Коприсоединенные орбиты в физике

Хотя группы и их представления уже применялись к квантовой механике почти с момента зарождения квантовой теории, их центральная роль была признана во всей ее важности Юджином Вигнером. Его работы по кристаллографии, атомным и молекулярным спектрам, теории относительности (унитарные представления группы Пуанкаре) привели его к осознанию большого значения групп и их представлений в квантовой механике.

После его новаторской работы над представлениями групп Пуанкаре большая часть его работ была тесно связана с группами и их представлениями. Уже в своей работе о представлениях группы Пуанкаре он ввел метод индуцированных представлений. Он понял, что симметрия Галилея реализуется как проективное (лучевое) представление волновых функций Шрёдингера. Также вместе с Инёну он представил теорию групповых сокращений (и их представлений). Многие люди считают квантование и групповые представления двумя сторонами одной и той же проблемы.

Я включил это длинное введение о Вигнере, хотя сам Вигнер (насколько мне известно) никогда не работал над коприсоединенными орбитами. Но вся его важная работа (которая фактически охватывала все основные области квантовой физики) тесно связана с коприсоединенными орбитами. На самом деле коприсоединенные орбиты могут служить объединяющим принципом всех, казалось бы, отдельных моделей, над которыми работал Вигнер: вигнеровская классификация представлений группы Пуанкаре на самом деле является классификацией коприсоединенных орбит Пуанкаре и их квантования, см., например, следующую работу: Кариньена, Грасия-Бондиа, Лиззи, Мармо и Витале. Кроме того, проективные представления, с которыми имел дело Вигнер, естественно появляются в картине коприсоединенной орбиты, поскольку, например, целочисленная коприсоединенная орбита является гладким проективным многообразием (см., например, следующую статью : Schlichenmaier. Кроме того, представления в Inönu -Вигнеровские сокращения также (по крайней мере частично) связаны с квантованием коприсоединенных орбит, см. следующие две статьи Бенджамина Каэна.

Хотя они появляются в других контекстах в физике, коприсоединенные орбиты можно рассматривать как классические фазовые пространства, соответствующие внутренним степеням свободы квантовых частиц, таким как спин, аромат, цвет и т. д. Эта картина позволяет рассматривать поступательные степени свободы, чья соответствующие фазовые пространства являются кокасательными расслоениями и внутренними степенями свободы на той же основе. Одним из важных приложений, в котором обе степени свободы сосуществуют и взаимодействуют, являются уравнения Вонга, которые обобщают уравнение Лоренца для частицы с неабелевым зарядом, таким как цвет:

$$\frac{dx^i}{dt} = p^i$$

$$\frac{dp^i}{dt} = F^a_{ij}(x)T_a(y)p^i$$

$$\frac{dT_a}{dt} = -f^c_{ab}A^b_j(x)T_c(y)$$

Где$A^b_j$векторный потенциал Янга-Миллса$F^a_{ij}$соответствующая напряженность поля,$x^i$и$p ^i$, координаты положения и импульса$T_a(y)$— функции Гамильтона на коприсоединенных орбитах, представляющие неабелевы заряды, и$f^c_{ab}$структурные константы и$y$координаты на коприсоединенных орбитах. Для более глубокого обсуждения см. следующий тезис Райнера Глейзера.

Квантование коприсоединенных орбит приводит к унитарным представлениям соответствующих групп. Представления обычно реализуются как воспроизводящие ядерные гильбертовы пространства сечений линейных расслоений. Эти представления реализованы как когерентное представление состояния (см., например, следующую статью : Бойя, Переломов и Сантандер), что делает их особенно подходящими для квазиклассического анализа. (см. еще раз тезис Райнера Глейзера).

Все коприсоединенные орбиты компактных полупростых групп Ли и некоторые коприсоединенные орбиты некомпактных групп кэлеровы. Квантование этих орбит может быть достигнуто с помощью квантования Березина Теплица, см. следующий обзор Шлихенмайера. Кроме того, келеровость и однородность делает эти коприсоединенные орбиты доступными для явной работы. См. также следующую статью Бернацкой и Холода, где приведены примеры фактической явной работы над полупростыми коприсоединенными орбитами. Важно отметить, что для возможности квантования компактной коприсоединенной орбиты она должна быть целочисленной, т. е. должен быть проквантован поток ее симплектической формы через 2-циклы. Это условие квантования Дирака.

Самая элементарная коприсоединенная орбита — двусферная. Его квантование приводит к теории спинового углового момента, см., например, оригинальную работу Березина. Спиновые системы, составляющие важные модели теории магнетизма, можно изучать, используя обобщения этих идей. См., например, следующую статью : Bykov.

Представления, связанные с интегральными коприсоединенными орбитами, могут быть получены как нулевые моды задачи Ландау о движении частицы по коприсоединенной орбите в магнитном поле, равной симплектической форме. Гильбертово пространство квантования получается как (вырожденное) пространство низшего уровня Ландау. См., например, следующие конспекты лекций .

