Что такое цветовой заряд?

Я задал этот вопрос несколько недель назад и был недоволен большинством ответов, которые нашел в Интернете, поэтому в конце концов мне удалось раздобыть копию превосходного текста Гриффитса об элементарных частицах (действительно, все его тексты превосходны), который включает в себя раздел, точно отвечающий на мой вопрос с тем, что я искал. Тогда я решил ответить на него сам, на случай, если кто-нибудь из любопытствующих прочитает это и захочет знать.

Это всего лишь очень беглое объяснение, предназначенное для того, чтобы ответить на мой собственный вопрос к моему собственному удовлетворению.

Гриффитс начинает с введения того, что в основном представляет собой три копии ЭМ заряда, называемого цветовым зарядом, и предлагает, чтобы они были трехэлементными векторами-столбцами:

$$c_{red} = \left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), c_{blue} = \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right), c_{green}=\left(\begin{array}{c}0\\0\\1\end{array}\right).$$ В принципе, они могут принимать любое векторное значение, за исключением эффектов симметрии в теории и ограничения цвета.

Чтобы выяснить, как взаимодействуют эти векторные заряды, обратимся к закону Гелл-Манна.$\lambda$-матрицы, которые$SU(3)$для чего нужны матрицы Паули$SU(2)$. Они перечислены Гриффитсом, но написание матриц было бы проблемой; вы можете посмотреть их в Википедии.

Затем Гриффитс берет амплитуды фейнмановского рассеяния низшего порядка для хромодинамического взаимодействия и на их основе развивает потенциалы для различных взаимодействий.

Для кварк-антикварка у него

$$V_{q\bar{q}}(r) = -f\frac{\alpha_s\hbar c}{r}.$$ Это сила дальнего действия в принципе, но она сделана ближней из-за заключения. Он принимает ту же форму, что и кулоновский потенциал. Важным здесь является $f$, который Гриффитс называет «фактором цвета». Этот цветовой фактор подобен $q_1q_2$в электростатике или $\mathbf{p}_1\circ\mathbf{p}_2$для диполь-дипольных сил и будет зависеть от цветового состояния рассматриваемых взаимодействующих частиц. Он рассчитывается по $$f = \frac{1}{4} (c_3^\dagger\lambda^\alpha c_1)(c_2^\dagger\lambda^\alpha c_4),$$ где суммирование подразумевается по $\alpha$. Здесь $c_1$является зарядом входящего кварка, $c_3$заряд уходящего кварка, и $c_2,c_4$заряды входящего и исходящего антикварка.

В качестве примера Гриффитс вычисляет взаимодействие между красным и анти-синим.

$$c_1=c_3=\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right), c_2=c_4=\left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right).$$ Следовательно $$f = \frac{1}{4}\left[(1,0,0)\lambda^\alpha\left(\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}\right) \right]\left[ (0,1,0)\lambda^\alpha \left(\begin{array}{c}0\\1\\0\end{array}\right)\right] = \frac{1}{4}\lambda^\alpha_{11}\lambda^\alpha_{22}.$$ То есть он включает в себя сумму произведений 1-го диагонального элемента и 2-го диагонального элемента каждой из матриц Гелл-Манна. Глядя на их форму, единственные матрицы с обоими этими ненулевыми элементами - это те, которые помечены Гриффитсом. $\lambda^3$а также $\lambda^8$. Это приводит к $$f = \frac{1}{4}[(1)(-1)+(1/\sqrt{3})(1/\sqrt{3})] = -\frac{1}{6},$$ $$V_{r\bar{b}} = \frac{1}{6}\frac{\alpha_s \hbar c}{r},$$ что, очевидно, является отталкивающей силой. Гриффитс также рассчитывает другие взаимодействия. Например, кварк-антикварковые синглетные взаимодействия, $(1/\sqrt{3})(r\bar{r}+b\bar{b}+g\bar{g})$, которые имеют цветовой коэффициент $f=\frac{4}{3}$и, таким образом, являются привлекательными , что объясняет ограничение кварков синглетными состояниями и отсутствие наблюдений за цветными состояниями. Он также рассчитывает взаимодействия кварк-кварк, которые имеют немного другой потенциал, $$V_{qq}=f\frac{\alpha_s \hbar c}{r}.$$ В качестве примера он вычисляет красно-красное взаимодействие; он имеет коэффициент 1/3, следовательно, отталкивающий.

Об этом много в этой замечательной книге, но этого достаточно, чтобы удовлетворить мое любопытство по поводу того, что такое цветовой заряд и как он работает. Надеюсь, это полезно для всех остальных. Конечно, это было сильно упрощено ради моего собственного упрощенного мозга и, несомненно, приводило в бешенство педантов в этой области, но если вам нужно лучшее объяснение и понимание, все это было взято из главы 8.4 « Введение в элементарные частицы » Дэвида. Griffiths, опубликованное Wiley-VCH, Second Revised Edition — просто со ссылкой на источники.

Попробуйте это для размера: цветовой заряд — это название набора из трех связанных зарядов, которые произвольно обозначены красным, зеленым и синим. Каждый из отдельных зарядов работает как электромагнитный заряд в том смысле, что у вас есть положительные и отрицательные значения: красный и антикрасный, зеленый и антизеленый, синий и антисиний. Это что-то вроде трехмерного пространства заряда с тремя независимыми зарядами на осях. Таким образом, цветовой заряд частицы будет представлен вектором$(c_1, c_2, c_3)$.

Единственное существенное отличие, которое делает это пространство не обычным трехмерным зарядовым пространством, заключается в том, что равная комбинация всех трех зарядов эквивалентна полному отсутствию цветового заряда. Таким образом, вы можете представить, что берете это трехмерное пространство цветового заряда и проецируете его на двухмерную плоскость, ортогональную оси нейтрального цвета. То есть, если у вас есть частица, цветовой заряд которой$(c_1, c_2, c_3)$, что эквивалентно проекции этого вектора на плоскость, перпендикулярную$(1,1,1)$.

Теперь о деталях. Я не знаю навскидку, какой была бы формула, эквивалентная, например, закону Кулона для сильного взаимодействия; здесь задействована очень сложная математика. Но качественно я могу вам сказать, что цветовые заряды всегда стараются оставаться в нейтральных группах. (Синглеты, на языке теории групп) Например, если у вас есть вместе красные, зеленые и синие частицы, их будет очень трудно разделить. Точно так же красный и антикрасный будет трудно разделить, так что можно сказать, что они притягиваются друг к другу. Если вы соедините красную и антисинюю частицы вместе, они не образуют нейтральную по цвету пару, поэтому я думаю, что будет некоторое отталкивание, если только они не сойдутся вместе с третьей частицей, имеющей правильный цветовой заряд. чтобы сделать их группой нейтральной по цвету (что на самом деле было бы просто комбинацией антикрасного и синего).