Какова связь между основным состоянием БКШ и сверхпроводимостью?

Щель электронного возбуждения необходима для сверхпроводимости. (Обычно электроны рассеиваются, но если есть щель, то они не рассеиваются, потому что нет состояния, в которое можно было бы рассеяться, пока температура достаточно низка, чтобы они не могли перепрыгнуть щель.**) Но этого недостаточно . Заполненные состояния также должны быть в состоянии нести ток! Электроны в заполненной валентной зоне полупроводника имеют щель электронного возбуждения, как вы говорите, но они не переносят ток. (Если подумать, в собственном GaAs вблизи абсолютного нуля нет событий рассеяния электронов!) С другой стороны, заполненные состояния в сверхпроводнике МОГУТ проводить ток, потому что... ну, я не был уверен, но я прочитал старый документ BCS, и у них есть довольно простое объяснение:

Наша теория также качественно объясняет те аспекты сверхпроводимости, которые связаны с бесконечной проводимостью... парные состояния$(k_{1\uparrow}, k_{2\downarrow})$иметь чистый импульс$k_1+k_2=q$, куда$q$одинаково для всех виртуальных пар. Для каждого значения$q$, существует метастабильное состояние с минимумом свободной энергии и уникальной плотностью тока. Рассеяние отдельных электронов не изменит значения$q$являются общими для состояний виртуальных пар, и поэтому могут производить только флуктуации относительно тока, определяемого$q$.» И эти события рассеяния повышают свободную энергию, если только все электроны не рассеются одновременно точно таким образом, чтобы создать новое метастабильное состояние с другим центром q, что крайне маловероятно.

Ну, это имеет смысл для меня .... В своем вопросе вы написали основное состояние BCS с помощью$q=0$, но это всего лишь одно из семейства метастабильных (основных) состояний БКШ с различными$q$, с разным$q$s, соответствующие разным потокам тока.

Другими словами, теория БКШ объясняет, как электроны объединяются в пары, а затем возникает энергетическая щель для одночастичных возбуждений. Немного изменив$q$требует мало энергии или вообще не требует ее (или в некоторых случаях даже снижает энергию), но не произойдет спонтанно, потому что для одновременного скоординированного изменения состояния требуются триллионы электронов. (Электрическое поле может вызывать такого рода скоординированные изменения, но они не могут происходить самопроизвольно. Как правило, спонтанно возникают только одночастичные возбуждения, и они имеют щель.) Таким образом, это метастабильно. И тот факт, что у вас может быть метастабильное состояние, в котором протекает ток, — это просто еще один способ сказать, что ток может продолжать течь и течь, даже если его не толкает электрическое поле.

** Обновление: хорошо, да, есть такая вещь, как «бесщелевая сверхпроводимость». Моя ошибка заключалась в том, что я смешивал «сверхпроводник» со «сверхпроводником без какой-либо диссипации». Последнего не существует — даже при полной надлежащей сверхпроводящей энергетической щели, помните, что сверхпроводящий переход выше абсолютного нуля, поэтому наверняка будет какая-то небольшая, но ненулевая скорость рассеяния электронов, которая допустима, не разрушая сверхпроводящий порядок . Таким образом, по этой логике неудивительно, что частичная или несуществующая щель совместима со сверхпроводимостью при очень низкой температуре перехода.

Волновая функция БКШ, которую вы записываете, зависит от параметра$\phi$, но энергия основного состояния от него не зависит. Это означает, что$\phi$является (будет) модой Голдстоуна, которая управляет низкоэнергетической динамикой системы. Градиент$\phi$сохраняется$U(1)$Текущий$\vec\jmath \sim \vec\nabla\phi$, а обычный заряженный ток равен$\vec\jmath_s =n_s e \vec\nabla\phi /m$, куда$n_s$— сверхтекущая плотность электронов.

Потому что$\phi$является модой Голдстоуна, эффективное низкоэнергетическое действие может зависеть только от градиентов$\phi$. По калибровочной инвариантности эффективное действие имеет вид$S[A_\mu-e\nabla_\mu\phi]$. Явная форма$S$можно вычислить по волновой функции БКШ или, что проще, определить с помощью диаграммных методов. Для наших целей важно только то, что$S$имеет по крайней мере локальный минимум, если поле обращается в нуль. Это означает, что решения классического уравнения движения имеют вид$A_\mu=e\nabla_\mu \phi$(Это уравнение Лондона). Рассмотрим приложенное электрическое поле$\vec{E}=-\vec\nabla A_0$. я нахожу

$$\vec{E}=-e\vec\nabla \dot\phi=\frac{m}{n_s}\frac{d\vec\jmath}{dt}$$ что показывает, что статическому току соответствует нулевое поле, а удельное сопротивление равно нулю.

