Из чего конкретно следует необходимость квантовой механики для самосопряженных, а не только симметричных операторов? [дубликат]

Мы знаем, что квантовая механика требует самосопряженных операторов, а не только симметричных. Можем ли мы сказать, что это следует ТОЛЬКО из двух следующих аксиом квантовой механики, а именно, что

  1. каждый наблюдаемый а соответствует линейный оператор А

и

  1. ожидаемое значение измерения а должно быть реальным

?

Я думал, что эти два подразумевают только потребность в эрмитовых (т.е. симметричных) операторах (поскольку линейный эрмитов оператор имеет действительные собственные значения) и что потребность в самосопряженности каким-то образом связана с дополнительным требованием, таким как унитарность оператора эволюции во времени . Какова недостающая часть?

(Я знаю, как определяются эти два термина, например, здесь .)

Самосопряженные операторы хороши тем, что с ними можно делать гораздо больше, например: 1) они находятся во взаимно однозначном соответствии с сильно непрерывной унитарной группой (эволюционных) операторов; 2) для них можно написать спектральную теорему (и тем самым определить функции оператора, спектральные проекции,...)

Ответы (2)

В QM реально оцененная наблюдаемая А математически представлен мерой с проектором над р , п ( А ) , т. е. если Е является борелевским подмножеством реальной прямой, то п ( А ) ( Е ) проектор, представляющий предложение «результат измерения А попадает в Е В принципе, это все, что вам нужно для математического представления наблюдаемых в КМ (я предполагаю фундаментальную формулировку теории через недистрибутивную решетку предложений).

Но по спектральной теореме для неограниченных самосопряженных операторов (доказанной фон Нейманом) мы знаем, что при заданной наблюдаемой А представленный мерой, оцениваемой проектором п ( А ) , есть самосопряженный оператор, также называемый А , такое что следующее разложение единственно

А "=" ∫ р λ д п ( А ) ( λ )
.

Спектр о ( А ) ⊂ р совпадает с поддержкой п ( А ) .

Вот как и почему мы получаем обычное однозначное соответствие между наблюдаемыми и самосопряженными операторами в КМ.

Итак, чтобы переварить первую часть вашего ответа, мне придется проверить в нем некоторые понятия (элемент Бореля, ...).
Это термины из теории меры. В мире математических основ КМ теория меры распространена повсеместно. Я должен был сказать «борелевское подмножество реальной прямой», «элемент» может ввести в заблуждение (я думал об «элементе борелевской сигма-алгебры подмножеств», но вместо этого написал «элемент»!). Я отредактирую ответ.

Унитарность оператора эволюции во времени — это как раз то, что нужно:
теорема Стоуна (см., например, Рид, Саймон: теоремы VIII.7, VIII.8) говорит нам

  • Если А является самосопряженным, то имеет место спектральная теорема. Это дает нам функциональное исчисление, которое позволяет определить U ( т ) "=" е я т А в первую очередь.
  • Такой определенный U ( т ) — сильно непрерывная унитарная группа.
  • Если U ( т ) — сильно непрерывная унитарная группа, то существует самосопряженная А такой, что U ( т ) "=" е я т А .

Изменить: это только говорит нам, почему гамильтониан должен быть самосопряженным. Ответ QuantumLattice лучше.

Но твой ответ мне тоже нравится. +1
Из чего конкретно следует необходимость квантовой механики для самосопряженных, а не только симметричных операторов? [дубликат]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v