«Почему» уравнение Шрёдингера нерелятивистское?

В нерелятивистской квантовой механике (NRQM) динамика частицы описывается временной эволюцией связанной с ней волновой функции. $\psi(t, \vec{x})$относительно нерелятивистского уравнения Шрёдингера (УШ)

Однако главная мысль, лежащая в основе формулировки квантовой теории поля, заключается в том, что этого недостаточно. Скорее, объединение принципов лоренц-инвариантности и квантовой теории требует отказа от одночастичного подхода квантовой механики.

• В любой релятивистской квантовой теории нет необходимости сохранять число частиц, поскольку релятивистское дисперсионное соотношение$E^{2}=c^{2} \vec{p}^{2}+m^{2} c^{4}$подразумевает, что энергия может быть преобразована в частицы и наоборот. Для этого требуется каркас из нескольких частиц .
• Этот момент часто немного скрыт в книгах или лекциях. Унитарность и причинность не могут быть объединены в одночастичном подходе: в квантовой механике амплитуда вероятности распространения частицы из положения$\vec{x}$к$\vec{y}$является $$G(\vec{x}, \vec{y})=\left\langle\vec{y}\left|e^{-\frac{i}{\hbar} H t}\right| \vec{x}\right\rangle$$ Можно показать, что, например, для свободного нерелятивистского гамильтониана$H=\frac{\hat{p}^{2}}{2 m}$это не ноль, даже если$x^{\mu}=\left(x^{0}, \vec{x}\right)$и$y^{\mu}=\left(y^{0}, \vec{y}\right)$находятся на космическом расстоянии. Проблема сохраняется, если мы заменяем$H$релятивистским выражением в SE.

Квантовая теория поля (КТП) решает обе эти проблемы путем радикального изменения точки зрения.

Замечание 1 : Есть еще несколько случаев (однако есть много тонкостей), когда можно использовать RQM в одночастичном подходе. Затем SE заменяется, например, уравнением Клейна-Гордона.

Замечание 2. Уравнение Шредингера справедливо для SR. Не работает не SE, а нерелятивистский гамильтониан. Уравнение Дирака — это SE, но с гамильтонианом Дирака. Уравнение Шредингера справедливо.

Чтобы заниматься релятивистской квантовой механикой, вы должны отказаться от квантовой механики одной частицы и заняться квантовой теорией поля.

Уравнение Шредингера является важным компонентом квантовой теории поля. Он утверждает

В правильной терминологии уравнение Шрёдингера здесь ковариантно, но не явно ковариантно. То есть оно приняло бы ту же форму в какой-либо другой инерциальной системе отсчета, но это не становится очевидным из того, как записано уравнение.

Но здесь мы имеем совершенно другого «зверя», отличного от уравнения Шредингера, с которым вы сталкиваетесь, когда впервые занимаетесь квантовой механикой. Сейчас это назвали бы квантовой механикой одной частицы.$That$Уравнение Шредингера, конечно, не ковариантно, как и вся структура теории одночастичной квантовой механики.

Причина путаницы здесь может быть связана с историей науки. Физики элементарных частиц начали работать с уравнением Клейна-Гордона (КГ) в иллюзии, что это своего рода релятивистская замена уравнения Шредингера, а затем и уравнение Дирака стали воспринимать таким же образом. Такой способ мышления может помочь сделать некоторые базовые расчеты, например, для атома водорода, но в конечном итоге вам придется отказаться от него. Для ясного мышления вам нужно научиться квантовать поля, а затем вы узнаете, что для нулевого спина, например, и уравнение Клейна-Гордона , и уравнение Шрёдингера играют свою роль. Разные роли. Ни то, ни другое не заменяет. Человек утверждает, с каким полем он имеет дело; другой утверждает динамику амплитуды поля.$^1$

Однако я никогда не видел, чтобы это было четко и прямо записано во вводной части учебника. Кто-нибудь еще? Мне было бы интересно узнать.

