Мы можем понять все это дело, если обратим внимание на понятие температуры в статистической механике, а затем свяжем его с экспериментальными реалиями.

Температура является множителем Лагранжа (и должна иметь размерность энергии)

Сначала мы рассмотрим способ статистической механики определения температуры. Дана физическая система с некоторой степенью свободы$X$, обозначают количество возможных различных состояний этой системы, когда$X$принимает значение$x$по символу$\Omega(x)$. Из статистических соображений мы можем показать, что умеренно большие системы сильно склонны находиться в таких состояниях, что$\Omega(x)$максимизируется. Другими словами, найти состояние равновесия$x_\text{eq}$системы, которую вы бы написали

$$\left. \left( \frac{d\Omega}{dx} \right) \right|_{x_\text{eq}} = 0$$ и решить для $x_\text{eq}$. С ним действительно удобнее работать $\ln \Omega$так что мы будем делать это с этого момента.

Теперь предположим, что мы добавляем ограничение, что система имеет определенное количество энергии$E_0$. Обозначим энергию системы, когда$X$имеет значение$x$по$E(x)$. Для того чтобы найти равновесное значение$x_\text{eq}$, теперь нам нужно максимизировать$\ln \Omega$в отношении$x$, но сохраняя ограничение$E(x)=E_0$. Метод множителей Лагранжа — известный математический инструмент, используемый для решения таких задач. Один строит функцию

$$\mathcal{L}(x) \equiv \ln \Omega(x) + t (E_0 - E(x))$$ и сводит к минимуму $\mathcal{L}$в отношении $x$а также $t$. Параметр $t$– множитель Лагранжа; обратите внимание, что он имеет размерность обратной энергии. Состояние $\partial \mathcal{L} / \partial x = 0$приводит к $$t \equiv \frac{\partial \ln \Omega}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial E} \implies t = \frac{\partial \ln \Omega}{\partial E} \, .$$ Теперь вспомним термодинамическое соотношение $$\frac{1}{T} = \frac{\partial S}{\partial E} \, .$$ Поскольку энтропия $S$определяется как _ $S \equiv k_b \ln \Omega$мы видим, что температура на самом деле $$T = \frac{1}{k_b t} \, .$$ Другими словами, то, что мы называем температурой, — это всего лишь (обратный) множитель Лагранжа, который возникает из-за фиксированной энергии, когда вы пытаетесь максимизировать энтропию системы, но умноженной на постоянную величину. $k_b$.

Логически,$k_b$не должен существовать

Если бы не$k_b$тогда температура имела бы размерность энергии! Вы можете видеть из обсуждения выше, что$k_b$это просто дополнительная случайная константа, которая не должна быть там. Энтропию можно было бы определить как безразмерную величину, т.е.$S \equiv \ln \Omega$без$k_b$и все было бы хорошо. Вы заметите в расчетах, что$k_b$а также$T$почти всегда появляются вместе; это не случайно, и это в основном потому, что, как мы сказали,$k_b$это просто фиктивный фактор, который преобразует энергию в температуру.

Но дальше история :(

Люди придумали термодинамику раньше, чем статистическую механику. В частности, у нас были термометры. Люди измеряли «горячесть» вещей, глядя на высоту жидкости в термометре. Высота показаний термометра была определением температуры; никакого отношения к энергии. Энтропия была определена как теплопередача, деленная на температуру. Следовательно, энтропия имеет размерность$[\text{energy}] / [\text{temperature}]$.$^{[a]}$

Мы измерили температуру$T$, давления$P$, объемы$V$и число частиц$N$некоторых газов и обнаружил, что они всегда подчиняются закону идеального газа$^{[b,c]}$

$$P V = N k_b T \, .$$

Этот закон был известен из экспериментов задолго до того, как Больцман понял, что энтропия на самом деле пропорциональна логарифму числа доступных микросостояний, то есть безразмерной величине. Однако, поскольку энтропия уже была определена и имела эти забавные температурные измерения, ему пришлось ввести размерную величину для «обратной совместимости». Он был первым, кто написал

$$S = k_b \ln \Omega$$ и это уравнение настолько важно, что оно на его могиле .

Связь температуры и энергии

На практике довольно сложно измерить температуру и энергию в одной и той же системе на много порядков. Я думаю, что именно по этой причине у нас до сих пор существуют независимые температурные и энергетические стандарты и единицы измерения.

