Недиагональные элементы матрицы Гамильтона H12H12H_{12} & H21H21H_{21}: энергия перехода от |1⟩|1⟩|1\rangle к |2⟩|2⟩|2\rangle или амплитуда перехода?

Question

Недиагональные элементы матрицы Гамильтона H12H12H_{12} & H21H21H_{21}: энергия перехода от |1⟩|1⟩|1\rangle к |2⟩|2⟩|2\rangle или амплитуда перехода?

пользователь36790

$\newcommand{\k}[1]{\left| #1 \right\rangle} \newcommand{\dd}[1]{\frac{d #1}{dt}}$ В такой гамильтоновой матрице:

ЧАС знак равно (\begin{matrix} Е_{11} & Е_{12} \\ Е_{21} & Е_{22} \end{matrix})

$H = \begin{pmatrix} E_{11} & E_{12} \\ E_{21} & E_{22} \end{pmatrix}$ ,

E_{11} & E_{22}

$E_{11}\;\&\;E_{22}$ представляет энергию состояний

| 1 ⟩

$\k 1$ &

| 2 ⟩

$\k 2$ которые являются базовыми состояниями системы. Но что насчет

E_{12} & E_{21}

$E_{12} \;\&\; E_{21}$ ? Это недиагональные элементы; они энергия для перехода

| 1 ⟩ \to | 2 ⟩

$\k1 \to \k2$ &

| 2 ⟩ \to | 1 ⟩

$\k2\to\k1$ соответственно?

Фейнман в своих лекциях всегда называл эти элементы амплитудой перехода от $\k1$ к $\k2$ & наоборот.

$\bullet$ 1-я ссылка :

Молекула аммиака имеет один атом азота и три атома водорода, расположенных в плоскости ниже азота, так что молекула имеет форму пирамиды[...]Мы будем говорить, что молекула находится в состоянии $|1⟩$ когда азот « вверху » и находится в состоянии $|2⟩$ когда азот « низкий », [...]
$я ℏ \frac{г С_{1}}{г т} знак равно {ЧАС}_{11} С_{1}, я ℏ \frac{г С_{2}}{г т} знак равно {ЧАС}_{22} С_{2} .$ $iℏ\dd{C_1}=H_{11}C_1\;\;,\;\;iℏ\dd{C_2}=H_{22}C_2.$ Мы можем легко решить эти два уравнения; мы получаем $С_{1} знак равно (константа) е^{- (я / ℏ) {ЧАС}_{11} т}, С_{2} знак равно (константа) е^{- (я / ℏ) {ЧАС}_{22} т} .$ $C_1=(\text{const})e^{−(i/ℏ)H_{11}t}\;\;,\;\;C_2=(\text{const})e^{−(i/ℏ)H_{22}t}.$ Это как раз амплитуды стационарных состояний с энергиями $E_1=H_{11}$ а также $E_2=H_{22}.$ Оказывается, азот может пробиться сквозь три атома водорода и перевернуться на другую сторону . $|1⟩$ попадет в состояние $|2⟩.$ Коэффициенты $H_{12}$ а также $H_{21}$ на самом деле не нулевые. Опять же, по симметрии они оба должны быть одинаковыми — по крайней мере, по величине. На самом деле мы уже знаем, что в общем случае $H_{ij}$ должен быть равен комплексному сопряжению $H_{ji}$ , поэтому они могут отличаться только фазой. Оказывается, как вы увидите, общности не будет, если мы примем их равными друг другу. Для дальнейшего удобства мы приравняем их к отрицательному числу; мы принимаем $H_{12}=H_{21}=−A.$

$\bullet$ 2-я ссылка :

[...] Если бы мы не допустили возможность переключения азота туда и обратно , мы бы взяли $A$ равны нулю, и два энергетических уровня будут находиться друг над другом при энергии $E_0.$

$\bullet$ 3-я ссылка :

До тех пор, пока два протона молекулярного иона водорода находятся далеко друг от друга, все еще требуется примерно столько же энергии — что для наших нынешних соображений является большой энергией — чтобы доставить электрон где-то около средней точки между протонами. Так что в классическом понимании электрон не может перепрыгнуть с одного протона на другой. Однако в квантовой механике это возможно, хотя и маловероятно. Существует небольшая амплитуда движения электрона от одного протона к другому. Таким образом, в первом приближении каждое из наших базовых состояний $|1⟩$ а также $|2⟩$ будет иметь энергию $E_0$ , что равно энергии одного атома водорода плюс один протон. Можно считать, что матричные элементы гамильтониана $H_{11}$ а также $H_{22}$ оба примерно равны $E_0.$ Остальные матричные элементы $H_{12}$ а также $H_{21}$ , которые являются амплитудами движения электрона вперед и назад , мы снова запишем как $−A.$

$\bullet$ 4-я ссылка :

Теперь амплитуда $A$ для электрона, который находится рядом с одним протоном, добраться до другого зависит от расстояния между протонами. Чем ближе протоны друг к другу, тем больше амплитуда.