Постскриптум о волнах де Бройля

де Бройль предложил свою связь между свойствами волны и частицы, имея в виду специальную теорию относительности, поэтому его связь является релятивистской (предыстория состоит в том, что$(E, {\bf p})$образует 4-вектор, как и$(\omega, {\bf k})$.) Шрёдингер и другие, в своей работе над идеей волны де Бройля в более общем контексте, поняли, что необходимо уравнение первого порядка по времени. Насколько я понимаю, уравнение Шредингера возникло в результате преднамеренной стратегии рассмотрения предела низких скоростей. Так что с этой точки зрения кажется замечательным совпадением то, что то же самое уравнение снова появляется в полностью релятивистской теории. Но, возможно, нам не следует так удивляться. Ведь второй закон Ньютона,${\bf f} = d{\bf p}/dt$остается совершенно правильным в релятивистской классической динамике.

$^1$Например, для свободного поля КГ уравнение КГ дает дисперсионное соотношение для решений плоской волны. Затем уравнение Шредингера сообщает вам динамику амплитуды поля для каждого такого решения плоской волны, которое ведет себя как квантовый гармонический осциллятор.

Попытка поделиться историческим развитием открытия нерелятивистской волновой механики Э. Шредингером в связи со следующим запросом OP.

«Итак, уравнение Шредингера должно включать в себя относительность, верно? Но это не так… Как относительность исчезает из уравнения Шредингера или оно никогда не «включало» относительность каким-либо образом?»

Курсовые лекции, прочитанные Германом Вейлем в ETH, Цюрих, 1917, были отправной точкой этого путешествия по волновым уравнениям. Его центральной идеей было то, что позже стало известно как калибровочное преобразование . Шредингер очень внимательно изучил собранные заметки в 1921 году ( «Влияние на мышление ») и часто использовал центральную идею в своих последующих работах.

Он применил теорию меры Вейля (метрические пространства) к орбитам электронов в атомных моделях Бора-Зоммерфельда. Он рассмотрел путь электрона по одной полной орбите и применил условие Вейля геодезического пути, тем самым подразумевая существование квантованных орбит. Позже он понял, что эта работа уже содержала идеи де Бройля об орбите Бора в терминах электронных волн.

В 1922 году Эрвин Шредингер страдал от респираторного заболевания и переехал на альпийский курорт Ароза, чтобы восстановить силы. У него были смутные представления о последствиях его формулировки о свойствах электронных орбит. Вполне возможно, что будь он в более здоровом состоянии, волновые свойства электрона могли бы быть ему ясны еще до де Бройля, из его собственных работ.

На самом деле Эйнштейн цитировал работу де Бройля в установлении связи между квантовой статистикой и волновыми свойствами материи, и это было известно Шрёдингеру, прочитавшему большинство его статей (« Влияние на мышление »). Позже Шредингер сказал, что «волновая механика родилась в статистике», имея в виду свою работу по статистической механике идеальных газов. Он сказал, что его подход не что иное, как серьезное отношение к волновой теории де Бройля-Эйнштейна о движущейся частице, согласно которой природа частицы есть просто придаток к основной волновой природе.

Чтобы подумать о том, какие волны будут удовлетворять замкнутым орбитам и соответствующим уравнениям, он уже мыслил в релятивистских терминах (соотношения энергия-импульс), и поэтому было естественно, что его попытка сформулировать волновое уравнение будет основываться на релятивистском фундаменте. уравнения. Его первый вывод волнового уравнения для частиц , до его знаменитой Quantisierung als Eigenwertproblem (Квантование как проблема собственных значений) 1926 года, остался неопубликованным и был полностью основан на релятивистской теории, данной де Бройлем .

Решающей проверкой любой теории в то время был атом водорода. Требовалось, чтобы любая новая теория воспроизвела хотя бы некоторые черты работы Бора об уровнях энергии атома водорода и квантовых числах. Кроме того, релятивистская теория должна быть способна объяснить тонкую структуру, обеспечиваемую уравнением Зоммерфельда. Его релятивистская теория не согласовывалась с экспериментами, потому что в ней отсутствовал ключевой компонент — спин электрона.