Резюме

• Постоянная Больцмана — это просто преобразование энергии в выдуманное измерение, которое мы называем «температурой». По логике вещей, температура должна иметь размерность энергии, а постоянная Больцмана — просто фиктивная величина, которая преобразуется между ними по историческим причинам. Постоянная Больцмана не имеет никакого физического смысла. Обратите внимание, что значение$k_b$не является реальной проблемой; значения констант зависят от используемой системы единиц. Важно то, что, в отличие от скорости света или массы протона,$k_b$не относится к какой-либо независимой от единиц физической вещи в Природе.

• Температура — это множитель Лангранжа, возникающий из-за наложения фиксированной энергии на проблему максимизации энтропии. Как таковая, она логически имеет измерения энергии.

• постоянная Больцмана$k_b$существует только потому, что люди определили температуру и энтропию до того, как поняли статистическую механику.

• Вы всегда будете видеть$k_b$а также$T$вместе, поскольку единственным логически значимым параметром является$k_b T$, который имеет размерность энергии.

Заметки

$[a]$: Обратите внимание, что если бы температура имела размерность энергии, то по этому определению энтропия была бы безразмерной (как и должно быть).

$[b]$: На самом деле, этот закон изначально был написан как$PV = n R T$куда$n$это число молей вещества и$R$- постоянная идеального газа. Это не очень важно, потому что вы можете сгруппировать число Авогадро с$R$получить$k_b$.$R$а также$k_b$иметь эквивалентный «статус».

$[c]$: еще раз обратите внимание, как$k_b$а также$T$появляться вместе.

Я думаю, что этот вопрос можно интерпретировать несколькими способами. Сформулирую аргумент на примере фазовых переходов.

1. Должна ли существовать температура (или нам действительно нужна другая константа)?:

Нет.

Рассмотрим, что значит иметь фазовый переход. В самых общих чертах мы вводим энергию в систему и приближаемся к критической точке, которая приводит либо к дальнему порядку (газ в твердое тело), ​​либо к беспорядку (твердое тело в газ). Обычно мы определяли эти переходы как происходящие при критической температуре. Однако температура связана с энергией через постоянную Больцмана как

$$E = k_bT$$

Таким образом, мы могли бы также определить энергию перехода вместо температуры, что устранило бы необходимость в постоянной Больцмана. Поэтому я бы сказал, что мы более или менее утверждаем, что можем определить всю вселенную без параметра, подобного температуре, что верно.

2. Можем ли мы переопределить температуру (или исправить нашу шкалу энергии)?

Абсолютно. Однако мы можем сделать это для любой фундаментальной константы, и в Больцмане нет ничего особенного. Это просто тривиальное преобразование единиц измерения.

3. Что произошло бы, если бы отношения между микроскопическим и макроскопическим миром были другими? (или фиксация шкалы энергии И температуры)

В этой интерпретации мы бы зафиксировали наши шкалы температуры и энергии, но изменили бы соотношение между ними. Это означало бы, что количество энергии, необходимой для нагрева или охлаждения, будет разным. Таким образом, мы изменяем количество энергии, необходимой, например, для фазового перехода. Мы все еще могли бы устранить температуру и просто использовать энергию, но количество требуемой энергии было бы принципиально другим.

В заключение

Температура — ненужная переменная, поскольку вся физика может быть просто выражена в терминах энергии. Таким образом, постоянная Больцмана может быть удалена. Однако, если считать температурный и энергетический масштабы фиксированными, изменение постоянной Больцмана равносильно изменению энергии, необходимой для многих физических процессов (т.е. фазовых переходов).

Итак, как мы интерпретируем вопрос?

В первоначальном утверждении вопроса конкретно указывалось, что изменение постоянной Больцмана не повлияет на вселенную. Исходя из этого, я интерпретирую этот вопрос как относящийся к пунктам 2 и 3. Поскольку 2 также относится к любой константе, я думаю, справедливо предположить, что автор имел в виду 3.

Если я ошибаюсь и автор имеет в виду пункт 1, я считаю, что вопрос следует переформулировать.

