Что на самом деле означает уравнение Шредингера?

Question

Что на самом деле означает уравнение Шредингера?

Физика
волновая функция
комплексные числа
квантовая механика
уравнение Шредингера
корпускулярно-волновой дуализм

любопытный Джордж

Я понимаю, что уравнение Шредингера на самом деле является принципом, который невозможно доказать. Но может ли кто-нибудь дать правдоподобное основание для этого и дать ему какое-то физическое значение/интерпретацию. Наверное, я ищу здесь какое-то интуитивное утешение.

Тони

[Вывод Фейнмана в формате PDF] ( drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Research/… )

Даниэль Санк

Как бы то ни было, истинная трудность в понимании того, что означает уравнение Шредингера, заключается в понимании того, что означают векторы состояния. Или, если вы предпочитаете картину Гейзенберга, что означают операторы.

пользователь4552

Это заявление о сохранении энергии.

Любопытный

Нужно уметь «выводить» уравнение Шредингера как частный случай квантовой теории поля в нерелятивистском пределе эффективного потенциала одной частицы, но такой вывод может быть не особенно полезен. Я понятия не имею, что из этого можно узнать.

innisfree

@CuriousOne Я думаю, что с таким подходом вы можете показать некоторые интересные вещи в физике конденсированных сред.

аланф

Есть ли конкретные вопросы, которые вам трудно понять? Если это так, было бы полезно, если бы вы включили их в вопрос.

Любопытный

@innisfree: Возможно, ты прав. Физика конденсированного состояния, безусловно, извлекла большую пользу из методов теории поля, но я давно не интересовался этой областью, поэтому, возможно, я пропустил большую часть современных разработок.

взн

Копенгагенская интерпретация почти вековой давности настаивает на том, что это по своей сути бессмысленный или не имеющий ответа вопрос, однако есть некоторые новые взгляды/исследования/программы, согласно которым уравнение/ волны Шредингера тесно связаны с гидродинамикой. ключевые слова мадленговская жидкость, гидродинамика пилотной волны, солитоны. здесь недавно собрано много первоклассных ссылок vzn1.wordpress.com/2018/05/25/fluid-paradigm-shift-2018

Ответы (5)

Что на самом деле означает уравнение Шредингера?

[Вывод Фейнмана в формате PDF] ( drchristiansalas.org.uk/MathsandPhysics/Research/… )
Как бы то ни было, истинная трудность в понимании того, что означает уравнение Шредингера, заключается в понимании того, что означают векторы состояния. Или, если вы предпочитаете картину Гейзенберга, что означают операторы.
Это заявление о сохранении энергии.
Нужно уметь «выводить» уравнение Шредингера как частный случай квантовой теории поля в нерелятивистском пределе эффективного потенциала одной частицы, но такой вывод может быть не особенно полезен. Я понятия не имею, что из этого можно узнать.
@CuriousOne Я думаю, что с таким подходом вы можете показать некоторые интересные вещи в физике конденсированных сред.
Есть ли конкретные вопросы, которые вам трудно понять? Если это так, было бы полезно, если бы вы включили их в вопрос.
@innisfree: Возможно, ты прав. Физика конденсированного состояния, безусловно, извлекла большую пользу из методов теории поля, но я давно не интересовался этой областью, поэтому, возможно, я пропустил большую часть современных разработок.
Копенгагенская интерпретация почти вековой давности настаивает на том, что это по своей сути бессмысленный или не имеющий ответа вопрос, однако есть некоторые новые взгляды/исследования/программы, согласно которым уравнение/ волны Шредингера тесно связаны с гидродинамикой. ключевые слова мадленговская жидкость, гидродинамика пилотной волны, солитоны. здесь недавно собрано много первоклассных ссылок vzn1.wordpress.com/2018/05/25/fluid-paradigm-shift-2018

dmckee --- котенок экс-модератор · Answer 1

Это довольно простой подход, подходящий для студентов, которые закончили хотя бы один семестр вводной ньютоновской механики, знакомы с волнами (включая комплексное экспоненциальное представление) и слышали о гамильтониане на уровне, где $H = T + V$ . Насколько я понимаю, это не имеет никакого отношения к историческому подходу Шредингера.

