Почему мы используем перекрестные произведения в физике?

Это большой вопрос. Точечные и перекрестные произведения кажутся очень загадочными, когда они впервые знакомятся с новым учеником. Например, почему скалярное (точечное) произведение содержит косинус, а векторное (перекрестное) произведение имеет синус, а не наоборот? И почему эти два весьма неочевидных способа «умножения» векторов вместе возникают в стольких различных контекстах?

Фундаментальный ответ (который, к сожалению, может быть не очень доступен, если вы новичок) состоит в том, что есть только два алгебраически независимых тензора, которые инвариантны относительно произвольных поворотов в$n$габариты (говорим, что они "$\mathrm{SO}(n)$инвариант"). Это дельта Кронекера$\delta_{ij}$и символ Леви-Чивита$\epsilon_{ijk \cdots}$. Сжатие двух векторов с этими символами дает точечные и перекрестные произведения соответственно (последнее работает только в трех измерениях). Поскольку законы физики кажутся изотропными (то есть инвариантными относительно вращения), имеет смысл, что любой физически полезный метод объединения физических величин, таких как векторы, также должен быть изотропным. Точечные и перекрестные произведения оказываются единственными двумя возможными полилинейными вариантами.

(Почему полилинейные карты так полезны в физике — это еще более глубокий и фундаментальный вопрос, но какие ответы на этот вопрос удовлетворяют, вероятно, по своей сути является вопросом общественного мнения.)

Перекрестный продукт тесно связан с другим понятием, внешним продуктом (или продуктом клина). Внешний продукт — очень естественный продукт, встречающийся в алгебре. Внешнее произведение двух векторов — это бивектор, направления которого вполне естественны (в то время как крутящий момент как вектор находится под прямым углом к ​​силе и плечу рычага, во внешнем произведении это просто бивектор, определяемый двумя направлениями — силой и тягой). левый рычаг).

К сожалению, экстерьерным продуктам трудно научить на раннем этапе. Они требуют много математики. Перекрестные произведения объяснить гораздо проще. И, как оказалось, в 3-х измерениях перекрестные произведения и внешние произведения изометричны. Они трансформируются одинаково. Если вы сделаете математику с перекрестными произведениями, вы получите тот же ответ, что и с внешними произведениями. Это не работает во всех измерениях (перекрестные произведения — это трехмерная вещь, в то время как внешние произведения могут быть сделаны в любом количестве измерений), но это работает в трех измерениях, и много физики выполняется в трех измерениях!

Я сосредотачиваюсь на геометрии перекрестных произведений

Взаимные произведения используются, когда нас интересует плечо момента количества. Это минимальное расстояние от точки до прямой в пространстве.

1. Расстояние до луча от начала координат . Луч вдоль единичного вектора$\boldsymbol{e}$проходит через точку$\boldsymbol{r}$в космосе.

   $$d = \| \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{e} || \tag{1}$$

   $d$- расстояние по перпендикуляру к лучу (также известное как плечо момента линии).

2. Плечо момента силы (вектор крутящего момента) . Сила$\boldsymbol{F}$вдоль$\boldsymbol{e}$вызывает следующий крутящий момент относительно начала координат

   $$\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{F}\;\; \rightarrow \| \boldsymbol{\tau} \| = d\, \| \boldsymbol{F} \| \tag{2}$$

3. Плечо момента вращения (вектор скорости) . Вращение$\boldsymbol{\omega}$вокруг оси$\boldsymbol{e}$заставляет тело двигаться в исходном месте на

   $$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{\omega}\;\; \rightarrow \| \boldsymbol{v} \| = d\, \| \boldsymbol{\omega} || \tag{3}$$

4. Моментное плечо импульса (угловой момент) . Классическая частица с импульсом$\boldsymbol{p}$вдоль$\boldsymbol{e}$имеет угловой момент относительно начала координат

   $$\boldsymbol{L} = \boldsymbol{r} \times \boldsymbol{p} \;\; \rightarrow \| \boldsymbol{L} \| = d\, \| \boldsymbol{p} \| \tag{4}$$

Это действительно намного проще, чем другие ответы до сих пор. Мы используем перекрестные и точечные произведения (и все остальные математические операции), потому что они позволяют нам создавать довольно простые математические модели (то есть законы физики), точно отражающие то, что на самом деле делает Вселенная.

Перекрестные произведения часто используются с псевдовекторами (аксиальными векторами). Меньше с векторами (они же полярные векторы). Здесь помогает понимание разницы между аксиальными и полярными векторами.

И осевые, и полярные векторы — это то, что математики считают вектором. Оба представляют собой набор из 3 координат. Их часто рисуют в виде стрелок. Их можно складывать вместе и умножать на числа, подобные стрелкам.

Физикам требуется нечто большее, чтобы рассматривать количество как вектор. Они должны представлять собой физическую величину, которая правильно преобразуется при изменении базиса.