Итак, Фейнман всегда считает $H_{12}$ а также $H_{21}$ как амплитуда перехода. Хотя я бы не назвал $H$ здесь оператор, а скорее генератор перевода времени , а не энергия перехода.

Но почему они не являются энергией перехода ? Ведь они являются элементами матрицы Гамильтона, не так ли?

Я спросил то же самое в своем предыдущем запросе и получил это :

Является $A$ энергия, чтобы уйти от $|1⟩$ к $|2⟩$ ? Это амплитуда, чтобы перейти от $|1⟩$ к $|2⟩$ ? Я не понимаю этого, поскольку Фейнман называет это амплитудой, но, поскольку это элемент матрицы Гамильтона, это должна быть энергия, от которой нужно перейти. $|1⟩$ к $|2⟩$ как $H_{11}$ будучи энергией $|1⟩.$ Итак, это $H_{ij}$ энергия или амплитуда, чтобы перейти от $|1⟩$ или же $|2⟩$ ? - пользователь36790

@ user36790 У него есть единицы энергии, но это недиагональный член гамильтониана, поэтому он не представляет энергию состояния. Я бы назвал это амплитудой или сцеплением. - Зелдридж

Из ответа я мог узнать, что недиагональные элементы не являются энергией перехода .

Но каковы энергии стационарных состояний? Они есть: $E_0-A$ & $E_0 +A;$ если $-A$ не является энергией перехода , как она могла бы внести вклад в энергию стационарного состояния: $E_0 \pm A$ ? Я не понимаю этого. $-A$ является генератором эволюции времени для перехода от $\k 1$ к $\k 2$ , то как же ее можно было принять за часть энергий в стационарных состояниях? Кроме того, я хотел бы знать, почему недиагональные элементы не представляют энергию. Кто-нибудь может объяснить?

Даниэль Санк

Вы можете найти ответ, который я дал на связанную проблему, несколько полезный для понимания этой проблемы.

kηives

Первая фраза здесь не верная

E_{11}

$E_{11}$ это не энергия состояния

| 1 ⟩

$|1\rangle$ . Если вы подаете заявку

H | 1 ⟩

$H |1\rangle$ ты не понимаешь

E_{11} | 1 ⟩

$E_{11} |1\rangle$ , вы получаете суперпозицию состояний.

Ответы (2)

Недиагональные элементы матрицы Гамильтона H12H12H_{12} & H21H21H_{21}: энергия перехода от |1⟩|1⟩|1\rangle к |2⟩|2⟩|2\rangle или амплитуда перехода?

Вы можете найти ответ, который я дал на связанную проблему, несколько полезный для понимания этой проблемы.
Первая фраза здесь не верная $E_{11}$ это не энергия состояния $|1\rangle$ . Если вы подаете заявку $H |1\rangle$ ты не понимаешь $E_{11} |1\rangle$ , вы получаете суперпозицию состояний.

Кайл Ариан-Рейнс · Answer 1

Я знаю, что это старый вопрос, но я не уверен, что все части вопроса ОП были полностью рассмотрены.

Недиагональные элементы гамильтониана, как указал @Discovery, указывают на связь между двумя энергетическими состояниями. Если они равны нулю, вероятность перехода между $\mid 1 \rangle$ а также $\mid 2 \rangle$ . Однако поскольку здесь они отличны от нуля, существует ненулевая вероятность перехода.

Я считаю, что причина, по которой Фейнман называет их амплитудами перехода, заключается в том, что они определяют, как амплитуда изменяется во времени. Обычно я слышал, что это называется частотой перехода .

Чтобы проиллюстрировать это, заметим, что амплитуда вероятности $\mid 1 \rangle \rightarrow \mid 2 \rangle$ по истечении времени $t$ является

⟨ 2 ∣ U^{†} U ∣ 1 ⟩ знак равно ⟨ 2 ∣ е^{я ЧАС т / ℏ} е^{- я ЧАС т / ℏ} ∣ 1 ⟩

$\langle 2 \mid U^{\dagger} U \mid 1 \rangle = \langle 2 \mid e^{iHt/\hbar}e^{-iHt/\hbar} \mid 1 \rangle$ который может быть выражен как

⟨ 2 ∣ е^{я ЧАС т / ℏ} ∣ 1 ⟩ ⟨ 1 ∣ е^{- я ЧАС т / ℏ} ∣ 1 ⟩ + ⟨ 2 ∣ е^{я ЧАС т / ℏ} ∣ 2 ⟩ ⟨ 2 ∣ е^{- я ЧАС т / ℏ} ∣ 1 ⟩ знак равно

$\langle 2 \mid e^{iHt/\hbar} \mid 1 \rangle \langle 1 \mid e^{-iHt/\hbar} \mid 1 \rangle ~+ ~\langle 2 \mid e^{iHt/\hbar} \mid 2 \rangle \langle 2 \mid e^{-iHt/\hbar} \mid 1 \rangle =$

е^{я Е_{12} т / ℏ} е^{- я Е_{11} т / ℏ} + е^{я Е_{22} т / ℏ} е^{- я Е_{12} т / ℏ} знак равно

$e^{iE_{12}t/\hbar} e^{-iE_{11}t/\hbar} + e^{iE_{22}t/\hbar} e^{-iE_{12}t/\hbar} =$

е^{- я (Е_{11} - А) т / ℏ} + е^{я (Е_{22} - А) т / ℏ}

$e^{-i(E_{11}-A)t/\hbar} + e^{i(E_{22}-A)t/\hbar}$

Таким образом, вы можете видеть, что амплитуда перехода колеблется с частотой, пропорциональной разности энергий, которая зависит от $A$ .

