Как студенту-физику изучать математику? [закрыто]

Я очень сильно переживаю по этому вопросу. Я считаю, что для экспериментатора совершенно нормально вообще не углубляться в высшую математику. В основном экспериментаторам необходимо очень хорошо понимать один конкретный эксперимент за раз, и существует так много навыков, которые экспериментатору необходимо сосредоточить все свое время / энергию на развитии в качестве студентов.

Я считаю, что экспериментаторы должны черпать свою физическую интуицию из большого количества времени, проведенного в лаборатории, тогда как теоретики должны развивать свою физическую интуицию из чувства «математической красоты» в духе Дирака.

Теоретики, по моему мнению, должны заниматься математикой, как математическими специальностями, почти забыв на время о физике; это то, что я так сильно чувствую. Дело в том, что математика — такой большой предмет, и как только у вас есть дорожная карта того, что важно для теоретической физики; тогда действительно требуются годы обучения, чтобы выучить всю математику. Я думаю, это так плохо, что многие профессора физики, которые сами являются экспериментаторами, неправильно преподают математику молодым теоретикам. Лично мне пришлось забыть многое из того, что, как мне казалось, я знал о математике, когда я прошел курс, основанный на «Принципах анализа» Рудина.

При изучении математики важно делать это со следующей точки зрения.

Математики разрешают бесполезные невычислимые объекты фантазии

Математики часто предпочитают жить в мире, где аксиома выбора верна для множеств размера континуума. Это идиотизм по многим причинам, даже для них, но особенно идиотизм для физики. Есть простые интуитивные аргументы, которые устанавливают, что у каждого множества есть объем или мера Лебега, и они выглядят следующим образом:

Для любого набора S в большом ящике B случайным образом выберите точки и определите, когда они попадут в S. В пределе множества бросков определите меру S как объем B, умноженный на долю точек, попадающих в S. Когда это работает, и всегда работает, каждый набор измерим.

Это определение не допускается в математике, потому что концепция случайного выбора точки требует ограничения случайного процесса случайного выбора цифр. Предельный случайный процесс должен определяться отдельно от процессов аппроксимации в рамках обычной математики, даже когда аппроксимации почти всегда сходятся к однозначному ответу! Единственная причина этого заключается в том, что существуют конструкции аксиом выбора неизмеримых множеств, так что приведенный выше аргумент не может быть доведен до конца. Это приводит к множеству громоздких условностей, препятствующих пониманию.

Если вы читаете математику, держите в голове, что каждое множество действительных чисел действительно измеримо, что каждое порядковое число действительно счетно (даже те, которые притворяются неисчислимыми, превращаются в счетные в реальных моделях теории множеств) и что все фантастические результаты математики происходят от сопоставления действительных чисел с порядковым номером. Когда вы сопоставляете действительные числа с порядковым номером, вы делаете вид, что некая модель теории множеств, тайно исчисляемая по теореме Скулема, содержит все действительные числа. Это приводит к тому, что набор действительных чисел может быть тайно счетным. Это не приведет к парадоксу, если вы не позволите себе случайным образом выбирать действительные числа, потому что все действительные числа, для которых вы можете составить символы, являются счетными, потому что существует только счетное множество символов. Но, если вы раскроете эту счетность, допустив символ, представляющий однозначное отображение между некоторыми порядковыми и действительными числами, вы получите теоремы Витали о неизмеримых множествах. Эти теоремы могутникогда не повлияют на физику, потому что эти «теоремы» ложны в любой реальной интерпретации, даже в рамках математики.

Из-за этого вы можете в основном игнорировать следующее:

• Расширенная топология множества точек — нетривиальные результаты топологии множества точек бесполезны, потому что они часто анализируют структуру выбора континуума. Тривиальные результаты просто переформулируют элементарные свойства непрерывности на языке теории множеств. Все поле банкрот. Единственное полезное в ней — изучение топологий на дискретных множествах.
• Элементарная теория меры: хотя продвинутая теория меры (вероятность) очень важна, элементарные трактовки теории меры в основном связаны с фантазией о существовании неизмеримых множеств. Вы никогда не должны доказывать, что множество измеримо, потому что все множества измеримы. Не обращайте внимания на эту часть книги и сразу переходите к продвинутым частям.

