Спиноры, пространство-время и алгебра Клиффорда

1. Причина, по которой мы обычно усложняем алгебру Клиффорда, в основном состоит в удобстве: теория представлений комплексных алгебр в целом проще, и если мы по какой-то причине позже захотим ограничиться реальными представлениями, мы всегда можем это сделать. В частности, спиноры Дирака, по крайней мере, существуют во всех измерениях, в то время как «настоящие» майорановские спиноры зависят от количества измерений и даже от подписи (в зависимости от того, что именно вы подразумеваете под «майораной»), см. также этот вопрос и ответ мой .

2. Вторая степень алгебры Клиффорда (комплексная или вещественная здесь не имеет значения) изоморфна как алгебра Ли алгебре Лоренца (или, в обобщенном варианте, обобщенной алгебре Клиффорда для метрики$\eta$имеет алгебру изометрий для этой метрики в качестве второй степени). Не «гамма-матрицы» (= генераторы алгебры Клиффорда, следовательно, в частности, элементы первой степени) порождают алгебру Лоренца, а их коммутаторы$\sigma^{ij} = [\gamma^i, \gamma^j]$. (Возможно, вы уже знаете об этом, но это обычная путаница)

3. Я не совсем уверен, что вы пытаетесь задать вопросом «инкапсулирует ли алгебра Клиффорда какое-то глобальное пространство, которому принадлежит пространство-время и пространство спиноров» , но позвольте мне указать, что четыре измерения — где можно определить первую степень алгебра Клиффорда как с пространством-временем , так и с четырехмерными спинорами Дирака - это «случайность». Представление спинора Дирака в$d$Размеры$2^{\lfloor d/2 \rfloor}$-размерный, который вы не можете отождествить с$d$-мерная первая степень алгебры в большинстве других измерений. Поэтому алгебра Клиффорда в общем смысле не «содержит» спиноров.

4. И, наконец, наиболее тангенциально, нет никакого изоморфизма$\mathrm{SO}(1,3)\cong \mathrm{SU}(2)\times \mathrm{SU}(2)$, независимо от того, как часто вы будете читать эту ложь в текстах, ориентированных на физику. См., например, этот ответ Qmechanic и связанные вопросы для получения подробной информации об отношениях между двумя группами и их алгебрами. Суть в том, что$\mathrm{su}(2)\oplus\mathrm{su}(2)$представляет собой компактную вещественную форму комплексификации$\mathrm{so}(1,3)$, значит, комплексные конечномерные представления этих алгебр эквивалентны, значит, проективные представления группы$\mathrm{SO}(1,3)$задаются эквивалентно$\mathrm{su}(2)\oplus\mathrm{su}(2)$представления. (Чтобы узнать, почему проективные представления имеют значение, см. мои вопросы и ответы )

Вот простой путь исследования, который я сам использовал, чтобы ответить на ваш вопрос...

Вы можете легко расширить алгебру Клиффорда до пространства с неплоским метрическим тензором. ЕСЛИ вы предполагаете, что все элементы объектов Клиффорда являются тензорами, и, таким образом, сам объект Клиффорда является скаляром (с тензорной точки зрения), тогда все ваши уравнения будут в целом ковариантными.

Например, вы можете сделать это, используя$Cl_{1,3}$и используя вектор электромагнитного поля. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени затем сводятся к:

$\partial F = \mu_0 J$

где

$F \equiv \partial A$

$\partial \equiv \gamma^{\mu} \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}, A \equiv \gamma^{\mu} A_{\mu}$

Теперь, чтобы добраться до спиноров, вы используете тетрады, чтобы переписать свои генераторы как линейные комбинации исходных плоских генераторов (например, матрицы Дирака), и вы снова рассматриваете каждый элемент некоторого объекта как тензоры. Затем это позволяет вам написать общековариантную версию уравнения Дирака:

$\partial \Psi = \frac{E_0}{\hbar c} \Psi \gamma^{012}$

Хитрость в расширении этого заключается в том, чтобы не забыть заменить производные «плоских» матриц Дирака ковариантными, которые используют спиновую связь. Это всего лишь уловка, которая компенсирует использование вами тетрад и смену «фрейма».

Я пропускаю много подробных шагов, но это ДЕЙСТВИТЕЛЬНО дает вам обычно ковариантное уравнение для спиноров.