомянутый в комментарии @JohnRennie, содержит более подробное обсуждение моего ответа, приведенного ниже (который, я считаю/надеюсь, легче понять).

Ответы (3)

Короткий ответ

Причина, по которой физическая величина, такая как вероятность, определяется выражением | Ψ | 2 а не какая-то другая функция Ψ это геометрия, а именно теорема Пифагора. Если у вас есть вектор, который указывает от источника к ( Икс ^ , у ^ , г ^ ) координаты ( Икс , у , г ) , то длина ℓ дан кем-то ℓ 2 "=" Икс 2 + у 2 + г 2 .

Почему это определение длины? Если вы повернете свои координаты или переместите вектор в другое место, то то, что мы называем длиной, не должно измениться. Так ℓ называется длиной, потому что форма ℓ (сумма квадратов) - единственная величина, которая остается постоянной, даже если вы вращаете или перемещаете вектор (или перемещаете или вращаете свои координаты).

Более длинный ответ

Квантовая механика является линейной, что означает, что если у вас есть 2 (или более) взаимоисключающих состояния/результата, которые мы записываем символически, используя нотацию Дирака как | А ⟩ и | Б ⟩ , то любая линейная комбинация также является допустимым состоянием, т.е.

| ψ ⟩ "=" ψ а | А ⟩ + ψ б | Б ⟩ ,
где ψ а и ψ б являются числами. Но из-за этой линейности мы также можем представить | ψ ⟩ на другой основе, а не | А ⟩ и | Б ⟩ , но "длина" ψ не должен меняться. Единственная функциональная форма для «длины» ‖ ψ ‖ , который не изменится, если мы изменим (или «повернем») наши базовые функции/состояния, представляет собой сумму квадратов, как и в случае геометрической длины вектора, т.е.
‖ ψ ‖ 2 ∝ | ψ а | 2 + | ψ б | 2 + ⋯ .

Теперь, если вы говорите, что состояние должно быть нормализовано до 1 (т.е. ‖ ψ ‖ 2 "=" 1 ), то теперь у вас есть группа положительных терминов, сумма которых равна единице, независимо от того, как вы описываете свое состояние. Обратите внимание, что ψ а 2 + ψ б 2 + ⋯ или ψ а 2 + ψ б 2 + ⋯ инвариантно (равно 1), но ψ а 2 + ψ б 2 + ⋯ (или любая другая форма) нет. Кроме того, такие термины, как ψ а ≡ ⟨ А | ψ ⟩ являются мерой того, насколько близко состояние | ψ ⟩ находится в государстве | А ⟩ поэтому вероятность того, что | ψ ⟩ измеряется в состоянии | А ⟩ должна быть какая-то функция ψ а . Сочетание этих двух фактов дает | ψ а | 2 как единственно возможная форма этой вероятности.

+1 Хотя это, вероятно, лучший ответ, я не принимаю его, потому что не уверен, что полностью его понимаю (в вашем объяснении нет ничего плохого, я только что начал QM, поэтому за всем этим трудно понять интуицию). Спасибо за помощь!
Но почему вероятности должны быть инвариантны относительно вращений?
Луч в гильбертовом пространстве просто означает, что частица существует. Или, другими словами, вероятности всех возможных исходов должны в сумме равняться единице. Вращение может представлять собой активное преобразование (изменение квантового состояния) или пассивное преобразование (вы просто меняете представление или основу измерения). В любом случае вероятности должны в сумме равняться единице.

