ПОЧЕМУ возникают гармоники?

Это простой вопрос с довольно сложным ответом.

Сначала краткое руководство по длине волны, частоте и высоте тона.

Частота – это то, сколько раз вибрация повторяется за период времени. Длина волны — это длина одной вибрации, которая для чего-то вроде гитарной струны соответствует продолжительности времени, которое требуется для повторения. Вы можете видеть, что если длина волны уменьшится вдвое, частота удвоится.

Удобно, что длина волны звука от вибрирующей струны пропорциональна длине струны, так что мы можем говорить об этих двух понятиях почти взаимозаменяемо.

Удвоение частоты (уменьшение вдвое длины волны) поднимает нас на октаву вверх.

Когда вы ударяете/дергаете/трясете что-либо, оно будет вибрировать на любой частоте. Большинство этих частот исчезнет очень быстро. Вот почему.

Это концептуальные изображения вибрации струны. Думайте об одном конце как о порожке гитары, а о другом — как о мосте. Нижняя - "нерезонансная частота", потому что линия не заканчивается мостом. Возможно, я мог бы нарисовать последнюю часть волны более крутой кривой, чтобы она достигла точки, и это показало бы, что происходит с волнами этой частоты — вместо того, чтобы работать с длиной нити, чтобы усилить себя, она работает против длины строки, отменяется и затухает.

Теперь посмотрите на другие волны. Они поддерживаются, потому что они «вписываются» в длину струны. Они бы продолжали вибрировать так всегда, если бы не дека, трение воздуха и так далее, возможно, магнитное поле звукоснимателя, забирающее энергию.

Я показал 1-й, 2-й, 3-й и 4-й — но они продолжаются на разных уровнях громкости.

Сложная форма волны гитарной ноты является результатом сложения вместе всех этих резонансных частот.

Вот некоторые формы волны:

Вот частотный анализ одной гитарной ноты - по горизонтальной оси отложена частота, по вертикальной оси - амплитуда. Каждый пик представляет собой отдельную гармонику.

Именно точная смесь частот и то, как быстро каждая из них затухает, обеспечивает тембр инструмента.

Хороший способ почувствовать это — поиграть с аналоговым синтезатором (или его имитацией). В них используется «аддитивный синтез», в котором осциллятор создает чистую синусоидальную волну, а вы строите тембр, добавляя «гармоники» с использованием большего количества осцилляторов, выбирая относительную высоту тона и громкость для каждого из них.

Вы, возможно, заметили, что ваша гитара звучит более «гулко», если вы нажимаете на нее возле 12-го лада, и более высокие частоты, когда вы нажимаете на нее возле бриджа. Это потому, что когда вы перещипываете струну ближе к середине, вы отдаете много энергии первой гармонике и очень мало другим гармоникам.

А что произойдет, если вы осторожно коснетесь середины струны?

• Вы убиваете 1-ю гармонику. Это включало движение струны именно в той точке, которую вы подавили.
• Вы позволяете 2-й гармонике продолжать звучать - струне не нужно двигаться в позиции, которую вы приглушили.
• Вы убиваете 3-ю гармонику
• Четвертая гармоника продолжает звучать
• ... и так далее.

В результате вы вычитаете основную ноту и множество «нечетных» гармоник, оставляя гармонику на октаву выше и несколько более высоких гармоник. В результате получается звук с меньшим количеством гармоник, который, следовательно, звучит «чище».

Отличный способ почувствовать это — сыграть на открытой струне, а затем внимательно прислушаться к ее середине, чтобы увидеть, как вы достигаете октавы, вычитая часть звука.

Смотрите также этот другой пост

ПОЧЕМУ возникают гармоники?

Ну, они не случаются – не обязательно.

Строки могут делать все что угодно:

Все это возможные варианты того, как может выглядеть снимок движущейся струны. Мало того, он мог двигаться в каждой точке с произвольной скоростью. Скорость могла бы быть везде 0 (на бесконечно малый момент). В первом показанном состоянии, если скорость также равна нулю, это будет означать, что струна просто находится в «тихом режиме», т. е. вообще не вибрирует. Второе состояние — безобертонное (самое низкое собственное состояние струны; если этот снимок с нулевой скоростью, это означает, что струна находится в верхнем положении разворота, т. е. до сих пор двигалась вверх, а затем начнет двигаться вниз).

