Как физически возможно, что электрическое поле некоторых распределений заряда не затухает с расстоянием?

Вместо того, чтобы думать, что слой заряда имеет бесконечные размеры, подумайте о размерах, намного превышающих расстояние от заряда, на котором измеряется поле. Электрическое поле между параллельными пластинами конденсатора считается однородным (кроме краев), однако размеры пластин, очевидно, не бесконечны. Они настолько больше, чем расстояние между пластинами, что вы можете думать о них как о «бесконечных», условно говоря.

Поле от отдельного заряда изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния от заряда, если интегрировать вклад каждого заряда от «бесконечной» плоскости заряда, результирующее поле будет постоянным. Доказательство можно найти здесь: http://mlg.eng.cam.ac.uk/mchutchon/chargedPlanes.pdf

Надеюсь это поможет.

Во-первых, по симметрии вы ожидаете, что поле будет перпендикулярно плоскости. Все боковые компоненты отменяются.

Вы можете рассчитать поле в точке, сложив поле из всех зарядов на плоскости. Начнем с точки на расстоянии$z$из листа. Мы можем получить полное поле, интегрируя по кольцам, как показано на рисунке. Мы сосредоточимся только на одном кольце под углом$\theta$и угловая толщина$\Delta \theta$. Вычислим, что поле от этого кольца равно$\Delta E$.

Теперь мы удваиваем расстояние до$2z$и посмотрите на другое кольцо под теми же углами. Это кольцо находится в два раза дальше, но имеет вдвое большую длину окружности и вдвое большую толщину. Значит поле от него такое же$\Delta E$как прежде.

Если вы проинтегрируете все такие кольца, вы увидите, что сумма не изменится.

Это показывает, что результат правильный, но все же оставляет неприятное ощущение, что по мере приближения к набору зарядов поле от каждого из них становится больше. Таким образом, общая сумма должна стать больше. Но этого не происходит.

Рассмотрим наше исходное кольцо издалека.$z$. Теперь перейдите к$z/2$и посмотрите на то самое кольцо. Мы ближе к ней, и поле от каждого элемента в ней сильнее. Но угол изменился. Поля от элементов на противоположных сторонах приближаются к нейтрализации друг друга. Полное поле от этого кольца на самом деле меньше на более близком расстоянии. Если бы мы действительно были в самолете, поле от этого кольца было бы$0$.

Ответ прост. Это невозможно физически. Никакое распределение заряда не может распространяться без ограничений. Каждая система зарядов ограничена. Если вы находитесь дальше от плоского распределения заряда, чем его размер, электрическое поле будет ослабевать с расстоянием.

В общем, поле, ощущаемое на определенном расстоянии от определенного распределения заряда, является продуктом двух факторов:

• Сколько заряда вы видите в определенном направлении (т. е. небольшой угловой площади) и
• Как далеко этот заряд.

Второй фактор относительно прост — электрическое поле имеет$1/r^2$зависимости, так что чем дальше вы будете удаляться от распределения заряда, тем больше оно будет уменьшаться на$1/r^2$. Первый фактор более интересен.

Давайте рассмотрим, как меняется каждая из этих величин, если вы отойдете от нескольких примеров распределения заряда:

Начисление баллов :

Для точечного заряда количество заряда, которое вы видите в любом конкретном направлении, является постоянным . Точечный заряд находится либо в выбранном вами угловом конусе, либо нет, независимо от того, как далеко вы находитесь. Как мы уже говорили, удаление от распределения заряда дает вам автоматическое$1/r^2$уменьшение величины поля. Таким образом, умножение этих двух факторов дает вам$(\text{constant})\times\frac{1}{r^2}\propto 1/r^2$зависимость от расстояния.

Плата за линию :

Для платы за линию общая плата за данный сегмент линии пропорциональна длине сегмента линии . По мере удаления от линейного заряда длина отрезка, заключенного в заданный угловой конус, увеличивается линейно с расстоянием (вы можете думать об этом как о длине дуги, опирающейся на этот угол, определяемой выражением$s=r\theta$). Поскольку дальнейшее удаление приводит к увеличению длины линии, ограниченной заданным углом, то общий заряд в пределах заданного угла увеличивается линейно с расстоянием . Как и прежде, второй фактор дает вам$1/r^2$зависимости, поэтому в сумме имеем$r\times1/r^2\propto 1/r$зависимость для этого распределения.

Лист заряда :

Для листа заряда общий заряд на данном участке листа пропорционален площади участка . По мере удаления от листа площадь, ограниченная каждым угловым конусом, растет квадратично с расстоянием (мы уже видели, что ширина области, ограниченной конусом, растет линейно с расстоянием, а площадь пропорциональна квадрату ширины). Это означает, что полный заряд, заключенный в данном угловом конусе, также увеличивается квадратично с расстоянием . Итак, у нас есть$r^2\times 1/r^2\propto\text{constant}$зависимость от расстояния.

Итак, в конечном счете, постоянное поле как функция расстояния возникает из-за двух конкурирующих факторов, которые точно компенсируют друг друга для очень конкретной конфигурации заряда. Чем дальше вы двигаетесь, тем больше заряда вы видите в любом заданном направлении, но тем дальше находится этот заряд.

Наблюдатель может поставить себя на бесконечное расстояние от всех зарядов, и он получит такое же Е-поле.

Я вынужден устранить это заблуждение на тот случай, если оно лежит в основе вашего вопроса.

Когда мы решаем эту задачу для электростатического поля, результат не зависит от расстояния$r$с самолета. Ваша интуиция, кажется, подсказывает вам, что это невозможно, поскольку наблюдатель может уйти бесконечно далеко от всех зарядов. Но наблюдатель не может уйти бесконечно далеко, наблюдатель может уйти сколь угодно далеко, но$r$должно иметь значение - бесконечность не является числом, значение которого$r$могу взять.

Через предельный процесс можно осмысленно говорить о напряженности электрического поля как$r$уходит в бесконечность , но я думаю, что это концептуальная ошибка думать о бесконечном расстоянии от всех зарядов.

Моя интуиция подсказывает мне, что вы воображаете, что можно уйти достаточно далеко от плоскости, чтобы «размер» плоскости уменьшился до нуля, но это не так по условиям.

Сказать, что плоскость заряда бесконечна, значит сказать, что плоскость не имеет края. Таким образом, как бы ни было велико $r$(расстояние от плоскости) становится, края не видно.

Я полагаю, что здесь подводит ваша интуиция, и поскольку математические аргументы уже были приведены, я предложу более простой и интуитивно понятный подход.

Возьмем более-менее похожий пример, более знакомый вам, небо. Небо, откуда мы находимся, выглядит как бесконечная плоскость, это не совсем правильно, но мы можем предположить, что с нашей точки зрения и ради аргумента. Вы можете заметить, что вы не видите большего или меньшего неба, когда вы находитесь выше или ниже над землей (скажем, когда вы двигаетесь вверх и вниз внутри здания). Это потому, что плоскость, на которую мы смотрим, на самом деле имеет бесконечную протяженность. . Если это не так, вы можете увидеть, как меняется его «кажущееся измерение», как вы можете испытать на себе любой объект вашей повседневной жизни. Конечно, это простое сравнение, чтобы помочь интуиции, которая часто путается, когда речь идет о бесконечности, на самом деле это не аргумент в пользу постоянного поля, и в этом случае у нас нет лучшего подхода, чем математическое доказательство.