Существует важное дальнейшее приложение к теориям типа Янга-Миллса и Черна-Саймонса, называемое неабелевой теоремой Стокса, в которой петля Вильсона может быть выражена как интеграл по путям Фейнмана по петлям на коприсоединенной орбите, который может быть задан эвристически как:

$$tr_{\mathcal{H}}T\{exp(i\oint A^{a}(t) T_a)\}= \mathrm{lim}_{m\rightarrow \infty}\int exp\big (i\int _0^T \alpha^{\mathcal{H}}_i\dot{z}^i - \bar{\alpha}^{\mathcal{H}}_i \dot{\bar{z}}^i + \frac{m}{2}g_{i\bar{j}}\dot{z}^i \dot{\bar{z}}^j+A^{a} (t)T^{\mathcal{H}}_a(z, \bar{z})\big) \mathcal{D}z\mathcal{D}\bar{z}$$

Где$\alpha^{\mathcal{H}}$является симплектическим потенциалом коприсоединенной орбиты, соответствующей представлению$\mathcal{H}$(через теорему Бореля-Вейля-Ботта). Символ$T_a$используется для элемента алгебры Ли в петле Вильсона, а также для соответствующей функции Гамильтона внутри континуального интеграла.$z$– координаты коприсоединенной орбиты. Действие описывает частицу в магнитном поле, которое имеет распределенную плотность заряда как функцию Гамильтона. Предел$m\rightarrow \infty$предполагается, что низший уровень Ландау доминирует над интегралом по траекториям. Это представление использовалось для вставки петель Вильсона в интегралы по путям КХД (при изучении конфайнмента), а также для вставки петель Вильсона в теорию Чера-Саймонса, приводящую к полиномам Джонса.

Существуют явно известные классификации некоторых случаев бесконечномерных коприсоединенных орбит, в основном относящихся к теории струн. Полная классификация копрджентных орбоитов группы диффеоморфизмов окружности, сохраняющей ориентацию$Diff^{+}(S^1)$даны: Цзялин и Пикрелл . Также известна классификация коприсоединенных орбит групп петель, см. следующие конспекты лекций Хесина и Вендта.

Коприсоединенные орбиты появляются во многих других областях и приложениях физики. Приложения, упомянутые выше, могут быть наиболее известными с моей точки зрения.

Петля Вильсона, наблюдаемая внутри трехмерной калибровочной теории поля Черна-Саймонса , сама тайно является квантованием одномерной теории поля в терминах коприсоединенных орбит .

На это, возможно, все еще удивительно звучащее утверждение намекали уже на с. 22 основных

• Эдвард Виттен, Квантовая теория поля и общность полиномов Джонса. Мат. физ. 121 (3) (1989) 351–399. MR0990772 ( проект ЕВКЛИД )

  Подробное обсуждение того, как это работает, находится в разделе 4

• Крис Бизли, Локализация петель Уилсона в теории Черна-Саймонса, в книге Дж. Андерсен, Х. Боден, А. Хан и Б. Химпель (ред.) Калибровочная теория Черна-Саймонса: 20 лет спустя, , Исследования AMS/IP в Доп. Матем., Том. 50, AMS, Провиденс, Род-Айленд, 2011 г. ( arXiv:0911.2687 )

следующий

• С. Элицур, Грег Мур, А. Швиммер и Натан Зайберг, Замечания о каноническом квантовании теории Черна-Саймонса-Виттена, Nucl. физ. В 326 (1989) 108–134.

Идея указана на nLab здесь .

Как также обсуждалось там , утверждение, что существует коприсоединенная орбита 1d квантовой теории поля как бы «внутри» 3d теории Черна-Саймонса, имеет хорошую интерпретацию с точки зрения расширенной квантовой теории поля . Это мы обсуждали в разделе 3.4.5

• Доменико Фиоренца, Хишам Сати, Урс Шрайбер, Высший многоуровневый взгляд на теорию Черна-Саймонса , в Damien Calaque et al. (ред.) Математические аспекты квантовых теорий поля, Исследования математической физики, Springer 2014 ( arXiv:1301.2580 )

Таким образом, учитывая вездесущность теории Черна-Саймонса в КТП и тот факт, что многое из интересного в ней закодировано в ее наблюдаемых петлях Вильсона, это означает, что квантование коприсоединенных орбит играет столь же важную роль. Например, учитывая, что вся рациональная двумерная конформная теория поля двойственно закодирована с помощью теоремы ФРП трехмерной теорией Черна-Саймонса таким образом, что вставки поля КТП отображаются в петли Ч.С. Уилсона, это означает, что квантованные коприсоединенные орбиты находятся на работать за кулисами в большей части 2d CFT.

Я могу добавить несколько недавних работ, в которых используются коприсоединенные орбиты, чтобы лучше понять пространство решений гравитации 2+1. С космологической постоянной вы получаете коприсоединенные орбиты группы Вирасоро, а без космологической постоянной вы получаете BMS.$_3$коприсоединенные орбиты. Это симметрии пространств решений соответствующих гравитационных теорий. Работы, о которых я говорю, это (перечислить несколько):

• архив: 1403.3835, архив: 1403.5803, архив: 1502.00010, архив: 1502.03108
• архив: 1403.3367

Первая строка — о плоском пространстве, вторая — о случае с отрицательной космологической постоянной (моя работа с М. Лестоном). В физике должно быть больше работ, использующих коприсоединенные орбиты, но это те, о которых я знаю и которые появились недавно.

Я собираюсь рискнуть, что кто-то еще возразит мне. Мой краткий ответ

нет .

В физике больше нет приложений ко-сопряженных орбит. Тема сосопряженных орбит принадлежит математической физике, которая не является настоящей физикой.

Работа, начатая Сурио и Костантом по геометрическому квантованию (я должен также упомянуть Мишель Вернь и ее учеников), посвящена квантованию, то есть тому, как создать квантово-механическую систему из данной классической системы. Это было интересно еще в 30-х годах, но больше не имеет никакого смысла. Что сейчас представляет интерес, так это квантовые системы, которые не имеют классического аналога и поэтому вообще не могут быть получены с помощью квантования.

Тем не менее, я буду есть свои слова, если кто-то покажет мне правдоподобный путь от соприлегающих орбит к совершенно новой квантовой теории поля, которая не нуждается в перенормировке. Я не слышал ни о чем подобном, но если бы существовала такая невозможная вещь, это могло бы быть интересно.