Электрическое поле, создаваемое однородно заряженной КОНЕЧНОЙ прямоугольной пластиной

Question

Электрическое поле, создаваемое однородно заряженной КОНЕЧНОЙ прямоугольной пластиной

Бес

Я учил детей тому, как найти электрическое поле, используя принцип суперпозиции для непрерывных распределений заряда. Я подумал, может быть, мне следует вывести формулу для электрического поля из-за конечного прямоугольного слоя заряда на поверхности. $S$ , где

С "=" {(Икс, у, г) е р^{3} ∣ - а / 2 < Икс < + а / 2; - б / 2 < у < + б / 2; г "=" 0} .

$S = \left\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^3 \mid -a/2< x < +a/2; -b/2< y < +b/2 ; z = 0 \right\} .$ Однако я застрял на следующей интеграции.

Е (0, 0, р) "=" \frac{о р}{4 π ϵ_{о}} \int_{Икс "=" - а / 2}^{Икс "=" + а / 2} \int_{у "=" - б / 2}^{у "=" + б / 2} \frac{г Икс г у}{({Икс}^{2} + у^{2} + р^{2})^{3 / 2}},

$E(0,0,r) = \frac{\sigma r}{4\pi\epsilon_o} \int_{x=-a/2}^{x=+a/2}\int_{y=-b/2}^{y=+b/2} \frac{dx dy}{(x^2+y^2+r^2)^{3/2}},$ где

σ

$\sigma$ - поверхностная плотность заряда.

Примечание. Эту интеграцию можно выполнить, если $a$ или $b$ или оба очень большие, т.е. $\infty$ в этом случае мы получаем обычный результат $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_o}$

Итак, мой вопрос: можно ли вычислить этот интеграл? Если нет, то какой метод я бы использовал, чтобы найти электрическое поле в этом случае. Также было бы здорово, если бы кто-нибудь мог прокомментировать, как найти электрическое поле, непосредственно решая уравнение Пуассона.

Следовательно, если мы возьмем случай конечного диска, результатом интегрирования будет следующее.

Е "=" \frac{о р}{2 ϵ_{о}} \int_{ξ "=" 0}^{ξ "=" р} \frac{ξ г ξ}{(ξ^{2} + р^{2})^{3 / 2}}

$E = \frac{\sigma r}{2\epsilon_o} \int_{\xi=0}^{\xi=R} \frac{\xi d\xi}{(\xi^2+r^2)^{3/2}}$

который можно решить как

Е "=" \frac{о}{2 ϵ_{о}} (1 - \frac{р}{\sqrt{р^{2} + р^{2}}})

$E = \frac{\sigma}{2\epsilon_o} \left(1- \frac{r}{\sqrt{r^2+R^2}}\right)$

Теперь, принимая предел $R \rightarrow \infty$ мы можем показать, что $E \rightarrow \frac{\sigma}{2\epsilon_o}$ .

Ответы (4)

Электрическое поле, создаваемое однородно заряженной КОНЕЧНОЙ прямоугольной пластиной

Хавьер · Answer 1

Интегралы сложны, но не невозможны, если только я не ошибся с WolframAlpha. Результат:

Е "=" \frac{о}{π ϵ_{0}} арктический (\frac{а б}{4 р \sqrt{(а / 2)^{2} + (б / 2)^{2} + р^{2}}})

$E = \frac{\sigma}{\pi \epsilon_0} \arctan\left( \frac{ab}{4r\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2+r^2}} \right)$

Когда $a,b \to \infty$ весь арктангенс идет к $\pi/2$ и мы выздоравливаем $E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$ , что, безусловно, обнадеживает.

И я не знаю, что вы подразумеваете под «непосредственным решением уравнения Пуассона». Насколько я знаю, обычно это делается с помощью функций Грина, т. е. этого интеграла.

Огромное спасибо. Я понял, что эта интеграция на самом деле решаема, и это также очень просто. еще раз спасибо.
@The Imp это было давно, но не могли бы вы дать краткое описание того, как в итоге была выполнена интеграция? На данный момент кажется, что есть несколько разных методов, плавающих в других ответах на ваш первоначальный вопрос.
@Javier Хавьер, вы должны были указать этапы расчета

Раджа Асивал · Answer 2

изначально поставил $x^2 + r^2 = p^2$

затем $y = p(\tan(A))$

решить его, это будет с точки зрения с точки зрения $x$ . и заменить $\frac{r(\tan(B))}{b} = \frac{x}{\sqrt{4x^2 + 4r^2 + b^2}}$ решите это, вы получите ответ легко.

Привет, добро пожаловать в Physics SE! Пожалуйста, не публикуйте формулы в виде картинок или обычного текста, а вместо этого используйте MathJax. MathJax легко читается людьми на всех устройствах и может отображаться более четко на экранах разных размеров и разрешений. Я отредактировал его здесь в качестве примера. Посмотрите этот мета-пост Math SE для краткого руководства.

Прутви · Answer 3

На самом деле этот интеграл можно решить методом полярных подстановок. x=rcos(A) и y=rsin(A), где r — расстояние, а A — угол в полярной плоскости. Вы можете найти более подробную информацию в исчислении Томаса. Не забудьте правильно подставить пределы и умножить интеграл на якобиан, который в данном случае равен r. Надеюсь, этот ответ помог вам.

Вы понимаете, что интегрирование идет по квадрату? Полярные координаты сделали бы этот путь более трудным, чем он должен быть. Также обратите внимание, что в случае с диском OP использовал полярные координаты и смог выполнить расчет. И, наконец, почему так много людей отвечают на многолетние вопросы, на которые уже есть прекрасные и общепринятые ответы?

Али Мох · Answer 4

Этот интеграл не может быть решен в терминах элементарных функций. Вы можете легко сделать расширение в $\frac{1}{r}$ в подынтегральном выражении после выполнения одного из интегрирований, затем, выполняя второй интеграл после расширения, вы получаете

\frac{а б}{р^{2}} (1 - \frac{а^{2} + б^{2}}{12 р^{2}} + О (\frac{1}{р^{4}}))

$\frac{ab}{r^2}\left(1 - \frac{a^2+b^2}{12 r^2} + \mathcal{O}\left( \frac{1}{r^4}\right)\right)$ Если вы хотите решить уравнение Пуассона, вы должны использовать метод функции Грина, потому что у вас есть распределение заряда (в отличие от того, когда у вас есть только уравнение Лапласа с граничными условиями, и вы можете просто использовать разделение переменных), это вернет вас обратно к этот интеграл.

Примечание: этот ряд сходится, если вас интересует регион. $r>\text{max }\left(a,b \right)$

Примечание: это в основном мультипольное разложение, где первый член — вклад монополя, второй — квадруполь и т. д. (все нечетные мультиполи исчезают из-за симметрии)

Электрическое поле, создаваемое однородно заряженной КОНЕЧНОЙ прямоугольной пластиной

Бес

Ответы (4)

Хавьер

Бес

Л. Мейнард

Омойгаусс

Раджа Асивал

пользователь191954

Прутви

Нуаралеф

Али Мох

Где ошибка в этом расчете потока? [закрыто]

Электрическое поле однородно заряженной сферы с полостью [закрыто]

Как применить закон Гаусса к коаксиальным проводящим цилиндрам?

Электрическое поле в космосе, создаваемое пересечением заряженных сфер [закрыто]

Путаница с компонентом объема в законе Гаусса для цилиндра

Электрическое поле однородно заряженного тетраэдра

Электрические поля

Смоделируйте / постройте электростатическое поле

Сила точечного заряда на идеальном диполе

Использование метода зарядов изображения для нахождения электрического поля