Я новичок в QFT, поэтому у меня может быть неправильная терминология.
Многие книги QFT предоставляют пример получения уравнений движения для различных свободных теорий. Один пример для сложного скалярного поля:
Какова мотивация для этого метода рассматривать два поля как отдельные? Я интуитивно хочу лечить φ * как просто комплексное сопряжение ϕ , не как отдельное поле, а работа исключительно с φ ,
Это просто ярлык для получения уравнений движения
Я также понимаю, что можно написать ϕ = ϕ 1 + я ϕ 2 где два подписанных поля действительны, как это сделано здесь ; возможно, это решает мой вопрос таким образом, что я не понимаю.
TL; DR: Да, это просто короткий путь. Главное, что сложная карта
это биективная карта: С 2 → C 2 ,
Обозначения в этом ответе: В этом ответе, пусть ϕ , ϕ * ∈ C обозначим два независимых комплексных поля. Позволять φ ¯ ¯ ¯ обозначает комплексное сопряжение φ ,
Я) Давайте начнем с самого начала. Представьте, что мы рассматриваем теорию поля сложного скалярного поля φ , Нам дана лагранжева плотность
это полином в φ , φ ¯ ¯ ¯ и их пространственно-временные производные. Мы всегда можем разложить сложное поле на вещественную и мнимую части
где φ 1 , ϕ 2 ∈ R , Следовательно, мы можем переписать лагранжеву плотность (B) как теорию двух действительных полей
II) Мы можем продолжить, по крайней мере, тремя способами:
Измените действие по отношению к. две независимые реальные переменные φ 1 , ϕ 2 ∈ R ,
первоначально φ 1 , ϕ 2 ∈ R конечно два реальных поля. Но мы можем усложнить их, изменить действие по отношению к ним. две независимые комплексные переменные φ 1 , ϕ 2 ∈ C , если мы в конце расчета накладываем два реальных условия
Или эквивалентно, мы можем заменить комплексное сопряженное поле φ ¯ ¯ ¯ → ϕ * в лагранжевой плотности (B) с независимой новой комплексной переменной φ * т.е. лечить φ и φ * как две независимые комплексные переменные, измените действие по отношению к. две независимые комплексные переменные ϕ , ϕ * ∈ C , если мы в конце расчета наложим сложное условие
III) Уравнения Эйлера-Лагранжа, которые мы выводим с помощью двух методов (1) и (2), очевидно, будут совершенно одинаковыми. Уравнения Эйлера-Лагранжа, которые мы выводим с помощью двух методов (2) и (3), будут просто линейными комбинациями друг друга с коэффициентами, заданными постоянной матрицей из уравнения. (А).
IV) Отметим для полноты, что комплексная теория [т.е. теория, которую мы получили бы, если бы мы не навязывали условие (E) или, что эквивалентно, условие (F)], как правило, не унитарна и поэтому плохо определена как QFT. Для начала напомним, что мы обычно требуем, чтобы лагранжева плотность была реальной.
Ссылки:
Конечно , ответ @ QMechanic правильный.
Я хотел бы показать очень простую причину, почему это так (а также указать на возможные обобщения)
Прежде всего, любое комплексное число Z = a + b i 2-мерная и каждая часть (реальная часть или мнимая часть б я ) могут быть полностью независимы друг от друга. В результате комплексное число может представлять в сжатой форме 2 числа . Кроме того, это также означает, что комплексное число, которое должно быть полностью определено для каждого из измерений, также должно быть определено .
С другой стороны, от каждого комплексного числа Z = a + b i (вместе со своим сложным сопряженным Z ¯ = a - b i ) можно вычислить 2 действительных числа ( , б ) в качестве:
поскольку и б могут быть полностью независимы друг от друга, так что может Z и Z ¯ ,
Существует полная симметрия представления (если такой термин можно использовать).
Это означает, что в QFT (например), вместо того, чтобы делать изменения на , б реальные поля, можно эквивалентно (по тому же признаку) сделать изменения на Z , Z ¯ сложные поля и тд.
ОБНОВИТЬ:
Еще немного углубиться в абстрактную математику.
Комплексное сопряжение является (естественным) автоморфизмом поля комплексных чисел . Кроме того, комплексное сопряжение комплексного числа Z не может быть получено из любой аналитической функции Z (грубо говоря, рациональные функции Z и силовой ряд). Это дополнительно делает комплекс сопряженным Z ¯ естественный кандидат для рассмотрения в качестве отдельной области.
Тест: Сколько компонентов необходимо для расчета скорости V = D х / д T объекта, имеющего положение Икс и можно ли их считать независимыми? Или другими словами, зная положение Икс (в данное время T ), мы можем также знать скорость v (в то же время)
Я хотел бы сделать комментарий, который может прояснить и немного упростить вещи.
В комплексном анализе [см., Например, `` Введение в комплексный анализ 'Б.В. Шабата] по определению производных по комплексным переменным Z и Z ¯ предоставляются:
auxsvr