Зарядовое сопряжение спиноров Вейля

Мне трудно согласовать два известных мне факта: тот факт, что зарядовое сопряжение спинора преобразуется в то же представление, что и исходный спинор, и тот факт, что (в некоторых измерениях, в частности, в$D=4$), зарядово-сопряженный левый спинор является правым, и наоборот.

Для ясности я ввожу соответствующие обозначения и терминологию. Позволять$\gamma _\mu$удовлетворяют алгебре Клиффорда:

$$\{ \gamma _\mu ,\gamma _\nu \} =2\eta _{\mu \nu},$$ позволять $C$— зарядовая матрица сопряжения , унитарный оператор, определяемый формулой $$C\gamma _\mu C^{-1}=-(\gamma _\mu )^T.$$ Можно показать, что (см., например, Веста «Введение в струны и браны» , раздел 5.2), что $C^T=-\epsilon C$для $$\epsilon =\begin{cases}1 & \text{if }D\equiv 2,4\, (\mathrm{mod}\; 8) \\ -1 & \text{if }D\equiv 0,6\, (\mathrm{mod}\; 8)\end{cases}.$$ Определять $B:=-\epsilon \mathrm{i}\, C\gamma _0$. Тогда зарядово-сопряженный спинор $\psi$и оператор $M$на спинорном пространстве определяются $$\psi ^c:=B^{-1}\overline{\psi}\text{ and }M^c:=B^{-1}\overline{M}B,$$ где черта означает простое комплексное сопряжение. Мы определяем $$\gamma :=\mathrm{i}^{-\left( D(D-1)/2+1\right)}\, \gamma _0\cdots \gamma _{D-1},$$ и $$P_L:=\frac{1}{2}(1+\gamma )\text{ and }P_R:=\frac{1}{2}(1-\gamma ).$$ Затем мы говорим, что $\psi$левша , если $P_L\psi =\psi$(аналогично для правши). Наконец, закон преобразования для спинора $\psi$дан кем-то $$\delta \psi =-\frac{1}{4}\lambda ^{\mu \nu}\gamma _{\mu \nu}\psi.\qquad\qquad(1)$$

Теперь, когда это не так, я считаю, что могу показать две вещи:

$$\delta \psi ^c=-\frac{1}{4}\lambda ^{\mu \nu}\gamma _{\mu \nu}\psi ^c \qquad\qquad(2)$$ и $$(P_L\psi )^c=P_R\psi ^c\text{ (for }D\equiv 0,4\, (\mathrm{mod}\; 8)\text{)}.\qquad\qquad(3)$$ Первый из них говорит, что $\psi ^c$трансформируется так же, как $\psi$а второе означает, что если $\psi$левша, то $\psi ^c$правша (в этих соответствующих размерах).

Мне трудно совместить эти два факта. У меня сложилось впечатление, что когда говорят, что фермион левша, мы имеем в виду, что он преобразуется при представлении (1/2,0)$SL(2,\mathbb{C})$(очевидно, я сейчас просто ограничиваюсь$D=4$). Это зарядово-сопряженное, будучи правым, тогда преобразовывалось бы под действием$(0,1/2)$представление, противоречащее первому факту. Единственный способ, которым я, кажется, могу с этим смириться, состоит в том, что два понятия рукости, хотя и связаны, не являются одним и тем же. То есть, учитывая фермион, который трансформируется при$(1/2,0)$и удовлетворяет$P_L\psi =\psi$, затем$\psi ^c$превратится как$(1/2,0)$и удовлетворить$P_R\psi =\psi$. То есть хиральность, определяемая в смысле$P_L$и$P_R$не зависит от хиральности, определяемой тем, в каком представлении живет фермион Вейля.

Может ли кто-нибудь объяснить это для меня?