Когда можно считать, что волновая функция сепарабельна

Question

Когда можно считать, что волновая функция сепарабельна

Андрепд

При разработке стационарных состояний одной частицы в трехмерном бесконечном потенциальном ящике ( $V=0$ внутри кубоида известных размеров, $V=\infty$ везде), я понял, что должен предположить, что волновая функция может быть разделена на произведение трех функций, $\psi(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)$ , чтобы найти $\psi$ . Почему это так и при каких условиях? Что гарантирует мне, что я смогу это сделать? Текст, за которым я следую, не особенно ясен по этому поводу.

Мусорный контейнерDoofus

На самом деле существуют хорошие строгие доказательства того, что предположение об отделимости для конкретных систем не «уничтожает» никакой информации о проблеме, и я смутно припоминаю, что они включают проверку инвариантности гамильтониана относительно действия групп Ли, связанных с симметрией группа системы, но я, честно говоря, не знаю специфики. Излишне говорить, что в большинстве вводных книг вообще не упоминаются такие трудности (иначе текст скатился бы по сложному пути, который был бы самоубийственным с педагогической точки зрения).

Андрепд

Я понимаю. Мне было интересно, можем ли мы просто предположить, что это верно почти для всех практических приложений, или есть ли патологические контрпримеры, или вообще нет контрпримеров.

Мусорный контейнерDoofus

Есть много контрпримеров. Например, вы можете попытаться предположить, что у частицы в 2D-ящике есть собственные состояния, разделимые в полярных координатах.

(r, ϕ)

$(r,\phi)$ , но это не удается, потому что собственные состояния оказываются неразделимыми в этих координатах. Однако большинство прототипов точно решаемых квантовых систем моделируются в системе координат, в которой система оказывается сепарабельной, поэтому, когда вы узнаете о них, вам не придется об этом беспокоиться. Но в целом не всегда безопасно предполагать, что система сепарабельна в любой произвольной системе координат.

Мусорный контейнерDoofus

Более сложный пример общей неспособности разделить переменные дается любой ситуацией, в которой аппроксимация Борна-Оппенгеймера не работает. Например, в молекулярной физике часто предполагается, что существует разделимость между вращательными, поступательными, колебательными, электронными и ядерно-спиновыми координатами, но на самом деле это приближение, которое не работает, например, в случае экспериментально- наблюдаемые спектральные признаки ровибронной связи.

предложение не может отказаться

Это оправдано, потому что это работает. Когда вы решаете дифференциальное уравнение, ответ однозначно определяется уравнением и граничными условиями. Когда вы пробуете решение, если оно работает, примите его. @DumpsterDoofus Ваша 2D-коробка квадратная или 2D-сфера?

Мусорный контейнерDoofus

@luming: я приводил пример двумерного квадрата. Вы можете сформулировать уравнение Шредингера для двумерной бесконечной квадратной ямы в полярных координатах, предполагая разделение переменных, и это не удастся (поскольку волновые функции неразделимы в полярных координатах). ОП соглашается с тем, что в случае трехмерного бесконечного квадратного ящика предположение о разделении переменных дает решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера. Я предполагаю, что его беспокоит, есть ли какие-либо собственные состояния, которые «пропускаются» при применении этого предположения.

Мусорный контейнерDoofus

Тем не менее, в частном случае бесконечного трехмерного куба вы можете строго доказать, что разделение переменных должно давать все решения, потому что гамильтониан представляет собой прямую сумму трех операторов, что (я думаю?) означает, что волновые функции тензорно-симметричны. произведения собственных состояний отдельных операторов, что означает, что собственные состояния являются декартово сепарабельными. Для более сложных систем я понятия не имею, как это работает (это слишком сложно для меня, чтобы понять).

Мусорный контейнерDoofus

Однако Род Вэнс или кто-то из других действительно высокопоставленных пользователей может знать.

предложение не может отказаться

@DumpsterDoofus В случае с бесконечным квадратным ящиком я подумал, что мы можем разделить переменную в

r

$r$ а также

θ

$\theta$ , то удовлетворяют граничному условию квадратного ящика. Точно такие же собственные значения мы должны получить и в декартовой координате. Разве это не правда?

Мусорный контейнерDoofus

@luming: Нет, это вообще не работает. Например, основное состояние

n_{x} = 1, n_{y} = 1

$n_x=1,n_y=1$ двумерного бесконечного квадратного колодца с

L_{x} = L_{y} = 1

$L_x=L_y=1$ является

2 \sin (π x) \sin (π y)

$2 \sin (\pi x) \sin (\pi y)$ , которое нельзя записать в виде

A (r) B (θ)

$A(r)B(\theta)$ . Вы можете доказать невозможность, вставив

x \to r \cos (θ), y \to r \sin (θ)

$x\rightarrow r\cos(\theta),y\rightarrow r\sin(\theta)$ а затем построить результат для фиксированного

r

$r$ и переменная

θ

$\theta$ . Она никогда не будет постоянной для любого выбора

r > 0

$r>0$ . Таким образом, разделение переменных в этом случае полностью терпит неудачу, как бы вы ни старались.