Давайте примем вызов Дебая и найдем волновое уравнение, которое соответствует волнам де Бройля (ограничившись одним измерением просто для ясности).

Поскольку мы ищем волновое уравнение, предположим, что решения имеют вид

\begin{matrix} (1) & Ψ (Икс, т) знак равно е^{я (к Икс - ю т)}, \end{matrix}

$\Psi(x,t) = e^{i(kx - \omega t)} \;, \tag{1}$ и поскольку предполагается, что это относится к волнам де Бройля, мы потребуем, чтобы

\begin{aligned} (2) & Е & знак равно час ф знак равно ℏ ю \\ (3) & п & знак равно час λ знак равно ℏ к . \end{aligned}

$\begin{align} E &= hf = \hbar \omega \tag{2}\\ p &= h\lambda = \hbar k \;. \tag{3} \end{align}$

Теперь интересное наблюдение, что мы можем получить угловую частоту $\omega$ из (1) с производной по времени, а также волновым числом $k$ с пространственной производной. Если мы просто определим операторы ¹

\begin{aligned} (4) & \hat{Е} знак равно - \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial т} \\ (5) & \hat{п} знак равно \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс} \end{aligned}

$\begin{align} \hat{E} = -\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} \tag{4}\\ \hat{p} = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x} \; \tag{5}\\ \end{align}$ чтобы

\hat{E} Ψ = E Ψ

$\hat{E} \Psi = E \Psi$ а также

\hat{p} Ψ = p Ψ

$\hat{p} \Psi = p \Psi$ .

Теперь гамильтониан для частицы массы $m$ движется в фиксированном потенциальном поле $V(x)$ является $H = \frac{p^2}{2m} + V(x)$ , и поскольку эта ситуация не имеет явной зависимости от времени, мы можем отождествить гамильтониан с полной энергией системы $H = E$ . Расширяя это тождество с помощью приведенных выше операторов (и применяя его к волновой функции, поскольку операторы должны на что-то воздействовать), мы получаем

\begin{aligned} \hat{ЧАС} Ψ (Икс, т) & знак равно \hat{Е} Ψ (Икс, т) \\ [\frac{{\hat{п}}^{2}}{2 м} + В (Икс)] Ψ (Икс, т) & знак равно \hat{Е} Ψ (Икс, т) \\ [\frac{1}{2 м} {(\frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial Икс})}^{2} + В (Икс)] Ψ (Икс, т) & знак равно - \frac{ℏ}{я} \frac{\partial}{\partial т} Ψ (Икс, т) \\ (6) & [- \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} + В (Икс)] Ψ (Икс, т) & знак равно я ℏ \frac{\partial}{\partial т} Ψ (Икс, т) . \end{aligned}

$\begin{align} \hat{H} \Psi(x,t) &= \hat{E} \Psi(x,t) \\ \left[ \frac{\hat{p}^2}{2m} + V(x) \right] \Psi(x,t) &= \hat{E} \Psi(x,t) \\ \left[ \frac{1}{2m} \left( \frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial x}\right)^2+ V(x) \right] \Psi(x,t) &= -\frac{\hbar}{i} \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) \\ \left[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{\partial^2}{\partial x^2}+ V(x) \right] \Psi(x,t) &= i\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Psi(x,t) \;. \tag{6}\\ \end{align}$ Вы узнаете (6) как зависящее от времени уравнение Шредингера в одном измерении.

Итак, мотивация здесь

Напишите волновое уравнение.
Придайте энергии и импульсу формы де Бройля, и
Требовать энергосбережения

но это совсем не доказательство, потому что переход от переменных к операторам вытащен из шляпы.

В качестве дополнительного бонуса, если вы используете квадрат релятивистского гамильтониана для свободной частицы $(pc)^2 - (mc^2)^2 = E^2$ этот метод также естественным образом приводит к уравнению Клейна-Гордона.

¹ Говоря очень грубым языком, оператор — это похожий на функцию математический объект, который принимает функцию в качестве аргумента и возвращает другую функцию. Частные производные, очевидно, подходят в этом отношении, но то же самое можно сказать и о простых мультипликативных множителях: потому что умножение функции на какой-либо множитель возвращает другую функцию.

Мы следуем общепринятому соглашению об обозначениях объектов, которые должны пониматься как операторы, с помощью шапки, но не используем шапку для явных форм.

