«Сохранение энергии или ее отсутствие» в квантовой механике.

Первый момент: авторы склонны придерживаться очень «строгого» взгляда на «миры» в многомировой интерпретации. Я не согласен с этим. Я думаю, что "много миров" - это неправильное название. Лучшими названиями для эвереттианской интерпретации были бы «строгая унитарная эволюция», «универсальная волновая функция» или, мое любимое, «церковь большого гильбертова пространства». Ибо «множество миров» — это «мягкие» границы, а не «жесткие». В особенности потому, что «расщепление» миров в принципе всегда может быть отменено инверсией того унитарного, которое их раскололо.

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос. Прежде всего, я бы сказал, что нет смысла обсуждать этот вопрос для незамкнутой системы. Открытые системы не демонстрируют сохранения энергии почти по определению. Их никто не ждет. Таким образом, мы можем оставить ваши возможности 1 и 2 вне обсуждения, потому что они являются ситуациями, которые недостаточно определены для определения глобального сохранения энергии.

Ответ на вопрос а): Итак, я повторяю, это настаивание на реальности миров в MWI наивно, на мой взгляд. Это правда, что волновая функция, которую можно выразить одним термином, может эволюционировать в функцию, требующую множественных термов, но она может развиваться и в обратном направлении. Кроме того, иногда то, что выглядит как множество терминов, может быть только одним термином, если вы выражаете его на другой основе. Это может быть правдой «для всех практических целей», что вы не можете обратить волновую функцию в конкретном случае. Но когда мы обсуждаем математику, нас совершенно не волнует практичность, а интерпретация Эверетта очень математическая.

Значит, мы говорим, что энергия покидает одну «ветвь» и идет к другой? Нет.. Я нахожу этот язык ужасно запутанным. Забудем о языке ветвей и просто рассмотрим математическую эволюцию волновой функции под действием гамильтониана.

Во-первых, мы делаем гораздо более сильное утверждение, чем «Сохранение средней энергии системы». Скорее, в большей степени, величина универсальной волновой функции* для данной энергии сохраняется во времени. Принять состояние$|\psi\rangle$и выразить его в энергетическом базисе:

$$\tag{1} U|\psi\rangle = e^{-i\frac{H}{\hbar}t} \sum_n c_n |n\rangle = \sum_n e^{-i \frac{E_n}{\hbar}t} c_n |n\rangle$$

Гамильтониан не может смешивать состояния с разной энергией, поэтому вес каждого члена$|c_n|^2$сохраняется.

Я немного отвлекаюсь. Я хочу подробнее рассмотреть пример в связанном вопросе о поглощении фотонов. Атомно-фотонный гамильтониан в закрытой системе (например, в высококачественном оптическом резонаторе) равен$(\hbar=1)$, во вращающейся системе отсчета (вращающаяся система отсчета делает гамильтониан независимым от времени, в качестве альтернативы мы могли бы рассмотреть систему, которая просто не использует этот гамильтониан):

$$H = -\Delta a^{\dagger} a + \frac{\Omega}{2}(a^{\dagger}\sigma^+ + a\sigma^-)$$

$\Delta = \omega_{\text{photon}} - \omega_{\text{atom}}$. В этой вращающейся системе отсчета, если$\Omega = 0$(нет связи), то мы видим, что состояние$|0, g\rangle$имеет 0 энергии, состояние$|0, e\rangle$также имеет 0 энергии (это из-за выбора вращающейся рамки). Штаты$|1, g\rangle$и$|1, e \rangle$у каждого есть$-\Delta$энергия.

Абсорбционный переход от$|1, g\rangle \rightarrow |0, e\rangle$, по наивности, похоже, не сохраняет энергию на величину$\Delta$.