Мусорный контейнерDoofus

@luming: Кроме того, основное состояние однократно вырождено, поэтому нет возможности существования линейной комбинации в вырожденном подпространстве, допускающей разложение формы

A (r) B (θ)

$A(r)B(\theta)$ . В противном случае для многократно вырожденных возбужденных состояний (

n_{x} > 1

$n_x>1$ или же

n_{y} > 1

$n_y>1$ ), вы знаете, что волновая функция всегда должна удовлетворять нулевому граничному условию на краях, но комбинируя это с предположением, что

ψ = A (r) B (θ)

$\psi=A(r)B(\theta)$ означает, что волновая функция должна быть равна нулю для всех

r > 0.5

$r>0.5$ , который включает в себя множество точек внутри коробки! Это противоречие.

Мусорный контейнерDoofus

@luming: На самом деле, забудьте о моих рассуждениях в предложении «построение результата для фиксированного

r

$r$ и переменная

θ

$\theta$ ...", это было неправильно. Правильное рассуждение состоит в том, что в полярных координатах основное состояние задается выражением

ψ (r, θ) = \sin (π r \sin (θ)) \sin (π r \cos (θ))

$\psi(r,\theta)=\sin (\pi r \sin (\theta )) \sin (\pi r \cos (\theta ))$ . Однако соотношение

ψ (r_{1}, θ) / ψ (r_{2}, θ)

$\psi(r_1,\theta)/\psi(r_2,\theta)$ не зависит от

θ

$\theta$ когда бы ни

r_{1} \neq r_{2}

$r_1\neq r_2$ . Однако, если бы он был сепарабельным, вы бы получили

A (r_{1}) / A (r_{2})

$A(r_1)/A(r_2)$ , который является постоянным. Это противоречие.

предложение не может отказаться

@DumpsterDoofus Как вы сказали ранее, гамильтониан - это прямая сумма двух операторов.

p_{x}^{2}, p_{y}^{2}

$p_x^2,p_y^2$ . Однако при записи в полярных координатах гамильтониан нельзя записать в виде прямой суммы двух операторов, в которой каждый из них содержит только

r

$r$ или же

θ

$\theta$ . Думаю, это объясняет, почему мы не можем представить волновую функцию в виде

A (r) B (θ)

$A(r)B(\theta)$ . Вспомните, как мы решаем задачу об атоме водорода, мы можем только разделить волновую функцию следующим образом:

R (r) Y (θ, ϕ)

$R(r)Y(\theta,\phi)$ , потому что мы можем записать только гамильтониан как

O (r) + O^{'} (θ, ϕ)

$O(r)+O'(\theta,\phi)$

Ответы (2)

