Что делает с гамильтонианом HHH симметрия, которая заменяет лагранжиан полной производной?

И) Отказ от ответственности. Как пурист, я не одобряю обычную практику называть смысл

$$\tag{1} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0 \qquad\Rightarrow\qquad \frac{dQ}{dt}~\approx~0.$$ о «гамильтоновой версии теоремы Нётер» см. мои ответы Phys.SE здесь и здесь . Моя причина в том, что импликация (1) — это просто тривиальное следствие уравнений Гамильтона, не более того.

II) Вместо этого «гамильтонова версия теоремы Нётер» должна относиться к квазисимметриям гамильтонова действия.

$$S_H[q,p] ~:=~ \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t), \tag{2}$$ и соответствующие им законы сохранения. Здесь$L_H$является так называемым гамильтоновым лагранжианом $$L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{3}$$

III) Это недоразумение, что вся эта суета вокруг полных производных [...] исчезает в гамильтоновой структуре. Гамильтонова версия позволяет гамильтонову действию быть инвариантным только до граничных членов (т. е. так называемой квазисимметрии ), как и в стандартной лагранжевой формулировке теоремы Нётер . См. также соответствующий пост Phys.SE.

Я полагаю, что нашел «ответ» на свой очень расплывчатый вопрос, хотя другие ответы здесь также полезны. «Гамильтоновский лагранжиан» — это

$$L = p_i \dot q_i - H.$$ Скажем, у нас есть сохраняющийся заряд$Q$, то есть $$\{Q, H\} = 0.$$ Если мы сделаем крошечное изменение симметрии $$\delta q_i = \frac{\partial Q}{\partial p_i} \hspace{1cm} \delta p_i = - \frac{\partial Q}{\partial q_i}$$ затем $$\begin{align*} \delta L &= - \frac{\partial Q}{\partial q_i} \dot q_i - p_i \frac{d}{dt} \Big( \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) + \{ H, Q\} \\ &= - \frac{\partial Q}{\partial p_i} \dot q_i - \dot p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} + \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} \Big) \\ &= \frac{d}{dt} \Big( p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q\Big) \end{align*}$$

Итак, мы можем видеть, что$L$обязательно меняется на полную производную. Когда количество$p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i} - Q = 0$, полная производная равна$0$. Это происходит, когда сохраняемая величина имеет вид

$$Q = p_i f_i(q).$$ Обратите внимание, что в приведенном выше случае $$\delta q_i = f_i(q)$$ То есть преобразования симметрии, которые не «перепутывают»$p$с$q$не имеют полного производного члена в$\delta L$.

Причина, по которой мы не говорим об «замене гамильтониана полной производной», заключается в том, что симметрии и законы сохранения обычно обрабатываются в гамильтоновой картине по-разному.

В гамильтоновой механике любая функция$f$на фазовом пространстве порождает поток на фазовом пространстве, т.е. однопараметрическое семейство канонических преобразований$(q, p) \to (\tilde{q}(\alpha), \tilde{p}(\alpha))$. Индуцированная скорость изменения любой другой функции фазового пространства$g$является

$$\frac{dg}{d\alpha} = \{g, f\}.$$ В частности, сам гамильтониан порождает перенос времени, $$\frac{dg}{dt} = \{g, H\}.$$ Заявление о том, что$Q(q, p)$это сохраняющаяся величина просто $$\{Q, H\} = 0.$$ То есть временная эволюция, порожденная$H$не изменяет значение$Q$. Суть в том, что в силу антисимметрии скобки Пуассона это эквивалентно$\{H, Q\} = 0$, в котором говорится, что канонические преобразования, порожденные$Q$не меняйте значения$H$.

Таким образом, при заданном бесконечно малом каноническом преобразовании, сохраняющем$H$то же, его образующая является сохраняющейся величиной. Это самая близкая к теореме Нётер вещь, которую вы обычно видите в гамильтоновой механике. Поскольку речь идет только$H$, а не интеграл от$H$, о сохранении говорить не приходится$H$инвариантным с точностью до полной производной — он просто должен быть инвариантным, и точка. (Но также см. ответ Qmechanic о формулировке, похожей на действие, где она появляется.)