Возможно, автор думает, что$k_B$на самом деле служит скоростью обмена между единицами, которые мы используем для измерения энергии, и теми, которые мы используем для измерения температуры (которые различаются больше по историческим причинам, чем по чему-либо еще). С этой точки зрения, если мы удвоим$k_B$, это было бы то же самое, что изменить масштаб нашего определения температуры, поэтому то, что мы сейчас называем 100 К, вместо этого считается равным 50 К и так далее. Конечно, как и любое изменение единиц измерения, это ничего не меняет физически.

Это прекрасно, но непонятно, почему автор считает, что изменение значения$c$или другая размерная константа отличается. Единственный тип постоянной, абсолютное значение которой явно имеет значение для Вселенной, — это некоторый безразмерный параметр, такой как постоянная тонкой структуры.$\alpha$или отношение массы протона к массе электрона.

Если вы посмотрите на две формы закона идеального газа,$PV = nRT$а также$PV = Nk_BT$, вы заметите, что$nR = Nk_B$, где единицы условно определены так, что$R$а также$n$являются количествами разумного размера. Это означает, что огромность$N$должен быть аннулирован$k_B$.

Так что я думаю, что ваша цитата на самом деле говорит о том, что вселенная с другим$k_B$означает один с другой шкалой для числа Авогадро, то есть тот, где мы были бы сделаны из в 10 раз больше атомов или в 10 раз меньше. Для нас это не имеет большого значения, потому что в любом случае мы гораздо больше, чем атомные масштабы, а это важно.

Принимая$\mathcal{E}= k_\mathrm{B}T$и делать вид, что постоянная Больцмана является «историческим артефактом», потому что мы не измеряем температуру в «единицах энергии», это все равно, что принимать$E = mc^2$а также$E=\hbar \nu$и притворяться, что скорость света и постоянная Планка также являются артефактами, потому что мы не измеряем массы и частоты в единицах энергии. Физическая природа$c$а также$\hbar$следует из анализа других физических выражений. То же самое происходит с$k_\mathrm{B}$; его физический смысл не может быть получен из$\mathcal{E}= k_\mathrm{B}T$.

Нильс Бор был первым, кто предположил, что$k_\mathrm{B}$была бы роль, похожая на$\hbar$. Он предположил, что температура$T$и энергия$E$были бы дополнительными свойствами в смысле, аналогичном дополнительности$x$а также$p$в квантовой теории. Он был частично неправ, потому что дополнительная величина для энергии не$T$, а обратная температура$1/T$, но Бор предположил, что аналогия с квантовой механикой полна, как показали последующие авторы:

• Постоянная Больцмана играет роль «кванта» термодинамического действия.
• Постоянная Больцмана появляется в термодинамических правилах «квантования» для обратной температуры и остальных интенсивных параметров.$Y$ $$\delta (1/T) = k_\mathrm{B} \frac{\partial}{\partial E}, \qquad \delta Y = k_\mathrm{B} \frac{\partial}{\partial \Theta}$$

• Постоянная Больцмана появляется в термодинамических коммутаторах, которые дают термодинамические соотношения неопределенностей

  $$\Delta (1/T) \Delta E \ge k_\mathrm{B}, \qquad \Delta Y \Delta \Theta \ge k_\mathrm{B}.$$

  Приведенные выше выражения и другие, такие как неравенства Шварца или коммутаторы для тепловых величин, можно найти в разделе «7.5.2 Термодинамическая дополнительность» книги Byung Chan Eu « Неравновесная статистическая механика » (Kluwer, 1998).

Ответ DanielSank на 100% верен в отношении температуры. Этот вопрос заслуживает гораздо большей аргументации, потому что книга, которую вы используете, и многие другие явно неверны. Я буду использовать числа и законы физики, чтобы показать свою точку зрения: это неправда, что

Если бы масса электрона, постоянная Планка, скорость света или масса протона хотя бы немного отличались (меньше или больше) от того, что они есть на самом деле, то вся Вселенная не существовала бы в том виде, в каком мы ее знаем. Может быть, мы все не существовали бы.

Я укреплю различие между «количеством», которое нужно измерить, и ценностью меры. Как пример: размер моего двора не изменится, если измерять его в ярдах или в метрах.
Все системы единиц выводятся из размеров атомов и пропорциональны им , даже те, в которых несколько единиц задаются равными .$1$. Другими словами: нет независимых ссылок. В определениях единиц есть петля: например, единица массы -$kg$— это масса группы атомов (например, N), представленная в прототипе в Париже, а масса электрона — определенная часть этой массы.

