В книге Баллентина по квантовой механике (в 3-й главе) он вводит преобразование симметрии группы Галилея, связанное с уравнением Шредингера.
Сейчас группа Галилея как таковая имеет 10 образующих (3 оборота - , 3 перевода - , 3 повышения - и перевод времени - ). Кроме того, решение Шрёдингера (амплитуда вероятности) произвольно с точностью до фазового множителя ( ). Следовательно, мы включаем еще один генератор, индуцированный преобразованием фазы. При этом общее унитарное преобразование,
Коммутационные отношения группы в целом могут быть заданы как
Теперь это коммутационное соотношение не имеет структуры алгебры Ли. Поскольку в алгебре Ли элементы замкнуты относительно коммутации. У этого есть дополнительный элемент, сидящий с .
Что здесь происходит на самом деле? Действительно ли это группа Ли с 11 параметрами? Если да, то как мы убедимся в алгебре генераторов?
Умножение на фазу волновой функции коммутирует с действием группы Галилея.
Всегда можно добавить генератор, коммутирующий с генераторами алгебры Ли, чтобы сформировать большую алгебру Ли. В этом случае большая алгебра Ли называется центральным расширением первой. Происхождение названия состоит в том, что добавленный генератор (или генераторы) коммутирует со всеми генераторами алгебры Ли, поэтому они принадлежат центру алгебры Ли.
Например, алгебра Гейзенберга-Вейля:
является центральным расширением двумерной алгебры трансляций :
Если центральный элемент не входит ни в один коммутатор исходных генераторов алгебры Ли, то центральное расширение тривиально (все s равны нулю), а алгебра представляет собой прямую сумму двух алгебр. Так обстоит дело в конкретном примере расширения, описанном в книге Баллентина. Однако это не так в алгебре Гейзенберга-Вейля, где коммутатор а также производит центральный элемент. В этом случае центральное расширение не является тривиальным.
Однако это еще не вся история. Баллентин готовит фон для описания нетривиального центрального расширения группы Галилея:
Оказывается, алгебра Галилея не замкнута ни в классической, ни в квантовой механике без нетривиального центрального расширения. Скобка Пуассона в классической механике и коммутатор в квантовой механике бустов и импульсов нетривиальны и имеют вид:
куда: - масса частицы. Заметим, что соответствующий коммутатор в алгебре Галилея равен нулю. Этот результат принадлежит В. Баргманну .
В классическом случае это видно достаточно легко. Скобки Пуассона нётеровых зарядов, вычисленные по лагранжиану свободной частицы, соответствующему бустам и импульсам, просто удовлетворяют приведенному выше соотношению и не коммутируют по Пуассону, как в нерасширенной групповой алгебре Галилея.
Наконец, позвольте мне отметить, что центральный элемент всегда представлен единичной матрицей в неприводимом представлении, а представление центрально расширенной алгебры называется лучевым представлением исходной алгебры.
Qмеханик