4-е состояние представляет собой спутанный пучок гармоник. Под этим я подразумеваю, что вы можете взять немного основного состояния с рисунка 2, что-то от второй гармоники (S-образная форма), немного от 3-й и так далее, сложить их все и получить точную картину 4. Как бы это звучало? Ну, просто сумма всех этих частот в качестве обертонов, как в типичной вибрации струны, которую мы привыкли слышать. За исключением того, что рисунок 4 не является типичным состоянием строки: я бы не ожидал найти настоящую строку в этом состоянии.

В отличие от состояния 3: именно так выглядит гитарная струна, когда вы ее защипнули, и она вот-вот соскользнет с гвоздя/медиатора. И что тогда происходит? Ну, он движется так, как будто и не было пикировки, т.е. как если бы он был в середине своего нормального движения, а мы просто сделали снимок, который получился похожим на картинку 3. Но картинка 3 явно не собственное состояние: точно так же, как Рисунок 4, единственный способ, которым струна может выглядеть так, — это вибрировать в нескольких модах одновременно. И именно поэтому гитара производит не синусоидальные колебания, а правильные тона с гармониками.

На самом деле более актуален противоположный вопрос

• почему струна не вибрирует на всех частотах? Когда вы нажимаете на нее, вы не создаете только один узел вибрации, а вкладываете часть энергии.

Это сводится к тому, где находятся узлы или нули (посмотрите ответ @MatthewRead здесь ), поскольку с фиксированными концами строки любая волна, которая имеет элемент движения в этих точках, не будет распространяться (конечная точка просто не будет двигаться)

Так что это ограничивает возможные частоты теми, длина волны которых соответствует струне целое число раз.

С чисто теоретической точки зрения это связано с двумя вещами: возбуждением и нелинейностью.

Как показано на диаграммах leftaroundabout, то, ГДЕ вы дергаете струну, например, будет в значительной степени влиять на то, вибрирует ли она в первую очередь на «основной» или какой-либо гармонике. Это возбуждение. Таким образом, кто-то, играющий на струнном инструменте, может получить более чистый, более «фундаментальный» звук, защипывая струну ближе к середине, и «более богатый», более «гармоничный» звук, защипывая ближе к концу струны.

Нелинейность, с другой стороны, связана с тем, что, например, струна струнного инструмента не является идеально гибкой, должна иметь дело с сопротивлением воздуха и рядом других факторов. Это означает, что даже если каким-то образом изначально возбуждается точно основная частота, тот факт, что, например, струны жесткие на концах, приведет к тому, что концы будут немного «отставать» от движения остальной части струны, поэтому вместо того, чтобы вибрировать в по плавной дуге струна примет легкую S-образную форму. Если вы проанализируете S-образную форму математически и начертите ее частотный спектр, будет сильный всплеск на основной частоте, но (из-за S-образной формы) более слабые всплески на обертонах. Кроме того, «острый» пик основного тона (и обертонов) будет немного «расплываться» из-за сопротивления воздуха и т. д.

Именно все эти тонкие вариации придают музыкальному инструменту его тон. Чистый основной тон звучит «электронно» и очень искусственно. (Но, конечно, слишком много обертонов и слишком много «разброса» приводит к грязному звуку.)

До сих пор я не видел, чтобы кто-то в какой-либо полезной степени отвечал на вопрос «почему» гармоник: все либо стремились объяснить, как струна (как хороший пример осциллятора с обертонами) может поддерживать несколько гармоник, либо махали рукой вокруг проблемы. .

Ответ: «граничные условия». Осциллятор может поддерживать несколько режимов, поэтому вопрос в том, какая комбинация режимов будет фактически соответствовать определенному однократному, непрерывному или полунепрерывному возбуждению: возбуждение ставит граничные условия. Если мы защипываем незвучащую струну, она формируется в два отрезка прямой линии (при условии, что защипывание происходит медленно по сравнению с вибрацией), а затем отпускается.

Итак, нам нужно найти суперпозицию обертонов и ладов, которая приведет к точно такой же форме струны, а также силам и импульсам в каждой ее части в тот момент, когда мы отпустим ее и предоставим ее самой себе: это определит различные отношения мод, и они обычно также затухают с разными постоянными времени. Со струнами вы можете дать некоторым частям несправедливое преимущество, касаясь струны в местах, где они не будут двигаться: тогда другие частички затухают намного быстрее, в результате чего получится «флажолет» или чистый гармонический звук.