Это был подход, который я получил в Корнелле — я думаю, что это был Дэвид Мюллер, который вел курс.

Пузырь · Answer 2

Мне нравится ответ @Simon, но мой личный любимый метод «выведения» уравнения Шрёдингера таков.

Думайте о квантовом состоянии как о кодировании некоторой информации о вашей системе. То есть некоторая квантовая версия распределения вероятностей, заданная в векторном пространстве (гильбертовом пространстве).

Чего мы хотим от осмысленного распределения вероятностей? Во-первых, он всегда должен быть нормализован так, чтобы взаимоисключающие исходы в сумме давали вероятность 1. Во-вторых, мы хотим, чтобы все вероятности, соответствующие этим исходам, всегда были положительными или по крайней мере равными 0. Наиболее общая форма оператора временной эволюции — это скажем, оператор, действующий на ваше состояние в данный момент $t_0$ принимает это к $t_1$ представляет собой так называемую полностью положительную карту, сохраняющую трассировку - http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_operation

По сути, это означает, что карта соответствует всем заявленным мною требованиям (есть некоторые тонкости, но объяснять их придется дольше).

Теперь мы можем спросить, какое динамическое уравнение соответствует этому отображению? Мы хотим, чтобы уравнение было марковским, то есть локальным во времени, чтобы система не зависела от того, что произошло давным-давно, потому что это в некотором смысле нарушило бы локальность.

Линдблад показал, что наиболее общая форма такого уравнения такова:

\dot{р} знак равно - \frac{я}{ℏ} [ЧАС, р] + \sum_{н, м знак равно 1}^{Н^{2} - 1} {час}_{н, м} (л_{н} р л_{м}^{†} - \frac{1}{2} (р л_{м}^{†} л_{н} + л_{м}^{†} л_{н} р))

$\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho]+\sum_{n,m = 1}^{N^2-1} h_{n,m}\left(L_n\rho L_m^\dagger-\frac{1}{2}\left(\rho L_m^\dagger L_n + L_m^\dagger L_n\rho\right)\right)$

куда $\rho$ это государство, $H$ гамильтониан, $h_{m,n}$ некоторые ставки и $L_m$ являются так называемыми операторами Линдблада, которые могут быть любыми операторами.

Однако, как показали Бэнкс, Сасскинд и Пескин - http://adsabs.harvard.edu/abs/1984NuPhB.244..125B

этот тип уравнения нарушает закон сохранения энергии или локальность, если только все $h_{m,n}$ равны нулю. Если оно нарушает закон сохранения энергии, то не может описать замкнутую систему, инвариантную относительно сдвигов во времени. Поэтому мы устанавливаем их в 0 и получаем просто,

\dot{р} знак равно - \frac{я}{ℏ} [ЧАС, р],

$\dot\rho=-{i\over\hbar}[H,\rho],$

которое представляет собой уравнение фон Неймана, которое сводится к уравнению Шредингера для чистых состояний, $\rho=|\psi \rangle \langle \psi|$

Это на самом деле уравнение фон Неймана, не так ли? которое можно вывести из уравнения Шрёдингера (и наоборот)?
@innisfree Да, для чистых состояний это сводится к уравнению Шредингера. Я обновил ответ, чтобы уточнить.

пользователь59412 · Answer 3

Это означает динамику странной квантовой частицы, которую можно выразить как волну. $\psi$ . Поскольку квантовая теория фундаментально вероятностна, мы должны записать классический гамильтониан в математических ожиданиях:

⟨ ЧАС ⟩ знак равно ⟨ Т ⟩ + ⟨ В (Икс, т) ⟩

$\langle H\rangle=\langle T\rangle+\langle V(x,t)\rangle$

В квантовой механике мы используем разные операторы, действующие на состояние $\psi$

⟨ ЧАС ⟩ знак равно \int я ℏ \frac{г}{г т} ψ \cdot \bar{ψ} г Икс

$\langle H\rangle=\int i\hbar \frac{d}{dt}\psi \centerdot \overline{\psi}dx$

⟨ Т ⟩ знак равно \int - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{г^{2}}{г {Икс}^{2}} ψ \cdot \bar{ψ} г Икс

$\langle T\rangle=\int - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi \centerdot \overline{\psi}dx$