Первоначальная рукопись его формулировки релятивистской волновой механики в лучшем случае утеряна, и в архивах имеется только блокнот с расчетами. Однако его нерелятивистская формулировка действительно была напечатана и стала стандартным учебным материалом для студентов курса квантовой механики.

Использованная литература:

1. Жизнь Эрвина Шредингера (оригинальный сериал Canto) Уолтера Дж. Мура.

2. Историческое развитие квантовой теории Джагдиш Мехра, Эрвин Шредингер, Гельмут Рехенберг.

Во-первых, путаница в терминологии. Исходное уравнение Шредингера нерелятивистское, однако люди часто называют «уравнение Шредингера» как угодно, независимо от того, какой гамильтониан они используют, поэтому «в их книге» уравнение Шредингера может быть релятивистским.

Итак, Шрёдингер явно опирался на релятивистские идеи де Бройля, почему он написал нерелятивистское уравнение? Собственно, он начал с релятивистского уравнения (которое мы теперь называем уравнением Клейна-Гордона), однако оно не описывало спектры водорода правильно (потому что не учитывало спин), поэтому Шредингер не решился его опубликовать. Позже Шредингер заметил, что нерелятивистская версия (которую мы теперь знаем как (первоначальное) уравнение Шредингера) правильно описывает спектры водорода (с точностью до релятивистских поправок:-)), поэтому он опубликовал свое нерелятивистское уравнение.

Если интересно, попробую поискать ссылки на приведенные выше исторические факты.

РЕДАКТИРОВАТЬ (21.06.2020): На самом деле, я нашел ссылку: Дирак, Воспоминания о захватывающей эпохе // История физики двадцатого века: Труды Международной школы физики «Энрико Ферми». Курс LVII. - Нью-Йорк; Лондон: Академик Пресс, 1977. -С.109-146. Дирак вспоминает свой разговор со Шрёдингером, имевший место (примерно) в 1940 году.

Уравнение Шредингера нерелятивистское по построению. Это следует из нерелятивистского классического выражения для энергии путем применения идеи де Бройля для замены$(E,\vec p)$к$-i\hbar (\partial_t, \vec \nabla)$.

Соотношения де Бройля связывают энергию$E$и импульс$p$, с частотой$\nu$и длина волны$\lambda$

Уравнение Шредингера (для одной частицы) построено на нерелятивистской зависимости

Если вам нужна релятивистская теория, вам нужно найти волновое уравнение, воспроизводящее релятивистскую зависимость

Выше я ограничился случаем записи уравнения Шредингера для одной частицы. Как уже отмечалось на этой странице, один из способов обобщить квантовую механику на квантовую теорию поля — преобразовать волновую функцию в волновой функционал (отображение конфигураций поля в комплексные числа). Волновой функционал подчиняется уравнению Шредингера (за исключением того случая, когда гамильтониан является оператором в гораздо большем гильбертовом пространстве). Это уравнение Шредингера является релятивистским, если описываемая им квантовая теория поля является релятивистской. Однако это на гораздо более высоком уровне сложности, чем то, о чем, как мне кажется, спрашивали.

Как известно, уравнение Шредингера рассеивает изначально локализованную частицу так далеко, как мы хотим, за сколь угодно малое время (но с малой вероятностью).

В формулах задача параболическая:

Однако можно было бы использовать релятивистские граничные условия$u(\pm ct,t)=0$

При решении спектральными методами диагонализируем левые, получая зависящую от времени базу собственных функций.

Подключив задачу, коэффициент развития в базе получается интегрированием. Мне сказали, что это неразрешимо, но я мог написать решение в виде бесконечной системы связанных од для коэффициентов разложения.

Собственные функции

Формально решение получается в виде возведенной в степень бесконечной матрицы.

В этом случае частица не может пролететь ftl, чтобы нарушить (релятивистскую) причинность.