Однако такой переход не происходит, если$\Omega$не равно нулю. Но когда$\Omega$отличен от нуля, мы можем видеть, что$|1, g\rangle$больше не является собственным состоянием! Фактические собственные состояния являются суперпозициями$|1, g\rangle$и$|0, e\rangle$состояния:$|+\rangle$и$|-\rangle$, так называемые одетые штаты!

$$\begin{align} |+\rangle =& \sin(\theta)|g\rangle + \cos(\theta)|e\rangle\\ |-\rangle =& \cos(\theta)|g\rangle - \sin(\theta)|e\rangle \end{align}$$

Где$\theta$определяется$\tan(2\theta) = -\Omega/\Delta$. Обращая это преобразование, мы имеем:

$$\begin{align} |g\rangle =& \sin(\theta)|+\rangle + \cos(\theta)|-\rangle\\ |e\rangle =& \cos(\theta)|+\rangle - \sin(\theta)|-\rangle \end{align}$$

Итак, если система запускается в$|1, g\rangle$на самом деле это уже суперпозиция$|+\rangle$и$|-\rangle$, так что он УЖЕ содержит суперпозицию энергетических состояний. Энергии даются

$$E_{\pm} = -\frac{\Delta}{2} \pm \frac{\sqrt{\Omega^2 + \Delta^2}}{2}$$

Для$\Omega \rightarrow 0$у нас есть$E_+\rightarrow 0$и$E_-\rightarrow -\Delta$. Потому что$|1, g\rangle$не является собственным состоянием системы, оно может перейти в процессе гамильтоновой эволюции в другое состояние, например$|0, e\rangle$. При наших наивных представлениях об энергии получается, что система изменилась по энергии на величину$\Delta$. Но если вы разложите систему на фактический собственный энергетический базис, вы увидите, что веса одетых состояний,$|\pm\rangle$остаются неизменными, кроме их относительной фазы.

Не уверен, что еще сказать здесь .. Eq. Уравнение (1) показывает нам, что система, которая начинается с суперпозиции энергетических состояний, всегда остается в суперпозиции этих энергетических состояний с одинаковым весом. Это лучшее, что может сделать квантовая механика. Именно это я имею в виду, когда говорю, что квантовая механика сохраняет энергию. Это, конечно, подразумевает более слабое утверждение о том, что средняя энергия системы сохраняется.

Второй пример напоминает нам, что когда системы связаны, их энергии меняются, и мы должны мыслить в «одетом» базисе, если хотим быть очень осторожными в отслеживании энергии в системе. Мы должны помнить, что неодетые состояния не являются собственными состояниями системы. Этот пример очень актуален, когда речь идет о поглощении нерезонансных фотонов, что, в первую очередь, вызвало обсуждение.

* Обычно называется вероятностью этого компонента, но, конечно, в MWI вероятность немного противоречива.

Мне кажется, что отчет (я не думаю, что он прошел рецензирование) Кэрролла и Лодмана просто неверен.

Вы можете представить себе пару игральных костей, которые были брошены давным-давно (неизвестные начальные условия), а затем навсегда остались неподвижными (эволюция во времени, сохраняющая значение каждой кости). Прежде чем вы посмотрите на любой из кубиков, ваше ожидание общего значения равно 7. Вы смотрите на один из них и обнаруживаете, что он показывает 2. Ваше ожидание общего значения подскакивает с 7 до 5½. Вы смотрите на другой и обнаруживаете, что он показывает 6. Ваше ожидание общего значения подскочило с 5½ до 8. Тот факт, что математическое ожидание продолжает меняться, не означает, что сумма не сохраняется. У вас нет оснований полагать, что реальная сумма не всегда равнялась 8.

Я просмотрел отчет и не нашел в нем ничего более сложного, чем этот пример. Они рассматривают только измерения, которые коммутируют с гамильтонианом, поэтому весь их аргумент является по существу классическим.

Они предлагают способ экспериментального наблюдения нарушения сохранения энергии:

1. Поместите первичную систему 1 в известное квантовое состояние, которое является суперпозицией собственных состояний энергии.
2. Запутать эту систему с зондовой системой 2 таким образом, чтобы не происходило существенной передачи энергии.
3. Измерьте состояние зондовой системы 2, опять же таким образом, чтобы не происходило существенной передачи энергии.
4. Закончите с первичной системой 1 в (по крайней мере, приблизительно) собственном энергетическом состоянии с существенно другим значением энергии, чем система начала.

Каковы затраты энергии на выполнение шага 1? Вы не знаете, потому что это зависит от энергии первичной системы после шага 1, которую вы, по предположению, не знаете. Если бы вы могли измерить, сколько энергии вы потратили на шаге 1, то после этого измерения основная система находилась бы в собственном энергетическом состоянии, и вы не смогли бы выполнить шаги 2–4. Но если вы не можете измерить, сколько энергии вы потратили, то у вас нет доказательств того, что энергия не сохранялась на протяжении всего эксперимента.