Дискретная математика важна

Поначалу физикам немного трудно это понять, потому что они воображают, что непрерывная математика — это все, что требуется для физики. Это куча глупостей. Настоящая работа в математике заключается в дискретных результатах, непрерывные результаты часто являются лишь бледными тенями гораздо более глубоких комбинаторных отношений.

Причина в том, что континуум определяется ограничивающим процессом, когда вы берете какую-то дискретную структуру и завершаете ее. Вы можете взять решетку и сделать ее тоньше, или вы можете взять рациональные числа и рассмотреть разрезы Дедекинда, или вы можете взять десятичные разложения, или последовательности Коши, или что-то еще. Это всегда завершенная дискретная структура.

Это означает, что всякое отношение действительных чисел на самом деле является отношением дискретных структур, которое истинно в пределе. Например, решение дифференциального уравнения

Действительно ли асимптотическое соотношение для решений следующих дискретных приближений

Дело, конечно, в том, что множество различных дискретных аппроксимаций дают один и тот же точный континуальный объект. В математике это называется «существование континуального предела», а в статистической физике — «универсальность».

При изучении дифференциальных уравнений дискретные структуры слишком элементарны, чтобы люди могли их запомнить. Но в квантовой теории поля сейчас нет определения континуума. Мы должны явно определить квантовую теорию поля с помощью какой-то решетчатой ​​модели (это всегда будет верно, но в будущем люди будут маскировать лежащую в основе дискретную структуру, чтобы подчеркнуть универсальные асимптотические соотношения, как они это делают для дифференциальных уравнений). Поэтому помните о переводе между непрерывными и асимптотическими дискретными результатами и о том, что дискретные результаты на самом деле являются более фундаментальными.

Так что изучайте как можно больше:

• Теория графов: особенно результаты, связанные со школой Эрдоса
• Теория дискретных групп: это тоже важно, хотя продвинутые части никогда не всплывают.
• Комбинаторика: важны асимптотические результаты.
• Вероятность: это труднее всего рекомендовать, потому что литература очень туманна. Но что вы можете сделать? Вам это нужно.

Не изучайте математические версии вещей, которые впервые были разработаны в физике.

Математики плохо справились с переводом математики, развитой в физике, в математику. Таким образом, следующие области математики могут быть проигнорированы:

• Общая теория относительности: читайте физиков, игнорируйте математиков. Им нечего сказать.
• Случайные процессы: читайте физиков, игнорируйте математиков. Они на самом деле не понимают континуальные интегралы, поэтому им нечего сказать. Полезность этого для финансов имела пагубный эффект, когда книги были намеренно запутаны, чтобы скрыть элементарные результаты. Все результаты находятся где-то в физической литературе в наиболее полезной форме.
• Квантовые поля: почитайте физиков, особенно Вильсона, Полякова, Паризи и представителей того поколения. они действительно решили проблему. Математики бесполезны. Коннес-Креймер и так являются исключением из этого правила, но они возвращают к жизни результаты Циммермана, которые, я думаю, никто, кроме Циммермана, никогда не понимал. Атья/Сигал по топологическим полям также важен, а Кац вполне может быть физиком.

Физика — это наука о мертвых вещах. Никакой логики.

Есть много результатов в математике, анализирующих общую природу вычислений. Эти вычисления живые, они могут быть сколь угодно сложными. Но физику интересует мертвый мир, вещи, которые поддаются простому описанию с точки зрения небольшого вычисления. Такие вещи, как солнечная система или кристалл соли.

Так что нет смысла изучать логику/вычисления/теорию множеств в физике, вы даже не будете ее использовать. Но я думаю, что это недальновидно, потому что логика — одна из важнейших областей математики, и она важна сама по себе. К сожалению, литература по логике более непрозрачна, чем любая другая, хотя Википедия и math-overflow помогают.

• Логика/вычисления/теория множеств: вы никогда не будете ее использовать, но все равно будете изучать.

Очевидно, что это не исчерпывающий список, и моя цель — просто дать вам указатель на основной материал, который вам необходимо изучить в самом начале. По мере вашего продвижения вы можете стать более специализированным, и ваша область может иметь определенные математические методы и формализмы, которые являются специфическими для нее.