Эффективное действие определяет и другие свойства системы, такие как эффект Мейснера, критический ток и флуктуации тока в тепловом ансамбле.

Постскриптум: Комментатор утверждает, что мне действительно нужно показать, что$S$имеет минимум

$$S \sim \gamma (A-e\nabla\phi)^2 + \ldots$$ Во-первых, обратите внимание, что $\gamma$определяет массу Мейснера, так что даже без вычислений я показал, что эффект Мейснера подразумевает сверхпроводимость. Кроме того, мне действительно нужно сделать расчет $\gamma$на основе волновой функции БКШ (я мог бы обратиться к функционалу Ландау-Гинзбурга, но это только сдвигает вопрос к градиентному члену в функционале ЛГ). К счастью, вычисления просты и могут быть найдены во многих учебниках. Для людей, больше интересующихся физикой элементарных частиц, есть красивое объяснение во втором томе книги Вайнберга по КТП. Есть знаменитая статья Андерсона о калибровочной инвариантности и эффекте Хиггса. Я представил вариант расчета в разд. 3.4 этих конспектов лекций https://arxiv.org/abs/nucl-th/0609075

Пост-постскриптум: Чем это отличается от слабо взаимодействующего электронного газа? В электронном газе у меня низкоэнергетическое описание с точки зрения электронов и фононов (и других степеней свободы). Для простоты рассмотрим высокотемпературный предел, где применимо классическое описание (как объясняется в теории ферми-жидкости Ландау, это обобщается на низкие T). Уравнение движения для одного электрона просто$m\dot v=e E$, что внешне похоже на уравнение Лондона. Однако это не макроскопический ток. Когда я перехожу от микроскопических уравнений к макроскопическим, симметрия, запрещающая появление диссипативных членов, отсутствует, поэтому проводимость отлична от нуля. В связи электронов и фононов действительно есть тонкость, потому что без процесса переброса закон сохранения импульса заставил бы проводимость исчезнуть.

В сверхпроводнике градиент бозона Голдстоуна автоматически описывает макроскопический ток ($\gamma$пропорциональна плотности электронов). S является квантовым эффективным действием, и диссипативные члены автоматически запрещены. При конечной температуре все становится немного сложнее, потому что полный ток, как правило, представляет собой сумму недиссипативного сверхтока, определяемого$S$, и диссипативный нормальный ток. Однако ниже$T_c$часть отклика переносится сверхтоком.

Как вы правильно заметили, наличие щели ничего не объясняет в феноменологии сверхпроводимости, кроме ее постоянного (и квази-постоянного) поведения. Это вполне естественно: те же причины, те же последствия. Таким образом, сверхпроводник ведет себя как полупроводник, потому что в нем есть щель. Поскольку эта щель довольно мала, обычные сверхпроводники не представляют особого интереса в качестве полупроводников.

Итак, какие важные аспекты сверхпроводимости скрыты в анзаце БКШ, который вы написали? Ну, много-много, например

• это пример когерентного фермионного состояния
• это происходит из микроскопической картины пары Купера (как объяснено в первом абзаце ответа Джошуа Хита (остальная часть его ответа бессмысленна)
• дает фазу (в смысле$\varphi$в письменной форме$e^{i\varphi}$, а не в смысле фазы вещества) к конденсату, следовательно, вы получили макроскопическую волновую функцию, связанную с конденсатом
• это объясняет температурную зависимость зазора
• это делает конденсат идеальным диамагнитным материалом
• ...

Совершенный диамагнетизм идет рука об руку без сопротивления. Демонстрация отсутствия тока / совершенного диамагнетизма / сопротивления, связанного с анзацем БКШ, очень подробно объясняется в историческом отчете, представляющем микроскопическую теорию, а именно

Бардин, Дж., Купер, Л.Н., и Шриффер, младший (1957). Теория сверхпроводимости . Физическое обозрение, 108, 1175–1204.

Подробности расчета также можно найти в

Тинкхэм, М. (1996). Введение в сверхпроводимость (второе издание). Довер Публикации, Инк.

См. Также этот мой ответ о связанном с этим вопросе.

Насколько я помню, Леггетт также приводит множество различных расчетов этого эффекта, т.к.

Леггетт, А. Дж. (1975). Теоретическое описание новых фаз жидкого Не3 . Обзоры современной физики, 47, 331–414.

