Представительства Lorentz Group

Я был бы признателен, если бы кто-нибудь мог проверить правильность моего изложения здесь, а затем рискнуть ответить на вопрос в конце!

$SO(3)$имеет фундаментальное представление (спин-1) и представления тензорного произведения (спин-$n$за$n\in\mathbb{Z})$.

$SO(3)$имеет универсальную покрывающую группу$SU(2)$. Фундаментальное представление$SU(2)$и его представления тензорного произведения спускаются к проективным представлениям$SO(3)$. Мы называем эти представления спиновыми представлениями$SO(3)$(вращение-$n/2$за$n\in \mathbb{Z}$).

Комплексное векторное пространство$\mathbb{C}^2$имеет элементы, называемые спинорами, которые трансформируются при вращении$R$по словам соответствующего представителя$D(R)$. Естественное обобщение спинора называется псевдотензором и живет в пространстве тензорных произведений.

Мы можем повторить анализ для собственной ортохронной группы Лоренца$L_+^\uparrow$. Мы находим, что универсальная накрывающая группа$SL(2,\mathbb{C})$и мы получаем два неэквивалентных спин-$1/2$проективные представления$L_+^\uparrow$, а именно фундаментальное и сопряженное представления$SL(2,\mathbb{C})$.

Теперь, когда мы переходим к полной группе Лоренца, проективные представления каким-то образом исчезают и становятся настоящими представлениями. Почему, морально и математически, это так? Если можно дать ответ, не прибегая к алгебре Ли, а просто работая с представлениями группы, я был бы рад!

Спасибо заранее.