Большая часть математики, используемой в физике, является непрерывной. Это варьируется от элементарного исчисления, используемого для решения простых ньютоновских систем, до дифференциальной геометрии, используемой в общей теории относительности. Имея это в виду, как правило, необходимо подробно охватить исчисление, реальный и комплексный анализ, анализ Фурье и т. д.

Кроме того, многие физические преобразования имеют очень красивую групповую структуру, так что изучение основ теории групп — очень хорошая идея.

Наконец, сильная линейная алгебра является предпосылкой для многих методов, используемых в других областях, которые я упомянул выше, а также чрезвычайно важна для матричной формулировки квантовой механики. Нахождение основных состояний дискретных систем (например, спиновых сетей) означает нахождение минимального собственного значения и соответствующего собственного вектора гамильтониана.

Вопрос слишком широкий. Разные области физики требуют разного уровня (и области) математики.

Один общий список здесь: Gerard 't Hooft, Theoretical Physics as a Challenge .

Также один из подходов состоит в том, чтобы изучать математику, когда вы сталкиваетесь с ней в физике (*), убеждаясь, что каждый раз вы изучаете немного больше, чем просто для понимания (*).

Прочтите «Дорога к реальности: полное руководство по законам Вселенной » Роджера Пенроуза. Он является удобным компаньоном для студентов и аспирантов первого курса, изучающих физику. | Первые шестнадцать глав содержат (в форме набросков) весь математический материал, необходимый для бакалавриата по специальности (в частности, теоретической) физики, написанный выдающимся физиком-теоретиком (т. найти в учебниках или других стандартных материалах для чтения).

По той же причине студенту, изучающему литературу, необходимо учить английский язык. Вы не можете выразить себя иначе. Давно прошли те времена, когда физические явления можно было описывать словами; Фарадей так и сделал. В то время необъяснимые физические явления были в человеческом масштабе, и человеческого языка было достаточно. Сегодня границы физики далеко за пределами метров, килограммов, ампер и нескольких эВ. Случайно мы обнаружили, что Вселенная намного страннее, чем мы могли себе представить, и поэтому мы прибегаем к единственному выражению абсолютного смысла - математике. У меня действительно есть желание уточнить, почему математика так эффективно рисует реальность, но меня обычно обвиняют в платоновском экстремизме, и, поскольку у меня так мало времени, я воздержусь.

Короче говоря, она должна изучать его небрежно для удовольствия и интенсивно по мере необходимости.

Я обнаружил, что многие из моих знакомых в области науки и техники, которые пытаются изучить все подряд, отвлекаются и в конечном итоге изучают только малоизвестные и относительно менее полезные темы. Хотя это может привести к некоторым интересным корреляциям, я предпочитаю подход врача: «Когда вы слышите стук копыт, ищите лошадей, а не зебр». Дело в том, что исчисление, алгебра, тригонометрия и геометрия достанутся среднему ученому очень далеко. Если вы переходите к более сложным областям, дифференциальные и линейные уравнения также очень полезны. Изучите эти области достаточно хорошо, чтобы использовать их на регулярной основе, и узнайте достаточно о других разделах математики, чтобы иметь возможность определить их полезность в случае необходимости.

PS. Если вы ищете рекомендации по книгам, мой фаворит — «Математические методы физики и инженерии » Райли, Хобсона и Бенса.

Я дам очень общий и краткий ответ на вопрос, как изучать математику и т. д.

Пропустите доказательства, но внимательно изучите определения.

Теперь я добавлю очень общее замечание, сделанное мне однажды одной мудрой женщиной: она никогда ничему не училась, читая (статью или книгу), за исключением тех случаев, когда она читала это , чтобы решить проблему, которая у нее была . Но я бы не хотел, чтобы вы думали, что это означает, что вы никогда не должны читать что-то, кроме как когда у вас есть проблема...

Актуально для ОП: «В чем разница между изучением математики так, как это делает математик, и так, как это делает физик?» Я приведу лишь две классические цитаты. Николя Бурбаки (и Андре Вейль) повторяли часто повторяемую пословицу:

«Depuis les Grecs, qui dit mathématiques dit démonstration »

Но Дирак сказал Хариш-Чандре

« Меня интересуют не доказательства, а только то, что делает Природа ».