Когда можно считать, что волновая функция сепарабельна

На самом деле существуют хорошие строгие доказательства того, что предположение об отделимости для конкретных систем не «уничтожает» никакой информации о проблеме, и я смутно припоминаю, что они включают проверку инвариантности гамильтониана относительно действия групп Ли, связанных с симметрией группа системы, но я, честно говоря, не знаю специфики. Излишне говорить, что в большинстве вводных книг вообще не упоминаются такие трудности (иначе текст скатился бы по сложному пути, который был бы самоубийственным с педагогической точки зрения).
Я понимаю. Мне было интересно, можем ли мы просто предположить, что это верно почти для всех практических приложений, или есть ли патологические контрпримеры, или вообще нет контрпримеров.
Есть много контрпримеров. Например, вы можете попытаться предположить, что у частицы в 2D-ящике есть собственные состояния, разделимые в полярных координатах. $(r,\phi)$ , но это не удается, потому что собственные состояния оказываются неразделимыми в этих координатах. Однако большинство прототипов точно решаемых квантовых систем моделируются в системе координат, в которой система оказывается сепарабельной, поэтому, когда вы узнаете о них, вам не придется об этом беспокоиться. Но в целом не всегда безопасно предполагать, что система сепарабельна в любой произвольной системе координат.
Более сложный пример общей неспособности разделить переменные дается любой ситуацией, в которой аппроксимация Борна-Оппенгеймера не работает. Например, в молекулярной физике часто предполагается, что существует разделимость между вращательными, поступательными, колебательными, электронными и ядерно-спиновыми координатами, но на самом деле это приближение, которое не работает, например, в случае экспериментально- наблюдаемые спектральные признаки ровибронной связи.
Это оправдано, потому что это работает. Когда вы решаете дифференциальное уравнение, ответ однозначно определяется уравнением и граничными условиями. Когда вы пробуете решение, если оно работает, примите его. @DumpsterDoofus Ваша 2D-коробка квадратная или 2D-сфера?
@luming: я приводил пример двумерного квадрата. Вы можете сформулировать уравнение Шредингера для двумерной бесконечной квадратной ямы в полярных координатах, предполагая разделение переменных, и это не удастся (поскольку волновые функции неразделимы в полярных координатах). ОП соглашается с тем, что в случае трехмерного бесконечного квадратного ящика предположение о разделении переменных дает решения, удовлетворяющие уравнению Шредингера. Я предполагаю, что его беспокоит, есть ли какие-либо собственные состояния, которые «пропускаются» при применении этого предположения.
Тем не менее, в частном случае бесконечного трехмерного куба вы можете строго доказать, что разделение переменных должно давать все решения, потому что гамильтониан представляет собой прямую сумму трех операторов, что (я думаю?) означает, что волновые функции тензорно-симметричны. произведения собственных состояний отдельных операторов, что означает, что собственные состояния являются декартово сепарабельными. Для более сложных систем я понятия не имею, как это работает (это слишком сложно для меня, чтобы понять).
Однако Род Вэнс или кто-то из других действительно высокопоставленных пользователей может знать.
@DumpsterDoofus В случае с бесконечным квадратным ящиком я подумал, что мы можем разделить переменную в $r$ а также $\theta$ , то удовлетворяют граничному условию квадратного ящика. Точно такие же собственные значения мы должны получить и в декартовой координате. Разве это не правда?
@luming: Нет, это вообще не работает. Например, основное состояние $n_x=1,n_y=1$ двумерного бесконечного квадратного колодца с $L_x=L_y=1$ является $2 \sin (\pi x) \sin (\pi y)$ , которое нельзя записать в виде $A(r)B(\theta)$ . Вы можете доказать невозможность, вставив $x\rightarrow r\cos(\theta),y\rightarrow r\sin(\theta)$ а затем построить результат для фиксированного $r$ и переменная $\theta$ . Она никогда не будет постоянной для любого выбора $r>0$ . Таким образом, разделение переменных в этом случае полностью терпит неудачу, как бы вы ни старались.
@luming: Кроме того, основное состояние однократно вырождено, поэтому нет возможности существования линейной комбинации в вырожденном подпространстве, допускающей разложение формы $A(r)B(\theta)$ . В противном случае для многократно вырожденных возбужденных состояний ( $n_x>1$ или же $n_y>1$ ), вы знаете, что волновая функция всегда должна удовлетворять нулевому граничному условию на краях, но комбинируя это с предположением, что $\psi=A(r)B(\theta)$ означает, что волновая функция должна быть равна нулю для всех $r>0.5$ , который включает в себя множество точек внутри коробки! Это противоречие.
@luming: На самом деле, забудьте о моих рассуждениях в предложении «построение результата для фиксированного $r$ и переменная $\theta$ ...", это было неправильно. Правильное рассуждение состоит в том, что в полярных координатах основное состояние задается выражением $\psi(r,\theta)=\sin (\pi r \sin (\theta )) \sin (\pi r \cos (\theta ))$ . Однако соотношение $\psi(r_1,\theta)/\psi(r_2,\theta)$ не зависит от $\theta$ когда бы ни $r_1\neq r_2$ . Однако, если бы он был сепарабельным, вы бы получили $A(r_1)/A(r_2)$ , который является постоянным. Это противоречие.
@DumpsterDoofus Как вы сказали ранее, гамильтониан - это прямая сумма двух операторов. $p_x^2,p_y^2$ . Однако при записи в полярных координатах гамильтониан нельзя записать в виде прямой суммы двух операторов, в которой каждый из них содержит только $r$ или же $\theta$ . Думаю, это объясняет, почему мы не можем представить волновую функцию в виде $A(r)B(\theta)$ . Вспомните, как мы решаем задачу об атоме водорода, мы можем только разделить волновую функцию следующим образом: $R(r)Y(\theta,\phi)$ , потому что мы можем записать только гамильтониан как $O(r)+O'(\theta,\phi)$

кесарулия · Answer 1

Разделение переменных действительно является деликатной темой в уравнениях с частными производными. На сегодняшний день у нас нет (насколько мне известно) полной теории условий, которые делают это возможным. Обычная позиция состоит в том, чтобы иметь теоремы существования и единственности для решений данного УЧП, и, используя некоторый анзац разделения переменных, найдя общее решение, мы должны получить решение, как прокомментировано.