Кроме того, защипывание струны в разных точках будет иметь разные обертоны в результате. Некоторым нравится щипать его очень близко к бриджу, так что это в основном шум медиатора, путешествующий вперед и назад по струне, который составляет начальный звук, довольно богатый обертонами, пока не затухают более высокие частичные звуки.

Я предполагаю, что вы интересуетесь гармоническими компонентами звука, а не гитарными гармониками, играемыми простым прикосновением к струне (что и было настоящим вопросом «Как работают гармоники?» , Я полагаю).

Любой периодический сигнал можно представить в виде суммы синусоид. Эти синусоидальные волны показаны в виде спектра: пики на графике спектра слимом представляют амплитуды синусоидальных волн, частоты которых даны по оси x пиков.

Суммируйте эти синусоидальные волны, и вы получите исходный сигнал. Если у вас есть только один компонент (один пик) в спектре, сигнал будет просто синусоидальным с этой частотой и амплитудой.

Имея это в виду, ваш вопрос можно перефразировать:

« Почему гитарная струна не вибрирует только на одной частоте? » -> « Почему гитарная струна не вибрирует как синусоида? »

Можно сказать, что гитарная струна вибрирует на одной частоте (в несинусоидальной форме волны). Но его форму волны можно разложить на сумму синусоидальных волн разных частот.

Почему гитарная струна не вибрирует как синус? Как упоминалось другими, это контролируется ограничениями, применяемыми к строке. Контакт с щипком, место удара по струне, жесткость струны, соединения с корпусом гитары, сам корпус, комната, ваши пальцы...

Все дело в обертонах. Короче говоря, звук — это волна сжатия. (Обычно для простоты она изображается в виде стоячей волны.) Каждая высота звука имеет заданную частоту, поэтому высшая точка волны возникает время от времени.

Обертон, то есть гармоника, возникает, когда у вас есть две звуковые волны, верхние точки которых перекрываются через определенные промежутки времени. Например, октава выше любой данной ноты вдвое превышает частоту этой ноты, поэтому высокие точки верхней ноты будут перекрывать высокие точки нижней ноты через раз. Аналогичные эффекты возникают для большинства обертонов.

Гитарная струна действительно вибрирует только на одной частоте, которая определяется ее длиной и натяжением. Обертоны совпадают с другими частотами, что приводит к тому, что любые правильно настроенные струны поблизости резонируют со струной, если они соответствуют одной из гармоник.

Это, конечно, сильное упрощение. Это видео на YouTube — лучшее объяснение всего процесса, которое я когда-либо видел.

Почему гитарная струна не вибрирует только на одной частоте?

Идеальная струна, аккуратно перетянутая посередине, была бы такой же, но струны реальной гитары — это не идеализированные струны. Они не безмассовые, они имеют толщину, часто представляют собой скрученные связки металла, непостоянного натяжения, калибра и т. д. И, наверное, самое главное, они защипываются где-то близко к одному концу струны, что противоречит естественному движению. идеальную строку хотелось бы взять. Таким образом, будет вибрировать более одной моды (частоты) струны; это гармоники.

На этой диаграмме показано, как выглядит реальное движение защипнутой струны (черная):

Цвета - это разные режимы (обертоны или гармоники) вибрации струны. Любая из этих цветных «струн» — это естественное движение, которое хотела бы совершить черная нить. Поскольку красная «струна» имеет наибольшую амплитуду, ее частота больше всего слышна от вибрирующей струны. Все эти цвета при наложении создают не «чистую» вибрацию ощипанного жала. Вы можете видеть, что форма черной струны не симметрична, она «согнута», в отличие от цветных «струн».

Защипывание середины струны — один из способов минимизировать гармоники. Если вы сделаете это, вы услышите более чистый звук. Это потому, что это не противоречит естественному движению струны, как защипывание возле конца струны.

Почему гитарная струна не вибрирует только на одной частоте?

Гармоники обычно создаются системами, которые имеют нелинейный отклик, например, струна.

Один из способов понять гармоники — посмотреть на математические операции, такие как преобразования Фурье или другие преобразования. Эти операции преобразуют (преобразуют) интегральное уравнение некоторой величины, обычно амплитуды в зависимости от времени, в сумму другой величины, обычно амплитуды в зависимости от частоты, где гармонические частоты отображаются как основные члены суммы.