Полярные векторы представляют такие величины, как расстояние, скорость, ускорение и сила. Они могут описывать движение точечной частицы с величиной и направлением.

Осевые векторы представляют другой набор величин, таких как угловая скорость и угловой момент. Они описывают такие вещи, как вращательное движение в плоскости. Они представляют собой величину и ориентацию плоскости. Это эквивалентно движению вокруг оси. Их часто изображают стрелкой, где стрелка параллельна оси и перпендикулярна плоскости. Ориентация плоскости включает в себя идею по часовой стрелке и против часовой стрелки. Это представлено размещением стрелки на одной или другой стороне плоскости в соответствии с правилом правой руки.

Осевые векторы часто возникают как произведение двух перпендикулярных полярных векторов.$\vec\omega = (\vec r \times \vec v)/r^2$.

Для твердого объекта, закрепленного на оси, каждая точка может двигаться только с$v$перпендикулярно$r$. Но свободная частица может двигаться в любом направлении. В этом случае перекрестное произведение выделяет компонент$v$что перпендикулярно$r$, компонент, который способствует вращению вокруг оси. Результатом является вектор, перпендикулярный$v$и$r$в соответствии с правилом правой руки.

Магнитное поле является осевым вектором. См. Почему B-поле является осевым вектором? для большего. Это означает, что ток создает$B$поле вокруг него, описываемое силовыми линиями магнитного поля. Для прямолинейного тока линии поля плоские и круговые. Для более сложных токов они всегда являются замкнутыми кривыми. В любой точке линия поля представляет собой «ось», перпендикулярную плоскости магнитного поля.

Магнитная сила возникает при движении заряда в плоскости$B$. То есть, когда заряд движется перпендикулярно «оси» B. Это фиксируется$\vec F = q\vec v \times \vec B$.

Взаимные произведения по своей сути полезны при описании вращений . Во-первых, давайте рассмотрим два разных способа описания поворотов в$\mathbb{R}^{3}$.

Первый способ сделать это - задать ось вращения, которая задается линией ,$L$, в$\mathbb{R}^{3}$, и величина (представляющая угол), которая задается числом,$\theta$, в$\mathbb{R}$. Если я выберу вектор длины$\theta$, по моей линии$L$, я получаю вектор, скажем$x \in \mathbb{R}^{3}$.

Еще один хороший способ сделать это — задать плоскость, в которой я вращаюсь, которую я могу представить двумя перпендикулярными линиями на$\mathbb{R}^{3}$и величина (представляющая угол), которая снова является числом в$\mathbb{R}$. Я кодирую эти вещи, выбирая два вектора$v,w \in \mathbb{R}^{3}$, и говорят, что величина кодируется произведением длин$\|v \| \|w\|$. Это означает, что множество различных пар$v,w \in \mathbb{R}^{3}$дать такое же вращение, но это нормально. (Я могу даже допустить большее количество различных пар, не предполагая, что$v$и$w$перпендикулярны, но тогда я должен заменить их произведение на площади параллелограммов, натянутых на них.)

Теперь векторное произведение дает нам способ перевода между этими различными способами кодирования поворотов. Если быть точным, если$x \in \mathbb{R}^{3}$и пара$v,w \in \mathbb{R}^{3}$описать тот же поворот, то$x = v \times w$.

(Тот факт, что множество разных пар$v,w \in \mathbb{R}^{3}$описывать одно и то же вращение означает, что$x$может быть записано как векторное произведение многими различными способами, т. е. существует множество$v',w' \in \mathbb{R}^{3}$такой, что$v' \times w' = v \times w = x$.)

Теперь, почему это происходит в физике, нет такого четкого ответа, за исключением того, что оба этих разных способа представления вращения имеют свое применение. Например, в вашем примере, говоря о заряде, движущемся в электрическом поле, я бы сказал, что это просто факт природы, установленный экспериментально.

Интересным дополнением является то, что повороты могут быть составлены, т.е. при наличии двух поворотов я могу сначала сделать один, а затем другой, чтобы получить третий поворот. Было бы интересно попытаться выяснить, как это работает на любой из картинок, которые я дал выше.

Перекрестное произведение — это представление so(3) алгебры Ли. Это означает, что бесконечно малое вращение представлено перекрестным произведением.

Я не уверен, насколько вы продвинуты в математике, поэтому трудно понять, сколько нужно добавить в устной форме. Кроме того, я пишу с планшета, поэтому печатать неудобно.

Однозначного ответа нет, но векторное произведение включает в себя своего рода вращение вокруг оси. Является ли это физическим вращением или математическим перемещением, зависит от обстоятельств.

Одно место, где перекрестное произведение довольно легко понять, — это взаимосвязь между угловым моментом, вращательной кинетической энергией и крутящим моментом.

Дайте мне знать, если вы можете следовать математике, основываясь на диаграмме. Я говорю о дервациях в коробках. То, что ниже, является неполным.