Как скалярное произведение является обобщением умножения?

За высказыванием этого стоит немного больше размышлений$P=\vec F \cdot \vec v$чем это обобщенное умножение в 3D. Есть даже случаи, когда умножение на скаляр становится перекрестным произведением при использовании трехмерных векторов. Например, крутящий момент$T=Fr$, становится$\vec T = \vec r \times \vec F$. Всякий раз, внедряя векторы в существующие скалярные уравнения, вы должны быть осторожны, решая, как реализовать «направление» в вашем уравнении.

Что касается мощности, важно точно определить, что такое мощность: мощность равна силе, умноженной на составляющую скорости в том же направлении, что и сила. В чисто одномерных задачах сила всегда направлена ​​в одном или противоположном направлении, поэтому знак плюс или минус — это все, что нужно для рассмотрения направления. В более высоких измерениях все сложнее. Скажем, у нас есть векторы силы и скорости.$\vec F$и$\vec v$. Будучи проблемой размерностей выше 1, векторы силы и скорости не обязательно имеют одно и то же направление. Итак, допустим, что угол$\theta$разделяет два вектора. Если это так, то скалярная составляющая скорости в направлении действия силы с использованием тригонометрии равна$\left| \vec v \right| \cos\theta$. Значит, мощность равна:

$$P = \left| \vec F \right| \left| \vec v \right| \cos\theta$$

Затем, взглянув на правую часть, вы увидите, как она соответствует определению скалярного произведения:$\left| \vec a \right| \left| \vec b \right| \cos\theta = \vec a \cdot \vec b$, с$\theta$являющийся углом между двумя векторами. Отсюда мы вывели:

$$P=\vec F \cdot \vec v$$

Таким образом, рассматривая некоторый аспект направления интересующих векторов, мы получаем векторное уравнение, а не скалярное произведение, являющееся математическим обобщением скалярного умножения.

Это правда, что есть много внутренних продуктов, которые вы можете выбрать.$\mathbb{R}^3$. Однако физика дает дополнительный принцип вращательной инвариантности: результат не должен зависеть от нашей системы координат. Теперь любой внутренний продукт векторов$a$и$b$можно записать как

$$a \cdot b = a^T M b$$ для матрицы $M$. Вращательная инвариантность говорит нам, что $M$должно выглядеть одинаково в повернутой системе координат, поэтому $$M = R^T M R$$ для любой матрицы вращения $R$. Несложно показать, что только одна матрица удовлетворяет этому условию: тождество, умноженное на константу. Чтобы правильно свести к одномерному случаю, константа должна быть равна 1, что однозначно указывает $$a \cdot b = a^T b.$$ Это стандартный внутренний продукт.

---

Обратите внимание, что если мы позволим произведению векторов вывести другой вектор,$M$становится тензором ранга 3, и тот же аргумент показывает, что$M$является тензором Леви-Чивиты, дающим векторное произведение.