Другой способ — посмотреть, как нелинейность создает гармоники. Вот об этом я подробно расскажу. Нелинейность не является чем-то неизвестным для музыкантов, поскольку усилитель или микрофон нелинейны, они создают гармонические искажения , которые представляют собой просто паразитные гармонические частоты, добавленные к усиленной копии аудиовхода. Гармонические искажения в музыке также называют... тембром инструмента . Столько разных слов для одного физического эффекта!

Линейность возвращающей силы: Пружина

В качестве примера линейности представьте себе пружину. Если удлинить пружину, они почувствуют восстанавливающую силу, и чем больше удлинение и чем больше сила, возможно, до такой степени, что пружина уже не сможет растянуться дальше. В общем случае винтовая пружина развивает возвращающую силу, точно пропорциональную удлинению:

Такая система называется линейной по реакции на возмущение. Для получения дополнительной информации о линейности пружин и некоторых приложениях полезно прочитать статью в Википедии о законе Гука .

Линейность возвращающей силы: Диапазон

Диапазон - интересный инструмент, потому что он колеблется в основном без гармоники. Колебание зубцов происходит в линейной области упругости металла, где восстанавливающая сила пропорциональна текущему расстоянию от положения покоя.

Эта (квази-) линейная упругость существует для металлического материала, но только для небольших перемещений, что означает небольшую энергию, передаваемую воздуху, и ограниченную интенсивность звука. Если бы мы попытались создать более высокие звуки, мы бы вышли из линейной области, и появились бы гармоники.

Вернемся к диапазону позже. Давайте сначала рассмотрим действительно нелинейную систему: гитарную струну!

Гитара: большие колебания, в основном нелинейные.

Колебательная система, такая как вибрирующая струна, также имеет положение покоя. При удалении от этого положения он развивает силу в виде натяжения, стремящуюся восстановить состояние покоя, причем чем больше поперечное расстояние от положения покоя, тем больше продольное натяжение.

Однако гитарная струна не работает в малом диапазоне линейной упругости диапазона, ей необходимо издавать мощные звуки, струна «возбуждается» большими воздействиями, на которые материал не способен реагировать линейно. Натяжение не пропорционально поперечному расстоянию в данной точке струны:

^{(Правый график от Хенрика Б. Педерсена и Йеппе Лангеланда Кнудсена , адаптированный)}

(Примечание: приведенный выше рисунок был обновлен после того, как @user1079505 прокомментировал неправильное значение амплитуды x. Неправильное/исходное значение находится здесь .)

Амплитуда восстанавливающей силы имеет тенденцию увеличиваться в большей пропорции по мере того, как мы приближаемся к пределу упругости и немного приближаемся к точке остаточной деформации/разрушения. Играют роль и другие факторы, в том числе отклик не зависит от времени, отклик также зависит от предыдущего возмущения струны.

В результате восстанавливающая сила не является масштабированной копией текущего расстояния струны от ее исходного положения, и, добавляя сложности, в данный момент времени коэффициент масштабирования не одинаков для всех сегментов струны.

Эта нелинейность между амплитудой смещения и восстанавливающимся напряжением является источником гармоник. Фактический механизм сложен, но мы увидим простой случай, снова взглянув на диапазон, который, в конце концов, не является полностью линейным...

Вернемся к диапазону с его небольшой нелинейностью.

Сказать, что диапазон не имеет гармоник, было приближением. В диапазоне обычно развивается вторая гармоника, и подробности того, как это происходит, являются хорошим примером чрезвычайной чувствительности физических колебательных устройств к асимметрии и нелинейности, наблюдаемой в работе со струнами.

В основном зубцы камертона колеблются в своей общей плоскости наподобие консольных балок, а центр масс, если смотреть сверху, благодаря симметрии перемещений остается неподвижным. Однако это не относится к его вертикальному положению.

Когда зубцы колеблются, их индивидуальный центр масс перемещается вверх и вниз на небольшое расстояние, следуя дуге окружности. Это также происходит на частоте 440 Гц (или любой другой частоте, на которую настроена вилка). Это смещение массы вызывает реакцию в вертикальном направлении, шток поднимается и опускается на очень небольшую величину.

Диапазон обычно упирается в другую опору, например, стол. При этом колебания зубцов передаются на опору, выполняющую роль усилителя.

