Бесконечность радиальной волновой функции водорода при r=0r=0r=0

Бесконечно малая вероятность того, что электрон окажется в объеме$dV$вокруг точки$(r,\theta,\phi)\leftrightarrow (x,y,z)$дан кем-то

Так$|R(r)|^2$еще может пойти как$1/r^2$для маленьких$r$и в этом случае$dV$будет пропорционально$dr$раз функция, которая конечна для$r\to 0$. Такой$dP$могут быть интегрированы, и нет никакой дивергенции вблизи$r=0$.

Вот почему следует допустить, чтобы волновая функция имела вид$1/r$около$r=0$что является истинным аналогом конечности одномерной волновой функции вблизи точки. Однако Природа не использует эту конкретную лазейку, потому что волновая функция$\psi$для маленьких$r$на самом деле масштабируется как$r^l$где$l$— орбитальное квантовое число, и волновая функция на самом деле никогда не расходится, хотя могла бы.

Обновление 2016: я должен был и мог написать это четыре года назад, но не сделал этого. Хотя нормализуемость позволяет$1/r$вокруг$r=0$, такие сингулярные функции в конечном итоге не могут находиться в стационарных или почти стационарных состояниях по следующей причине, которая отличается от различных причин, приведенных выше и приведенных в комментариях.

Например, кто-то упомянул, что$1/r$может привести к непрерывному спектру или некоторым неожиданным вырождениям. Но если бы правильные волновые функции предсказывали непрерывный или вырожденный спектр в ящике, тогда Природа работала бы именно так. Настоящая причина, по которой$1/r$окончательно не допускается как стационарная волновая функция вблизи$r=0$состоит в том, что лапласиан этой волновой функции (а уравнение Шредингера содержит такой лапласиан) пропорционален дельта-функции в начале координат (или содержит такой член), и никакой другой член в уравнении Шредингера не может отменить эту дельта-функцию, поэтому Уравнение Шредингера должно быть нарушено.

Физическая наблюдаемая - это не волновая функция, а ее интеграл по конечной площади. В сферических координатах это:

Этот интеграл явно конечен при$r=0$, даже если$R(r)$имеет$\frac{1}{r}$расхождение.

Для водородоподобного атома в трех пространственных измерениях переписывание радиальной части

не выполняется для сохранения$u(r)$часть регулярная, как предлагает OP, но обычно потому, что трехмерное радиальное уравнение с точки зрения$u$функция имеет тот же вид, что и одномерное уравнение Шредингера.

Представьте, что радиальная волновая функция имеет вид степени

Исходя из общих соображений, можно наложить следующий список условий непротиворечивости, начиная с самого слабого условия и заканчивая самым сильным условием.

1. Нормируемость волновой функции

   $$\infty~>~\langle\psi|\psi\rangle~=~\int d^3r~|\psi(\vec{r})|^2 ~\propto~ \int_0^{\infty} r^{2}dr~|R(r)|^2 .$$ Интегрируемость при$r=0$получается, что мощность$p>-\frac{3}{2}$. Другими словами, это условие нормируемости само по себе не означает, что$R(r)$или$u(r)$должен быть регулярным в$r=0$, что также является выводом многих других ответов.

2. Ожидаемое значение потенциальной энергии$V$должно быть ограничено снизу,

   $$-\infty~<~\langle\psi| V|\psi\rangle~=~\int d^3r~V(r)|\psi(\vec{r})|^2~\propto~-\int_0^{\infty} rdr~|R(r)|^2.$$ Интегрируемость при$r=0$получается, что мощность$p>-1$. Другими словами,$u(r)$должен быть регулярным для$r\to 0$.

3. Оператор кинетической энергии (или, что то же самое, лапласиан$\Delta$) должен вести себя самосопряженно для двух волновых функций$\psi_1(\vec{r})$и$\psi_2(\vec{r})$,

   $$\langle\psi_1| \Delta\psi_2\rangle~=~-\langle\vec{\nabla}\psi_1| \cdot\vec{\nabla}\psi_2\rangle,$$ не улавливая патологических вкладов в$r=0$. Детальный анализ показывает, что мощности радиальных частей$\psi_1(\vec{r})$и$\psi_2(\vec{r})$должен удовлетворить$p>-\frac{1}{2}$.

Для сравнения, фактические решения связанного состояния имеют неотрицательные$p=\ell\in \mathbb{N}_0$, а значит, удовлетворяют этим трем условиям.

В дополнение к простым геометрическим ограничениям, которые Джерри и Любош , вывод, используемый для иллюстрации проблемы, почти всегда предполагает, что протон является точечной частицей, что является довольно хорошим приближением, но не совсем верным. Еще одним способом устранить сингулярность было бы повторное решение проблемы с реалистичной функцией плотности заряда протона (примерно постоянной внутри радиуса около 1 фм).

Имейте в виду, что этот аргумент не верен для позитрония, поэтому вам все еще нужно геометрическое ограничение.

Для водорода,$R(r)$не расходится, т.к.$U(r)$исчезает так же быстро, как (или быстрее, чем)$r$как$r\rightarrow 0$. На самом деле, это только для$s$орбиталей, что волновая функция отлична от нуля на$r=0$. Но, как указывалось ранее, ненулевая радиальная волновая функция не означает ненулевую вероятность нахождения электрона в центре.