Расчет, тем не менее, немного громоздкий, поэтому я не хочу пробовать его на этой платформе. Не стесняйтесь спрашивать о неясных деталях в связанных ссылках.

Я не уверен насчет второй части вашего вопроса, но думаю, что могу дать вам ответ на первую часть. Пробная волновая функция БКШ предлагает линейную комбинацию заполненного состояния моря Ферми (с вероятностью$|u_k|^2$) и состояние с куперовской парой (с вероятностью$|v_k|^2$). Если вычислить среднее значение гамильтониана спаривания и минимизировать энергию, то обнаружится, что система предпочитает находиться в парном куперовском состоянии. Это говорит нам о том, что до тех пор, пока у нас есть потенциал привлекательности (независимо от того, насколько он мал), система предпочтет парное состояние Купера. В некоторых решетчатых структурах этот притягивающий потенциал обеспечивают фонон-электронные взаимодействия.

Именно это неизбежное образование куперовских пар дает нам нулевое удельное сопротивление. Физика малых масштабов (например, рассеяние) поглощается макроскопической квантовой механикой, описываемой этой системой, как описано в этом ответе. Следовательно, процессы рассеяния не будут влиять на ток. Как было предложено в вашем вопросе и в обсуждении по ссылке выше, нулевое сопротивление, следовательно, не зависит от наличия разрыва.

Хорошее обсуждение того, что вызывает сверхпроводимость , можно найти здесь. Отличное обсуждение всех вещей, связанных со сверхпроводимостью, см. в книге Тинкхема.

Дело в том, что нельзя сравнивать зонную структуру изолятора и сверхпроводника БКШ. Для изолятора запрещенная зона — это энергетическая щель с нулевой плотностью состояний в электронном пространстве. Обратите внимание, что слово «электрон» не совсем правильное, поскольку из-за взаимодействия в решетке у нас есть электроноподобные квазичастицы, но они все же очень похожи на электроны. Следовательно, «электроны» не могут получить дополнительную энергию от внешнего напряжения.

Теперь рассмотрим гамильтониан БКШ. Мы видим постоянную энергию конденсации и гамильтониан, который выглядит знакомым, поскольку он записан в k-пространстве. Однако операторы не являются нормальными электронноподобными операторами. Это боголибуовские квазичастицы, являющиеся суперпозицией электронов и дырок. Следовательно, только при достаточно большой энергии я могу генерировать эти частицы. Для энергий (внешних напряжений) ниже этой пороговой энергии (при T=0) мое основное состояние остается неизменным. Рассматривая основное состояние, мы видим когерентное состояние, которое имеет связанную с ним фазу, сверхпроводящую фазу. На этом этапе можно провести множество транспортных экспериментов и, например, увидеть сверхтоки.

Но при чем здесь интуиция? Мы должны снова взглянуть на нормальный металл и посмотреть, что означает удельное сопротивление. Это переводится как рассеяние. Электроны изменяют состояния или распадаются на более низкие энергетические состояния и отдают энергию окружающей среде. Частицы в БКШ-состоянии сверхпроводника не могут этого сделать по тем же причинам, что и электроны в изоляторе: доступных состояний не осталось. Однако электроны в сверхпроводнике связаны своим когерентным состоянием. Таким образом, щель фактически защищает когерентное состояние электронов и, следовательно, сверхпроводящие свойства. Обратите внимание, что пробел не является обязательным для SC. Единственное, что нам нужно, это когерентное состояние электрона, которое также может образовываться без щели. Существуют нетрадиционные сверхпроводники, не имеющие щели для определенных направлений, в которых легко разрушаются куперовские пары.

Остается вопрос, почему когерентные состояния обеспечивают эффекты сверхпроводимости, а именно идеальный диамагнетизм и нулевое сопротивление. Ответ лежит в КВАНТЕ. Под этим я подразумеваю, что настоящего интуитивного объяснения больше нет. Можно вычислить перенос между двумя когерентными состояниями и увидеть, что ток течет без внешнего воздействия. Эффект постоянного тока-Джозефсона является исключительно квантово-механическим эффектом. То же самое относится и к эффекту Ас-Джозефсона. Я даже не хочу пытаться сформулировать интуитивное объяснение того, почему постоянное напряжение индуцирует переменный ток между двумя сверхпроводниками. Конечно, математика дает нам объяснение (калибровочно-инвариантные производные и т. д.), однако с ней не связана никакая «картинка». Мы должны использовать нашу «физическую интуицию».