Оказывается, шток более эффективно передает вертикальные вибрации, а поверхность стола легче сгибается вертикально, чем перемещается горизонтально. Из-за этого избирательного усиления с помощью стола очень небольшая вертикальная вибрация теперь имеет большее относительное значение.

Частота поперечной волны и волны центра масс одинаковы, это все еще может пройти без последствий, однако проблема заключается в том, что их форма волны различна, одна из них представляет собой искаженную синусоиду. И угадайте причину этого искажения... Вот оно: Нелинейность!

^{Источник}

Этот график является частью исследования , которое полезно читать. На ней показаны два колебания (масштабы не одного порядка). В то время как поперечная волна почти синусоидальна, вертикальная волна из-за смещения массы имеет пики и минимумы различной формы. Причина в том, что вертикальные колебания чередуют силы растяжения и сжатия в штоке, на которые металл реагирует по-разному, с разными скоростями. У нас остаются две волны, которые естественным образом интерферируют, создавая гармонику 880 Гц:

Это простой пример гармоник, созданных небольшой нелинейностью, принцип тот же для других материалов и вибрирующих устройств, включая гитарные струны, хотя задействовано больше элементов.

Линейность: более точное определение

Технически мы говорим, что это гомоморфизм от homos- тот же и -morphe shape. Это громкие слова, на практике вот линейное преобразование:

^{Источник}

BC и B'C' являются линейными преобразованиями друг друга. Определение линейной системы:

• Если вход x производит выход u, то для любого числа k kx должен производить ku. Это означает, что выход должен быть пропорционален входу. Если вход увеличивается в k раз, то выпуск увеличивается во столько же раз.

• Если ввод x дает u, а ввод y дает v, то ввод k1.x + k2.y должен давать k1.u + k2.v (k1 и k2 — любые множители). Это означает, что результат, полученный суммой, равен сумме результатов отдельных входов.

Это все. Любая система, не имеющая двух вышеуказанных свойств, производит искажения/гармоники. Это может произойти с усилителями, с вибрирующими устройствами, с космическими волнами или с электрической сетью. Гармоники обычно нежелательны, но их бывает трудно удалить.

Вы спросили: «Почему гитарная струна не вибрирует только на одной частоте?». Давайте посмотрим на это с другой точки зрения: любой музыкальный инструмент издает звуки, в которых есть обертоны, и каждая нота, сыгранная на любом инструменте, имеет несколько частот — не только на гитаре. Нет повторяющегося, колеблющегося звука, издаваемого любым музыкальным инструментом, у которого нет абсолютно никаких обертонов . Единственный звук, который может существовать без обертонов, — это полностью чистая синусоида. Вы можете создать чистую синусоиду только с помощью электронного генератора. Никакой акустический или электроакустический музыкальный инструмент не может создать звук, похожий на чистую синусоиду.

Он вибрировал бы только на основной частоте, если бы вы возбудили его ровно посередине и не было бы потерь в материале.

Однако, если вы возбудите его случайным образом, он перейдет в «равновесное» состояние, в котором выживают только стоячие волны, кратные основной частоте.

То есть в идеальном сценарии вы могли бы генерировать только желаемые гармоники, если бы вы возбудили идеальную струну в правильных точках.

Основываясь на ответах каждого, я приведу конкретный пример, с которым вы можете поиграть: https://www.desmos.com/calculator/ii4bptqcb0 . Во всех примерах вы хотите, чтобы переменная t изменялась, нажимая кнопку воспроизведения рядом с переменной.

Чтобы понять это, начните с базовой версии и поймите, что k изменяет фазу 2-й гармоники.

После этого вы можете видеть, что в исходном примере v1 ... vk — это фаза, соответствующая каждой гармонике, поэтому их можно настроить.

Обратите внимание, что когда вы загружаете эксперимент, линия имитирует момент, когда игрок отпускает строку, как на диаграмме leftaroundabout:

И после того, как она выпущена, она больше похожа на последнюю волну на приведенной выше диаграмме.

Также обратите внимание, что установка всех параметров на 0 также дает хорошее приближение к выщипыванию: https://www.desmos.com/calculator/p8rpxes5tw

А затем пусть переменная t «играет». Обратите внимание, как близко это движение к движению, которое мы наблюдаем в этом видео:

Я надеюсь, что эти примеры помогут вам получить конкретное представление о других решениях.