Насколько я знаю, для конкретных случаев у нас есть строгое обоснование использования разделения переменных в заданных координатах, которые связаны с группой симметрии, действующей на УЧП (как также сказал Бамбстер Дуфус в комментариях). (Несколько старая) книга, объясняющая это, — «Симметрия и разделение переменных» Миллера, которую вы можете найти в Интернете здесь http://www.ima.umn.edu/~miller/separationofvariables.html . Как сказано в предисловии, мы знаем, как обосновать некоторые УЧП (особенно низкоразмерные), но у нас нет полной теории для всех дифференциальных уравнений, которые мы хотели бы рассмотреть (например, трехмерное волновое уравнение). Дальнейших событий, кроме книги Миллера, я не знаю, но я искал ее и не нашел решительных изменений (но это может быть по моему невежеству).

В любом случае, пока вы рассматриваете связанные состояния, я не думаю, что вам следует беспокоиться об этих вещах, теорем существования и единственности в сочетании с вашей способностью предоставить общее решение должно быть достаточно (я всегда с подозрением отношусь к рассеянию состояний, потому что они не интегрируются с квадратом и могут быть более тонкими). Если вы не удовлетворены этим ответом, я думаю, было бы отличным вопросом об обмене математическими стеками, чтобы узнать статус разделения переменных, хотя я думаю, что ответ в любом случае относится к группе симметрии рассматриваемого УЧП, и мог бы быть излишним для вашего контекста.

пользователь26143 · Answer 2

Логика выглядит следующим образом.

Мы можем угадать решение в формах $X(x) Y(y) Z(z)$ для частицы в трехмерном ящике. Мы можем найти такие решения. Вопрос в том, пропускаем ли мы какое-либо решение?

Функция $X(x)$ является собственной функцией самосопряженного оператора

\begin{matrix} (1) & {ЧАС}_{Икс} знак равно - \frac{1}{2} \frac{\partial^{2}}{\partial {Икс}^{2}} + В (Икс) \end{matrix}

$H_x = -\frac{1}{2} \frac{ \partial^2}{\partial x^2} + V(x) \tag{1}$

V (x)

$V(x)$ есть потенциал стены бесконечности. И то же самое для

y, z

$y,z$ . Таким образом, они образуют полный набор функций при подходящих граничных условиях. Разложим общий вид решения в виде

\begin{matrix} (2) & ψ (Икс, у, г) знак равно \sum_{л} \sum_{м} \sum_{н} с_{л м н} {Икс}_{л} (Икс) Д_{м} (у) Z_{н} (г) \end{matrix}

$\psi(x,y,z) = \sum_{l} \sum_{m} \sum_{n} c_{lmn} X_l(x) Y_m(y) Z_n(z) \tag{2}$

С $[H_x,H]=0$ , собственная функция частицы в трехмерном ящике образует одновременное собственное состояние как собственная функция $H_x$ . мы можем бросить $\sum_l$ и $l$ зависимость коэффициента расширения $c_{clm}$ в уравнении (2). То же самое относится к $y$ а также $z$ . Поэтому собственная функция частицы в трехмерном ящике может быть записана как $X(x) Y(y) Z(z)$ .

Когда можно считать, что волновая функция сепарабельна

Андрепд

Мусорный контейнерDoofus

Андрепд

Мусорный контейнерDoofus

Мусорный контейнерDoofus

предложение не может отказаться

Мусорный контейнерDoofus

Мусорный контейнерDoofus

Мусорный контейнерDoofus

предложение не может отказаться

Мусорный контейнерDoofus

Мусорный контейнерDoofus

Мусорный контейнерDoofus

предложение не может отказаться

Ответы (2)

кесарулия

пользователь26143

Явное решение нестационарного уравнения Шредингера для свободной частицы, которое начинается как дельта-функция

Бесконечность радиальной волновой функции водорода при r=0r=0r=0

Непрерывность и гладкость волновой функции

Решение для обратного квадратного потенциала в пространственных измерениях d = 3d = 3d = 3 в квантовой механике [дубликат]

Когда nnn-е связанное состояние одномерного квантового потенциала имеет nnn максимумов/минимумов?

Квазиэнергетический спектр Флоке, непрерывный или дискретный?

Сравнение одномерных и трехмерных волновых функций

Должна ли волновая функция быть (действительной) аналитической?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Можем ли мы с уверенностью предположить, что Ψ(x,t)=ψ(x)e−iωtΨ(x,t)=ψ(x)e−iωt\Psi(x,t) = \psi(x)e^{-i\ omega t} всегда в QM?