Представления группы Лоренца в произвольном числе пространственно-временных измерений...

Позволять С О ( 1 , г − 1 ) ↑ быть связной группой Лоренца в г Габаритные размеры. Я ищу книгу/статью, где подробно изучаются его конечномерные проективные представления. Удивительно, но я не смог ничего найти в Интернете, так что я здесь.

Вот некоторые темы, которые я хотел бы обсудить в ссылках:

  1. Соответствует ли какое-либо проективное представление регулярному представлению спиновой группы С п я н ( 1 , г − 1 ) ?

  2. Является ли любое проективное представление разложимым (т. е. может быть записано с точностью до подобия как прямая сумма неприводимых представлений)?

  3. Как мы можем классифицировать все неприводимые представления? другими словами, сколько меток нам нужно, чтобы указать конкретное представление? они полуцелые? (в г знак равно 4 , имеем две метки, ср. в ( м , н ) представительство, которое ( 2 м + 1 ) ( 2 н + 1 ) -размерный)

  4. Можно ли произвольный объект, преобразующийся по неприводимому представлению, записать в виде тензорного произведения спиноров? (в г знак равно 4 , элемент, преобразующийся в соответствии с ( м , н ) представление может быть отождествлено с объектом, несущим м пунктирный и н спинорные индексы без точек).

  5. Как происходит большое преобразование ( С , п , Т ) действуют на произвольный объект, преобразующийся при определенном проективном представлении? (в г знак равно 4 , общие формулы можно найти, например, в РСТ Вайтмана).

Любая ссылка, затрагивающая хотя бы одну из этих тем, будет приветствоваться и цениться. В идеале лучший справочник должен обсуждать их все.

Я думаю , что знаю ответ на первый и второй подвопросы, но я все равно включил их для полноты картины (отсутствие результатов в типичных поисковых запросах Google подсказывает мне, что этот пост может оказаться первым результатом, когда кто-то гуглит " представления Лоренца в более высоких измерениях»).

Чтобы избежать потенциально неуместных ответов, позвольте мне быть здесь (избыточно) откровенным: обратите внимание, что речь идет о LORENTZ , а не о POINCARÉ . Это очень разные проблемы. Ссылки в существующем ответе касаются только последнего (или первого в конкретном случае г ≡ 4 ), поэтому они не отвечают ни на один из моих вопросов. Если кто-то собирается опубликовать ответ, убедитесь, что он сосредоточен на Лоренце, а не на Пуанкаре.
Меня это заинтересовало, и я разочарован тем, что вы не получили ответы на все свои вопросы ни здесь, ни в МО. Если бы вы когда-нибудь нашли хорошую ссылку, не могли бы вы написать ответ самостоятельно?
@G.Smith К сожалению, я до сих пор не знаю полного ответа на этот вопрос! Я думаю, что знаю ответ (ну, кроме q.5) в евклидовом случае SO(d), но перевод в лоренцев случай SO(1,d-1) сложен и для меня совершенно не очевиден как это сделать. Например, спиноры делают странные вещи при изменении подписи.
Группа Лоренца изоморфна евклидовой конформной группе, поэтому представления, которые вы ищете, в основном являются представлениями конформной группы с наибольшим весом. Вы можете найти ОЧЕНЬ подробное обсуждение этого вопроса в книге «Гармонический анализ n-мерной группы Лоренца и его применение к конформной квантовой теории поля».
@Prahar Хороший вопрос! спасибо, я проверю.

Ответы (1)

Конспекты лекций

  • Бекарт X. и Буланже Н. Унитарные представления группы Пуанкаре в любом пространственно-временном измерении [ arXiv:hep-th/0611263 ]

довольно хороши. Я бы сказал, что это предполагает стандартное (физическое) знание КТП. Вот аннотация:

Обширное теоретико-групповое рассмотрение линейных релятивистских волновых уравнений в пространстве-времени Минковского произвольной размерности Д > 3 представлены в этих конспектах лекций. Для начала рассматривается взаимно однозначное соответствие между линейными релятивистскими волновыми уравнениями и унитарными представлениями группы изометрий. В свою очередь, метод индуцированных представлений сводит задачу классификации представлений группы Пуанкаре к я С О ( Д − 1 , 1 ) ↑ к классификации только представлений подгрупп устойчивости. Поэтому исчерпывающее рассмотрение двух наиболее важных классов унитарных неприводимых представлений, соответствующих массивным и безмассовым частицам (последний класс распадается, в свою очередь, на представления «спиральности» и «бесконечно-спиновые») известная теория представлений ортогональных групп О ( н ) (с Д − 3 ≤ н ≤ Д − 1 ). Наконец, ковариантные волновые уравнения даны для каждого унитарного неприводимого представления группы Пуанкаре с неотрицательным квадратом массы. Также исследуются тахионные представления. Все эти шаги описаны подробно и с примерами. Настоящие заметки также включают самодостаточный обзор теории представления общей линейной и (не)однородной ортогональной группы s в терминах диаграмм Юнга.

Эта ссылка, по крайней мере, дает ответ на подвопрос OP (2) [см. Раздел 1.3] и, я думаю, на подвопрос (3) [а именно: диаграммы Юнга, см. Раздел 4.3 и далее].

См. также раздел 3

Для более склонных к математике читателей конспекты лекций

безусловно заслуживают упоминания. Если предположить, что вы знакомы с анализом, дифференциальной геометрией и функциональным анализом, этот справочник дает хорошее и подробное математическое рассмотрение темы. Он включает в себя такие вещи, как основы теории представлений, поднятие проективных представлений до (анти)унитарных представлений универсального покрытия [ответ на подвопрос (1) ], предпосылки спектральной теории, индуцированные представления и обратную конструкцию, а также представления полу- прямые продукты.

[Я ожидаю, что подробный ответ на вопрос (2) тоже будет где-то здесь, но не нашел его при беглом просмотре текста.]

Приложения, обсуждаемые ближе к концу, а именно. Классификация Вигнера унитарных ирпов Пуанкаре (см. Раздел 12 и далее), сосредоточьтесь на случае г знак равно 4 , но дискуссия все же поучительна.

Я знаю первую ссылку, которая действительно очень хороша, но она не отвечает ни на один из моих вопросов, по крайней мере, не напрямую. Этот документ посвящен представлениям я С О ( 1 , г − 1 ) ↑ и из С О ( н ) (это небольшая группа анализируемых частиц). Здесь я спрашиваю о представлениях С О ( 1 , г − 1 ) , что похоже на аналогичную проблему, но это не так . Во-первых, последние полупросты, а первые нет. У меня будет бабло на остальных ссылках. В любом случае, большое спасибо за ваше время!
(Для более низких измерений см. ответ на mathoverflow.net/a/210411/45956. )
Еще раз спасибо, но эта ссылка объясняет представления Пуанкаре, а не Лоренца. Это очень разные проблемы, хотя и связанные. Лоренц полупростой. Пуанкаре нет. Представления последних можно получить, а-ля Вигнер, с помощью представлений ортогональной группы, которая проста и компактна. Таким образом, и Пуанкаре, и С О ( н ) легко анализировать, не совсем так Лоренца.
@AccidentalFourierTransform Хорошо, мне было непонятно, что вы действительно хотите Лоренца вместо Пуанкаре. Спасибо за разъяснения. Я оставлю вышесказанное, так как другим это может быть интересно.
@AccidentalFourierTransform ... Но я все еще думаю, что раздел 3 последней ссылки, по крайней мере, отвечает на ваш подвопрос (1).
Представления группы Лоренца в произвольном числе пространственно-временных измерений...
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v