Являются ли атомы неустойчивыми в пространственных измерениях d≥4d≥4d\geq 4 с учетом квантовой механики?

Прежде всего отметим, что разные авторы расходятся во мнениях относительно того, каким должен быть кулоновский потенциал.$V$в$d$пространственный$^1$размеры. Будем считать, что он удовлетворяет закону Гаусса, т.е.

Здесь мы обсудим только квантово-механический атом водорода с$d\geq 3$. Нормируем гамильтониан как

Подробное обсуждение неограниченных операторов , доменов и самосопряженных расширений и т. д . см., например, в Ref. 1 и ссылки в нем. Подведем итоги:

• Атом водорода в трех пространственных измерениях$d=3$стабилен и имеет связанные состояния.

• Четыре пространственных измерения$d=4$представляет собой интересный пограничный случай, когда кулоновский потенциал и центробежный потенциал совпадают.$1/r^2$поведение. Если мы определим безразмерную константу

  $$Z~:=~\frac{2me_{d=4}^2}{\hbar^2},\tag{3}$$ тогда есть три случая, ср. например , этот пост Phys.SE:

  1. $Z\leq 0$: Гамильтониан (2) не имеет связанных состояний, т.е. атом водорода ионизирован.

  2. $Z>1$: Гамильтониан (2) не ограничен снизу, т.е. атом водорода нестабилен.

  3. $0<Z\leq 1$: можно определить асимптотические граничные условия (ABC) при$r=0$/ самосопряженные расширения гамильтониана такие, что спектр ограничен снизу. Некоторые из этих расширений имеют связанные состояния, другие — нет.

• В более чем четырех пространственных измерениях$d>4$, атом водорода нестабилен. Грубо говоря, для$d>4$кулоновский потенциал (1) доминирует над$1/r^2$центробежный потенциал при достаточно малом радиусе$r$близко к ядру. Неустойчивость может быть строго доказана, например, с помощью вариационного метода , ср . следующую теорему.

  Теорема. Привлекательный сингулярный степенной потенциал

  $$V(r)~\propto~ -r^{-n}, \qquad n~>~2,\tag{4}$$ имеет неограниченный снизу спектр, т. е. не имеет основного состояния и неустойчив.

  Доказательство теоремы: рассмотрим нормализованную гауссову тестовую/пробную волновую функцию .

  $$\begin{align}\psi(r)~=~&Ne^{-\frac{r^2}{2L^2}} ~=~Ne^{-\frac{x^2+y^2+z^2}{2L^2}}, \cr \int d^dr~|\psi(r)|^2 ~=~&\langle\psi|\psi \rangle~=~1,\end{align}\tag{5}$$ где$N,L>0$две константы. По размерным соображениям постоянная$L$должна иметь размерность длины, а константа нормализации$N$должен масштабироваться как $$N ~\propto~ L^{-\frac{d}{2}}.\tag{6}$$ Ожидаемое значение$\langle\psi| K|\psi \rangle$оператора кинетической энергии$K=-\frac{\hbar^2}{2m}\Delta$должен масштабироваться как $$0~\leq~\langle\psi| K|\psi \rangle ~\propto~ L^{-2},\tag{7}$$ в основном потому, что лапласиан$\Delta=\vec{\nabla}^2$содержит две позиционные производные. Ожидаемое значение$\langle\psi| V|\psi \rangle$потенциала (4) должен масштабироваться как $$0~\geq~\langle\psi|V|\psi \rangle ~\propto~ - L^{-n}\tag{8}$$ по аналогичным причинам. Таким образом, выбрав$L\to 0^{+}$все меньше и меньше, отрицательная потенциальная энергия$\langle\psi| V|\psi \rangle\leq 0$превосходит положительную кинетическую энергию$\langle\psi| K|\psi \rangle\geq 0$, так что средняя энергия$\langle\psi| H|\psi \rangle$становится все более негативным, $$\begin{align} \langle\psi| H|\psi \rangle ~=~&\langle\psi| K|\psi \rangle + \langle\psi| V|\psi \rangle\cr ~\to~& -\infty \quad\text{for}\quad L\to 0^{+}.\end{align} \tag{9}$$ Следовательно, спектр не ограничен снизу.$\Box$

Использованная литература:

1. М. Бурес и П. Сигл, Анналы физики 354 (2015) 316 , arXiv: 1409.8530 .

--

$^1$Можно показать, что для небольших компактных размеров, намного меньших, чем характерный размер атома водорода (как предсказывает, например , теория струн ), такие размеры усредняются и могут фактически не ощущаться атомом водорода. Другими словами, эффективно нужно рассматривать только большие пространственные измерения.$\cong \mathbb{R}^d$.