Открытие · Answer 2

$\newcommand{\k}[1]{\left| #1 \right\rangle}$ Позвольте мне кратко рассмотреть проблему здесь. Задайте базис двумерного гильбертова пространства, состоящий из двух векторов,

$|1\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix},\,|2\rangle=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$

предполагая, что сначала они являются собственными векторами данного гамильтониана. Из общего постулата квантовой механики любые другие состояния при одном и том же гамильтониане могут быть описаны как

$|\psi\rangle=C_1|1\rangle +C_2|2\rangle= C_1\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ .

Тогда мы можем видеть, что

$H|\psi\rangle=C_1\begin{pmatrix} E_{11} \\ E_{21} \end{pmatrix}+C_2\begin{pmatrix} E_{12} \\ E_{22} \end{pmatrix}$ а также

\begin{matrix} (1) & ⟨ ψ | ЧАС | ψ ⟩ знак равно | С_{1} |^{2} Е_{11} + С_{1}^{*} С_{2} Е_{12} + С_{1} С_{2}^{*} Е_{21} + | С_{2} |^{2} Е_{22} \end{matrix}

$\langle\psi|H|\psi\rangle=|C_1|^2E_{11}+C_1^*C_2E_{12}+C_1C_2^*E_{21}+|C_2|^2E_{22}\tag{1}$

Однако, когда $E_{12}$ а также $E_{21}$ не равны нулю, два базисных вектора не являются собственными векторами, поскольку $H|1,2\rangle \not=C|1,2\rangle$ . Поэтому мы должны рассматривать их просто как основу, а собственные векторы гамильтониана имеют вид $|\psi\rangle$ . В истинном базисе собственных векторов матрица Гамильтона может быть описана блочно-диагональной формой.

Во всяком случае, если предположить, что $E_{11}=E_{22},\,E_{12}=E_{21}$ , диагонализированная матрица Гамильтона есть

$H = \begin{pmatrix} E_{11}-E_{12} & 0 \\ 0 & E_{11}+E_{12} \end{pmatrix}$

и соответствующие собственные векторы равны

\begin{matrix} (2) & | я ⟩ знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} [- | 1 ⟩ + | 2 ⟩], | я я ⟩ знак равно \frac{1}{\sqrt{2}} [| 1 ⟩ + | 2 ⟩] . \end{matrix}

$\k I=\frac{1}{\sqrt2}[-\k 1+\k 2],\,\\ \k {II}= \frac{1}{\sqrt2}[|1\rangle+|2\rangle]. \tag{2}$

Из уравнения $(1)$ , мы можем видеть, что любое произвольное состояние $|\psi\rangle$ иметь энергию $E_{11}+(\text{deviation})$ и из уравнения $(2)$ , истинные собственные векторы представляют собой смешанные состояния дискретных состояний вверх и вниз.

Мы не можем описать состояния в уравнении. $(2)$ ни вверх, ни вниз, ни в среднее состояние. Состояния в экв. $(2)$ «отклоняется» от верхнего и нижнего состояний одинаково, поэтому энергия отклонения в ур. $(1)$ является $+E_{12}$ или же $-E_{12}$ как видно из диагонализированного гамильтониана. Это не энергия дискретного перехода, а степень отклонения или смешения состояний.

Недиагональные элементы матрицы Гамильтона H12H12H_{12} & H21H21H_{21}: энергия перехода от |1⟩|1⟩|1\rangle к |2⟩|2⟩|2\rangle или амплитуда перехода?

пользователь36790

Даниэль Санк

kηives

Ответы (2)

Кайл Ариан-Рейнс

Открытие

Всегда ли основное состояние в КМ уникально? Почему?

Унитарное преобразование гамильтониана со спин-орбитальной связью

Общее решение состояний зависящего от времени гамильтониана

Гамильтониан молекулы воды, связанной с поверхностью

Как неэрмитова квантовая механика (PT-симметричная КМ) вписывается в физику?

Разница между гамильтонианом в классической механике и в квантовой механике

Ожидаемое значение гамильтониана?

Мотивация вероятностей перехода в квантовой механике

Как я могу доказать коммутацию между гамильтонианом и вектором Рунге-Ленца? [закрыто]

Вычисление среднего значения гамильтониана