⟨ В (Икс, т) ⟩ знак равно \int В (Икс, т) | ψ |^{2} г Икс

$\langle V(x,t)\rangle=\int V(x,t)|\psi|^2dx$

[ ПРИМЕЧАНИЕ : если вы осмелитесь, вы можете получить предыдущие выражения с помощью методов Фурье и меньших предположений, но в целом мы принимаем их как должное, поскольку уравнение Шредингера является фундаментальным постулатом в физике]

После использования вариационной леммы вы получаете:

я ℏ \frac{г}{г т} ψ знак равно - \frac{ℏ^{2}}{2 м} \frac{г^{2}}{г {Икс}^{2}} ψ + В (Икс, т) ψ

$i\hbar \frac{d}{dt}\psi = - \frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}\psi + V(x,t)\psi$ .

Вы предполагаете, что решение уравнения Шредингера на самом деле является функцией $\psi(x)$ . Но уравнение Шредингера также имеет место в конечномерных гильбертовых пространствах (например, в чистом спине).
Первоначально уравнение Шрединера основано на сохранении энергии. Если результирующая динамика может дать значимые результаты в случаях «чистого вращения»… что ж, это просто здорово! Держу пари, мистер Шредингер не рассматривал квантовый спин, когда «выводил» это уравнение.
Это не то, как вы вычисляете средние значения; правильная формула $\langle H \rangle = \int \psi^* (i\hbar \frac{d}{dt}) \psi\ dx$ .

Саймон · Answer 4

Чтобы понять уравнение Шредингера, вы должны знать, что такое вектор состояния http://en.wikipedia.org/wiki/Quantum_state . Прежде чем мы измерим систему, ее состоянием могут быть любые линейные комбинации собственных векторов. Вероятность наблюдаемого значения равна квадрату коэффициента (также называемого волновой функцией) соответствующего собственного вектора.

Когда состояние изменяется со временем, мы могли бы применить оператор U к вектору состояния точно так же, как мы получаем оператор углового момента, вращая вектор состояния. Согласно закону сохранения информации, собственные векторы не могут смешиваться, поэтому внутренний продукт сохраняется, а U является унитарным вектором. Предположим, что U = I - iεH, I — тождественный оператор, ε — небольшое число, тогда можно вывести уравнение Шордингера с помощью разложения Тейлора.

Одним словом, уравнение Шордингера используется для описания того, как состояние системы изменяется во времени, а за изменение отвечает оператор Гамильтона.

Простите за неясные слова, я должен был вывести уравнение за вас, но, стыдно! Я не знаю, как использовать LaTex или MathJax. Но я работаю над этим.

ришаб · Answer 5

Уравнение Шредингера дает определенное энергетическое пространство, которое электрон может занимать внутри оболочки в атоме. Волновая функция, одна из ее переменных, фактически дает вероятное местонахождение электрона в пространстве.

Это все равно, что сказать, что классическая механика предназначена для нахождения периодичности маятника, когда одна из его переменных фактически дает его вероятное местоположение в пространстве.

Что на самом деле означает уравнение Шредингера?

любопытный Джордж

Тони

Даниэль Санк

пользователь4552

Любопытный

innisfree

аланф

Любопытный

взн

Ответы (5)

dmckee --- котенок экс-модератор

CR Дрост

Пузырь

innisfree

Пузырь

пользователь59412

Любопытный Разум

пользователь59412

Хавьер

пользователь59412

Саймон

ришаб

пользователь121330

Вариационный вывод уравнения Шрёдингера

Зачем сложные функции для объяснения корпускулярно-волнового дуализма?

Почему волновые функции в квантовой механике показаны как сложные круговые волны, а не как настоящие плоские волны?

Физическая интерпретация комплексных чисел [дубликат]

Значение iii в уравнении Шредингера [дубликат]

Можно ли сформулировать уравнение Шредингера таким образом, чтобы исключить мнимые числа? [дубликат]

Сопряженное решение уравнения Шредингера

Есть ли способ доказать, что волновая функция связанного состояния всегда может быть выбрана реальной для произвольного потенциала в квантовой механике?

Решение независимого от времени уравнения Шредингера: имеет ли смысл комплексное решение?

Недоразумение относительно бесконечного квадратного колодца