Когда можно написать a=v⋅dv/dxa=v⋅dv/dxa=v \cdot dv/dx?

По сути, это будет то же самое, что и ответ Джерри Ширмера, но я подумал, что вы, возможно, захотите услышать его в более математических терминах. Функция скорости$v$определяется как

$$v(t) = \dot{ x}(t)$$ Возьмем область определения функции позиции как открытый интервал $(t_1, t_2)$и предположим, что оно обладает тем свойством, что для любой точки $x_0$в диапазоне $x$, есть единственная точка $t_0$в своей области $(t_1, t_2)$такой, что $x(t_0) = x_0$. Тогда существует функция $x^{-1}$(обратное значение $x$) определяется на диапазоне $x$удовлетворяющий $$x^{-1}(x(t)) = t$$ Теперь определим функцию $\bar v$в диапазоне $x$к $$\bar v(x) = v(x^{-1}(x))$$ Здесь принято злоупотреблять обозначениями и использовать $v$на месте $\bar v$для этой функции, но давайте сохраним строгость обозначений. Тогда, с одной стороны, цепное правило дает $$\frac{d}{dt}\bar v(x(t)) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,\dot x(t) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,v(t)$$ Хотя, с другой стороны, мы используем определение $\bar v$написать $$\frac{d}{dt}\bar v(x(t)) = \frac{d}{dt} v(x^{-1}(x(t))) = \frac{dv}{dt}(t) = a(t)$$ и объединение этих наблюдений дает желаемую идентичность $$a(t) = \frac{d\bar v}{dx}(x(t))\,v(t)$$ Обратите внимание, что если мы допускаем обычное злоупотребление обозначениями, то мы можем просто записать это как $$a = v \frac{dv}{dx}$$

Это можно сделать в любом случае, когда скорость может быть записана как функция положения. Это можно сделать, если скорость непостоянна и в движении нет точек разворота. Например, рассмотрим$x = r\sin(\omega t)$,$v = \omega r \cos(\omega t)$.

Тогда у нас есть:

$$\begin{align} x &= r \sin(\omega t)\\ t &= \frac{1}{\omega}\sin^{-1}(x/r)\\ v &= \omega r \cos (sin^{-1}(x/r))\\ &= \omega \sqrt{r^{2} - x^{2}} \end{align}$$

Что является допустимым преобразованием до тех пор, пока$\sin^{-1}(x/r)$определено, что означает, что вы покрываете только правую половину единичного круга.

Как правило, полную производную можно разбить на сумму частных производных. Если ускорение$a$считается функцией только$x$и$t$, то полная производная равна

$$\begin{equation} a=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial v}{\partial t} + \frac{\partial v}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t} \end{equation}$$

Можно смело писать$\mathbf{a}=\mathbf{v}\cdot\nabla \mathbf v$, потом, когда$\partial v /\partial t=0$. Это верно, когда вы рассматриваете отдельную частицу или объект, поскольку скорость частицы в точке, где частицы не существует, не меняется. Однако для распределений частиц это различие имеет смысл.