Рассмотрим знаменитый двухщелевой эксперимент с фотонами. При обычной установке мы обозначаем количество фотонов, прошедших через Н и обозначим число фотонов, попавших на пленку между у и у + Δ у к н ( у ) . Вероятность того, что фотон будет обнаружен между у и у + Δ у вовремя т дан кем-то:

п у ( у , т ) ≡ лим Н → ∞ ( н ( у ) Н )
Если рассматривать это с классической электромагнитной точки зрения, то указанная выше величина известна как интенсивность я электромагнитной волны, которая, как известно, пропорциональна:
я ( у , т ) ∝ | ψ ( у , т ) | 2 Δ у
где ψ обозначают волновую функцию электромагнитной волны. (Обратите внимание, что это уравнение может быть получено из уравнений Максвелла.) Из приведенных выше двух уравнений легко увидеть, что плотность вероятности определяется выражением:
п ( у , т ) ∝ | ψ ( у , т ) | 2
Более подробное обсуждение можно найти на страницах с 18 по 24 этих заметок .

Я искал более интуитивный ответ, но я думаю, что это тот, который имеет наибольший смысл из всех. Большое спасибо!
@ПартВейдер без проблем. Кроме того, имейте в виду: квантовая механика в целом печально известна своей нелогичностью.
Как это выражение для интенсивности выводится из уравнений Максвелла? Возможно, этот аргумент работал бы лучше, если бы речь шла об интерференции электронов. Это позволит избежать смешения E&M с квантовой механикой и сгладит дискуссию.
@garyp Я не уверен, что ты имеешь в виду. Я сознательно выбрал интерференцию фотонов, чтобы мы смешали E&M с QM. Отсюда мы можем постулировать известное выражение для плотности вероятности, которое затем переносится на другие частицы (такие как электроны) благодаря корпускулярно-волновому дуализму. Это дает ОП логику вывода плотности вероятности. В конце концов, конечно, это верно, потому что эксперименты показали, что это правда.
@Hunter Конечно, я полностью понимаю твою точку зрения. Мое небольшое замечание состоит в том, что вы должны принять классическое волновое уравнение в качестве квантово-механической волновой функции для фотона. Это оправдано, но я думаю, что это уводит дискуссию в область квантовой теории поля, которая, я бы сказал, более сложна, чем здесь требуется.
@garyp Я вообще не думаю, что это квантовая теория поля. Точно так же мы можем использовать нерелятивистское уравнение Шредингера для описания взаимодействия электрона с электромагнитными потенциалами (см. этот ответ ). Как мы оба согласны, формула плотности вероятности является постулатом, который оправдан (как вы говорите) «потому что он работает». Но эти постулаты не вытаскиваются из волшебной шляпы. Точно так же уравнение Шредингера не может быть получено из первого
принципов, но это не значит, что кто-то просто случайно записал это, и оно «случайно сработало». Существует логическая процедура, позволяющая постулировать эти формулы.
эй теперь в первой части я не понял с N стремится к бесконечности и как это интенсивность не могли бы вы объяснить
Я никогда не видел, чтобы интенсивность писалась так, не могли бы вы прислать мне ссылку, пожалуйста

Я думаю, что ответ "потому что это работает". В начале развития квантовой механики такая интерпретация была дана волновой функции, и за десятилетия она оказалась полезной интерпретацией. Оно работает. Кроме того, тот факт, что можно определить связанный ток и что существует квантово-механическое выражение, гарантирующее, что | Ψ | 2 сохраняется, когда этот ток принимается во внимание, поддерживает интерпретацию.

Вы говорите, что «плотность вероятности» — это просто интерпретация | Ψ | 2 ? Это можно было интерпретировать и как-то иначе?
Да, но альтернативы не столь интуитивно удовлетворительны. Некоторые особенности интерпретации беспокоили многих людей. В частности, представление о том, что волновая функция «схлопывается» до четко определенного значения при измерении. Как это может быть, если | Ψ | 2 представляет собой плотность вероятности обнаружения частицы? Аргументы и альтернативы трудно понять, ИМО. Конечно, большинство людей уделяют им мало внимания, оставляя проблемы специалистам и философам. Один из вариантов - дать Ψ вообще никакого смысла, придавая смысл только ожидаемым значениям.
Это то, что я тоже должен делать, изучая QM, я думаю, ха-ха.
Почему |Ψ|2|Ψ|2|\Psi|^2 плотность вероятности?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v