Дифрактон на краях непрозрачного объекта?

Один из способов изучения этого случая — численный анализ дифракции, как описано в другом моем ответе вам .

Вы также можете сделать это примерно так, как вы описываете с помощью принципа Гюйгенса или как описывает Фейнман в своей популярной книге КЭД. Если вы составите уравнение, описывающее то, что вы сказали, вы увидите, что амплитуда в точке с поперечной координатой$X$на экране на осевом расстоянии$d$от плоскости с лезвием ножа составляет:

$$\psi(X) \approx\int\limits_0^\infty\exp\left(i\,k\,\sqrt{(X-x)^2+d^2}\right)\,{\rm d}\,x\tag 1$$

откуда идет линия источников$x=0$к$w$(ширина светлой области), где мы можем взять$w\to+\infty$если нам нравится. Мы пренебрегли зависимостью величины вклада каждого источника от расстояния$\sqrt{(X-x)^2+d^2}$. Это связано с тем, что теперь мы обращаемся к идее метода стационарной фазы , в соответствии с которой вклады только от подынтегрального выражения в окрестности точки$x=X$где фаза подынтегральной функции стационарна, будет важным. Таким образом, для$x\approx 0$мы можем предположить$|X-x|\ll d$и так:

$$\psi(X) \approx\int\limits_0^w\exp\left(i\,k\,\frac{(X-x)^2}{2\,d}\right)\,{\rm d}\,x\tag 2$$

интеграл, который можно сделать в закрытой форме:

$$\begin{array}{lcl}\psi(X) &\approx& \sqrt{\frac{2\,d}{k}}\displaystyle \int\limits_{\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)}^{\sqrt{\frac{k}{2\,d}} X} e^{i\,u^2}\,{\rm d}\,u \\ &=& \sqrt{\frac{d}{2\,k}} e^{i\frac{\pi}{4}} \sqrt{\pi} \left({\rm Erf}\left(e^{3\,i\frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(x-w)\right)-{\rm Erf}\left(e^{3\,i\frac{\pi}{4}}\sqrt{\frac{k}{2\,d}}\, x\right)\right) \\ &=& \sqrt{\frac{d}{2\,k}} \left(C\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}} X\right) + i\,S\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}X\right) -\right.\\ & & \qquad\left.\left(C\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)\right) + i\,S\left(\sqrt{\frac{k}{2\,d}}(X-w)\right)\right)\right)\end{array}\tag 3$$

где:

$$\begin{array}{lcl} C(s) &=& \displaystyle \int\limits_0^s\, \cos(u^2)\,{\rm d}\,u\\ S(s) &=& \displaystyle \int\limits_0^s\, \sin(u^2)\,{\rm d}\,u\\ \end{array}\tag 4$$

где$C(s)$и$S(s)$называются интегралами Френеля.

Если я построю квадрат величины этой функции (связанной с интегралами Френеля) в нормированных единицах, когда$k=d=1$и$L\to\infty$(отмечая$C(\infty)=S(\infty) = -1/2$) для$X\in[-10,20]$Я получаю следующий сюжет:

который, как я полагаю, является именно вашим графиком с уменьшенной горизонтальной осью (ваш, вероятно, мой с преобразованием$x_S = 2\,\pi\,x_R$где$x_S$принадлежит Сатвик$x$-координировать и$x_R$Рода).

Сноска: одна из самых красивых кривых в математике восемнадцатого и девятнадцатого веков — это спираль Корню, которая является частным случаем спирали Эйлера .$\psi(X)$в (3) прослеживает путь в комплексной плоскости, параметризованный$X$, что оказывается длиной дуги$s$спиральный путь в$\mathbb{C}$так что:

$$\begin{array}{lcl}x &=& {\rm Re}(\psi(s)) \propto C(s) + \frac{1}{2}\\ y &=& {\rm Im}(\psi(s)) \propto S(s) + \frac{1}{2}\end{array}\tag 4$$

и я строю нормализованный и сдвинутый путь$z = C(s) + i\,S(s)$Я получаю прекрасную спираль ниже. Кудрявые биты полностью закручиваются в$\pm(1+i)/2$как$s\to\infty$. Смещение, а затем возведение квадрата величины объясняет, почему приведенный выше график интенсивности не симметричен относительно$X=0$, колеблющийся как$X\to\infty$и монотонно убывает$X\to-\infty$.