Представьте себе Вселенную, где по сравнению с нашей частицы имеют вдвое меньшую массу и заряд, радиусы атомов уменьшены вдвое, а постоянные поля ($c, \varepsilon,G$) подобные; как бы обитатель такой вселенной описал бы это?
Поскольку единицы массы, заряда, длины и времени составляют половину наших (используя те же определения единиц), значения констант поля в этой «половине вселенной» такие же, как и у нас. Значения массы, заряда или размера тел, измеренные в каждом мире соответствующим наблюдателем, одинаковы (по определению стандартных единиц). Гравитационное ускорение Земли удваивается (половина массы, половина радиуса, то же G); правда, единица измерения тоже удвоена ($LT^{-1}$), поэтому измеренное значение будет таким же. Какова бы ни была величина, все значения величины такие же, как у нас, за исключением одного: расстояние между телами, не связанными гравитацией, удваивается, потому что единица длины уменьшается вдвое, и на это расстояние не влияет тот факт, что материя имеет вдвое меньший размер.
Теперь рассмотрим, что происходит со спектральным излучением. Атомы в «полувселенной» имеют половинный размер — боровский радиус уменьшен вдвое — как и характеристики частиц, а именно связанные с ними длина волны и энергия. Спектральные излучения имеют половину длины волны и половину энергии, потому что только таким образом преобразование может быть автомодельным, т. е. инвариантным в стандартных единицах. Это означает, что постоянная Планка в четыре раза больше нашей. Конечно, его значение в стандартных единицах «половины вселенной» такое же, как у нас, потому что эта единица тоже в четыре раза больше нашей. Локальные константы, чтобы иметь одинаковое значение для наблюдателей каждой вселенной, должны быть разными — в соответствии с их размерными функциями. Отличаются при измерении в одних и тех же единицах, но равны при измерении в единицах их собственной вселенной.
Теперь мы можем сделать еще один шаг и рассмотреть, что в этой концептуальной вселенной материя (каждая частица) уменьшается в размере, массе и заряде по сравнению с нашей вселенной. Житель концептуальной вселенной может обнаружить красное смещение в излучении от удаленных источников, потому что излучение испускается, когда атомы были больше (следовательно, излучение испускается с пропорционально большими длинами волн). Поскольку это единственное локально обнаруживаемое следствие изменения материи, такой обитатель заключает, что материя инвариантна, константы поля инвариантны, а пространство демонстрирует однородное и изотропное расширение - как мы наблюдаем. Этот результат показывает, что космические наблюдения могут проследить самоподобную эволюцию отношений материи и пространства, которая проявляется как расширение пространства в стандартных единицах.

Подставляя числа, мы видим, что Электромагнетизм, Гравитация и Механика инвариантны относительно синхронного изменения единиц, то есть атомных «размеров»:

Единицы половинного заряда и длины: закон силы Кулона -$F_c=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Q_1}{2}\frac{Q_2}{2}(\frac{2}{d})^{2}$
Половина массы: Закон всемирного тяготения.$F_g=G\frac{M_1}{2}\frac{M_2}{2}(\frac{2}{d})^{2}$
Единицы длины и времени, разделенные пополам: 2-й закон Ньютона.$F=M\cdot \frac{d(\frac{x}{2})^2}{d(\frac{t}{2})^2}$

Энергетические уровни атомных спектров: ( соотношение Зоммерфельда )$E_{j,n}=−m_e∗f(j,n,\alpha,c)$будет синее смещение, если масса электрона уменьшится вдвое, но сохранить все массы пропорциональными, например$\frac{m_e}{m_p}$. И наоборот, если атомы в прошлом были крупнее атомов вокруг, то прошлое излучение, как мы видим, смещено в красную сторону.

(модель была представлена ​​здесь (arxiv) с формальным доказательством здесь (vixra pdf) и готовится новая версия)

Примечание: я не вижу причин говорить что-либо о жизнеспособности более быстрой Вселенной (большой$c$знак равно$\frac{1}{\sqrt{\varepsilon\mu}}$) без надлежащего изучения

Большую часть времени я считаю (как и большинство людей здесь), что постоянная Больцмана — это «просто» произвольный коэффициент преобразования единиц (температура$\Leftrightarrow$энергии), и что мы могли бы избавиться от него. Это не фундаментальная константа, навязанная природой.

