Существуют ли проективные представления группы Лоренца, которые НЕ исходят из алгебры Клиффорда?

Этот ответ основан на основополагающей статье Берга, ДеВитта-Моретта, Гво и Крамера (BDGK) о физике двойных накрытий групп Лоренца.

Хотя в статье рассматривается общий случай множественных измерений пространства и времени; в следующем ответе только$(3,1)$дело будет рассмотрено. Кроме того, будут рассматриваться только конечномерные (неунитарные) спинорные представления, поскольку мы знаем, как превратить их в бесконечномерные унитарные представления группы Пуанкаре.

Во-первых, физически интересные группы — это двойные покрытия$O(3,1)$скорее, чем$SO(3,1)$потому что они содержат отдельные операторы четности и обращения времени, а не только их произведение (БДГК: рис. 1, стр. 17 и рис. 2, стр. 19).

Двойные обложки$O(3,1)$называются группами Pin (их репрезентативные векторы называются Pinors).$O(3,1)$обладает 8 типами двойных покрытий, называемых$\mathrm{Pin}^{abc}(3,1)$($a,b.c\in \mathbb{Z_2}$соответствует (БДГК-приложение С):

Только два из указанных выше двойных покрытий могут быть получены из алгебры Клиффорда, которой они соответствуют:$\Lambda_P^2 = -\Lambda_T^2 = -\Lambda_{PT}^2 = 1$и$\Lambda_T^2 = -\Lambda_P^2 = -\Lambda_{PT}^2 = 1$соответственно. Эти группы называются клиффордскими и обычно обозначаются:$\mathrm{Pin}(3,1)$и$\mathrm{Pin}(1,3)$соответственно.

Примечания:

1. Я не знаю о каком-либо физическом применении не-Клиффордовских ПИН-групп.

2. В принципе, мы не знаем Пин-группы элементарных частиц, за исключением нейтрино в безнейтринном двойном бета-распаде. БДГК предлагает некоторые эксперименты, которые могут определить тип группы Pin.

1. Любое неприводимое комплексное представление алгебры Клиффорда в$d$Размеры имеют размерность$2^{\lfloor d/2\rfloor}$. Доказательство этого утверждения можно найти, например, в этом посте Qmechanic .

2. Как уже сказано в вопросе, любое представление алгебры Клиффорда индуцирует представление соответствующей ей алгебры Лоренца.

Итак, возьмем произвольное неприводимое представление алгебры Лоренца в четырех измерениях, обозначенное$(s_1,s_2) \in (\frac {1}{2}\mathbb{Z})^2$размера$D = (2s_1 + 1)(2s_2 + 1)$. Есть три случая:

• $D < 4$: Это касается только одного$s_i = 1/2,1$а другой равен нулю. $(1/2,0)$-представления являются спинорами Вейля и являются подпредставлениями одиночных неприводимых представлений алгебры Клиффорда в четырех измерениях, спиноров Дирака. $(1,0)$-представления представляют собой (анти-)самодуальные 2-формы и не происходят от алгебры Клиффорда, однако они также имеют «фазу$+1$" как проективное представление, так что это попадает в случай, когда вопрос считает ответ "очевидным". ¹

• $D= 4$: Единственный четырехмерный ирреп группы Лоренца$(1/2,1/2)$, обычные 4-векторы, которые не несут представления алгебры Клиффорда.

• $D > 4$: никакое представление алгебры Лоренца размерности больше 4 не может быть совместимо с представлением алгебры Клиффорда точками 1 и 2 выше: если бы существовало совместимое представление алгебры Клиффорда, оно должно было бы быть приводимым точкой 1, т.е. иметь собственное подпредставление. Но согласно пункту 2 это также индуцировало бы правильное подпредставление алгебры Лоренца, а это означало бы, что иррепрезентация не была неприводимой, что приводит к противоречию.

Поэтому, в частности, любое представление алгебры Лоренца с$D > 4$и$s_1 + s_2$нецелое - это проективное представление, которое не происходит из представления алгебры Клиффорда.

^{1 Линейное представление алгебры Лоренца интегрируется в линейное (а не просто проективное) представление собственной ортохронной группы Лоренца тогда и только тогда, когда$s_1 + s_2$является целым числом.}