Есть ли математическая основа правила Борна?

Одна из причин исходит из наблюдения за световыми волнами и поляризацией — когда свет проходит через какой-либо фильтр, энергия световой волны масштабируется на$\cos^2\theta$-- для одного фотона это означает (поскольку вы не можете иметь$\cos^2\theta$фотона) существует вероятность$\cos^2\theta$что количество проходящих фотонов равно «1». Этот$\cos\theta$это просто скалярное произведение «вектора состояния» (вектора поляризации) и собственного вектора числового оператора, связанного с поляризационным фильтром с собственным значением 1, т. е. вероятность наблюдения «1» равна$|\langle\psi|1\rangle|^2$, а вероятность наблюдения «0» равна$|\langle\psi|0\rangle|^2$, что является правилом Борна.

Итак, если вы мотивируете вектор состояния на основе вектора поляризации, вы можете мотивировать правило Борна из$E=|A|^2$, как указано выше.

Более абстрактно, если вы принимаете другие аксиомы квантовой механики, правило Борна является своего рода «единственным способом» кодирования вероятностей, поскольку вы хотите, чтобы вероятность объединения непересекающихся событий была аддитивной (эквивалентно теореме Пифагора), а общая вероятность быть единицей (длина вектора состояния равна единице).

Но нельзя «вывести» правило Борна, это аксиома. Квантовая механика фундаментально отличается, например, от теории относительности в том смысле, что она развивает совершенно новую абстрактную математическую теорию, связанную с реальным миром. Таким образом, в отличие от теории относительности, у вас нет двух аксиом, которые буквально являются результатом наблюдения, и все вытекает из него — вместо этого у вас есть аксиоматизация математической теории, а затем способ связать теорию с наблюдением, который таково правило Борна. Конечно, мотивация квантовой механики проистекает из корпускулярно-волнового дуализма, но это не аксиоматизация.

Вот ответ на вопрос, поставленный в заголовке:

Зурек вывел правило Борна, используя инвариантность (инвариантность из-за запутанности).

Кроме того, Сондерс вывел правило Борна из операционных предположений.

Однако все согласны с тем, что не существует общепринятого вывода правила Борна.

Обновление: правило Борна было получено из более простых физических принципов в этой статье «Постулаты измерения квантовой механики избыточны» . Авторы заявляют, что «наш результат показывает, что правило Борна является не только хорошей догадкой, но и единственной логически последовательной догадкой».

Борн рассчитал решение уравнения Шредингера, соответствующее эксперименту по рассеянию электронов, и он получил непрерывную функцию углов рассеяния, измеренных относительно исходного направления распространения электронов.

Однако в эксперименте электроны всегда регистрируются в определенных точках экрана. Ясно, что прямого соответствия между$\psi$функция (непрерывная) и расположение обнаруженных электронов (дискретная). Борн нашел способ устранить это несоответствие и использовать вычисляемую функцию$\psi$в любом случае следует предположить, что это дает непрерывную плотность вероятности для углов, в которые входит электрон, или, в более общем смысле, плотность вероятности для любой возможной конфигурации частиц.

Если вы хотите найти вероятность в статистике, вы должны сделать то же самое, но что касается волновой функции, никто не смог ее интерпретировать, Борн предположил, что то же самое применимо и к квантовой волновой функции. До Борна физики применяли то же самое и к фотонам.

Как и Шредингер, он не мог визуализировать волновую функцию, но все же показал свое уравнение для реальных волн (таких как струнные или любые другие механические волны), и оно также подходило для квантовых волн.

Модель Бора — превосходная модель водорода с точки зрения предсказания его спектральных линий с помощью классической физики, использующая кольцевой источник заряда, вращающийся с определенной частотой и радиусом от центрального атома, который минимизирует полную энергию конфигурации с границей условие когерентной конструктивной интерференции электронной волны, проходящей один раз по кольцу.

Соотношение Борна напрямую связано с физическими интерпретациями, поэтому он возвел волновую функцию в квадрат. Это похоже на то, как в синусоидах не показаны физические структуры, но$\sin^2$дает квадрат волновой функции электронов, вылетающих на экран.