Однако, когда я больше думаю об этом, у меня часто возникают сомнения. Вот мое - неуверенное - мнение, что$k_{\mathrm{B}}$на самом деле может быть очень глубокой фундаментальной константой, например$\hbar$а также$c$(которые сами по себе не являются простыми коэффициентами преобразования единиц измерения, как я попытаюсь показать ниже).

Мы определяем статистическую энтропию как это (конечно,$p_n$вероятности, но я не буду подробно останавливаться на этом):

$$\begin{equation}\tag{1} S_{\text{stat}} = - k \sum_n p_n \ln{p_n}, \end{equation}$$ куда$k$— произвольная положительная константа с любыми единицами. Было бы проще просто использовать$k \equiv 1$ по определению (без какой-либо единицы), или выбрать$k = 1/\ln{2}$в единицах «битов», чтобы установить контакт с теорией информации Шеннона. По определению (1) это не то, что мы можем реально измерить в лаборатории.

Но затем, когда мы хотим установить связь между этой величиной и вещами, которые мы можем измерить в лаборатории, используя макроскопические тела , мы должны ввести константу связи , которая утверждает, что:

Извлечение информации из макроскопической системы требует затрат энергии.

Эта стоимость обусловлена ​​природой. Это означает, что константа связи между измеримой величиной (например, энергией) и неизмеримой статистической энтропией (1) не равна 0. Постоянная Больцмана является мерой этой стоимости .

В этом контексте естественно установить$k \equiv k_{\mathrm{B}}$, поэтому константа связи входит в определение статистической энтропии (которую можно было бы отождествить с термодинамической энтропией , т. е. с той, которая появляется в эмпирических/физических соотношениях). Его небольшое значение в человеческих единицах ($k_{\mathrm{B}} \sim 10^{-23} \, \mathrm{J/K}$) является проявлением эмпирического факта, что информация в нашей вселенной дешева. Люди могут получить много информации о Природе, выполняя меры, которые не отнимают у них много энергии, иначе они умрут (цена низкая).

В принципе, мы могли бы представить себе гипотетическую вселенную, в которой извлечение информации чрезвычайно болезненно. Тогда цена будет очень высока$k_{\mathrm{B}} \sim 10^{12} \, \mathrm{J/K}$в этой вселенной (с использованием тех же единиц измерения, что и в нашей вселенной, которые на самом деле могут не иметь никакого значения!). Мы могли бы определить другую вселенную, в которой стоимость бесконечна:$k_{\mathrm{B}} \rightarrow \infty$. Наблюдатели не могли получить никакой информации ни по каким параметрам в своей лаборатории. В этой вселенной жизнь была бы невозможна. С другой стороны, мы могли бы представить себе другую вселенную, в которой информация абсолютно бесплатна:$k_{\mathrm{B}} \rightarrow 0$. В этом случае любая крошечная мера могла бы принести много информации, и жизнь была бы легкой (на самом деле, слишком легкой. Жизнь, вероятно, уничтожила бы себя из-за перенаселения, поскольку живые организмы могут быть бессмертными!).

Как только вы получите$k_{\mathrm{B}} \ne 0$, вы можете ввести систему единиц, которая дает$k_{\mathrm{B}} = 1$. «Произвольный» выбор$k_{\mathrm{B}} \sim 10^{-23} \, \mathrm{J/K}$это способ указать наш размер (масштаб) в нашей вселенной .

Я считаю, что есть что-то подобное с другими константами Природы, которые обычно интерпретируются как простые коэффициенты преобразования единиц , например$\hbar \sim 10^{- 34} \, \mathrm{J \cdot s}$(единица действия ) и$c^{-1} \sim 10^{- 9} \, \mathrm{s / m}$(единица времени в пространстве-времени).

Важно отметить не конкретное (маленькое) значение этих констант (которые зависят от нашего масштаба во вселенной), а тот факт, что в нашей вселенной они не равны 0 . Наша Вселенная — это не просто ньютоновский мир, для которого$k_{\mathrm{B}} = 0$,$\hbar = 0$а также$c^{-1} = 0$. С этой точки зрения постоянная Больцмана не просто произвольна: это фундаментальное свойство нашего очень большого и сложного неньютоновского мира, и то, что живые существа определяют особый масштаб, единственный, на котором возможна Жизнь.