Я пытаюсь составить простую концептуальную карту относительно того, что указано в заголовке, и обнаружил, что немного озадачен парой пунктов. Позвольте мне резюмировать несколько вещей, которые я считаю правдой, а затем указать то, чего я не понимаю.
Как правило, распространитель , или часто , является функцией Грина квантового оператора — оператора Шредингера, оператора Клейна-Гордона и т.п. В случае KG у нас было бы что-то вроде
Амплитуда перехода , как мне кажется, должна количественно определять вероятность того, что система, находящаяся в определенном состоянии, перейдет в другое состояние с течением времени, т.е. е. .
Интеграл по путям должны быть взаимозаменяемы с амплитудой перехода, по крайней мере, согласно некоторым моим текстам.
Я бьюсь над тем, что именно подразумевается под «амплитудой перехода» в некоторых случаях. Возьмем, к примеру, пропагатор для уравнения Клейна-Гордона,
Насколько я могу судить по форме, пропагатор уравнения КГ не является дельта-функцией (Дирака). или даже . Я на самом деле не думаю, что пункт номер 1 применим здесь.
Однако в данном случае мне не удается распознать его связь с «амплитудой перехода», потому что я обычно приравниваю такое использование, как «амплитуда перехода», к вероятности. Поскольку пропагатор КГ не является нормализованным распределением, т.е. е. не имеет формы дельта-функции, что именно она здесь должна измерять?
Обновление: с тех пор я заметил, что термин «распространитель» может использоваться несколько по-разному в разных контекстах. В частности, возвращаясь к «Современной квантовой механике» Дж. Дж. Сакурая, глава 2.5, он использует для представления того, что называется пропагатором системы Шредингера. Затем он обсуждает эквивалентный подход Фейнмана к интегралу по путям для определения . Использование , также называемый пропагатором, в квантовой теории поля, напротив, имеет, по-видимому, другое значение. теперь я понимаю не эквивалентен а скорее другое. Так что я думаю, что это проясняет некоторые важные вещи в моей голове. Если у кого-то есть что добавить или поправить, пожалуйста.
Квантовая механика и квантовая теория поля различаются тем, как они трактуют свои волновые уравнения. Использование общего термина «пропагатор» можно проследить до подхода «релятивистского волнового уравнения», т.е. е. люди действительно привыкли думать, что операторы Шредингера и КГ принадлежат к одному и тому же классу «квантовых операторов», но современная точка зрения рассматривает эти вещи как имеющие разную природу, поэтому я предлагаю вам сначала сделать то же самое. (Позже вы, возможно, захотите понять поле Шредингера в нерелятивистской КТП, прочитав главу III.5 Zee , и, если вы чувствуете себя смелым, истоки современной КТП, описанные в первом томе Вайнберга , раздел 1.2.) Соответственно , я разделю свой ответ на разделы по QFT и QM.
Квантовая механика. Предположим, вы знаете амплитуду перехода
Переставим аргументы, . Тогда вы сможете распознать в (1) интегральное представление оператора эволюции ,
Вооружившись знанием того, что дельта Дирака на самом деле является тождественным оператором, вы теперь видите, что определение функции Грина (точнее, фундаментальное решение ) линейного дифференциального оператора , ограниченный нулевыми пространственными размерами и без явного зависимость для простоты,
Интерлюдия. Вам может быть интересно прочитать раздел 2 классической статьи Фейнмана « Теория позитронов» PDF , Phys. Rev. 76 , 749 (1949) и начало раздела 2 последующего пространственно-временного подхода к квантовой электродинамике PDF , Phys. Rev. 76 , 769 (1949), которая обеспечивает связь между подходами QM и QFT, показывая, как записать разложение возмущения в для гамильтониана когда можно определить точную эволюцию по «кинетической» части но не часть "взаимодействия" , . Например, вклад первого порядка выглядит как
Фейнман впервые использовал это для мотивации своих диаграмм. Однако часть, относящаяся к самой КЭД, должна восприниматься с недоверием по причинам, изложенным в первом абзаце. Например, вам было бы очень весело объяснять, почему ограничение не применяется в КТП — Фейнман назвал это причиной античастиц .
Квантовая теория поля. Народная (в отличие от аксиоматической ) квантовая теория поля начинается с классического уравнения поля. Это и есть ваше уравнение КГ, или Дирака, или волновое уравнение: классическое уравнение, полученное из классического действия для поля. Вы можете разделить уравнение и действие на «свободную» и «взаимодействующую» части; свободная (или «кинетическая») часть обычно определяется как часть, которую вы можете точно решить — линейная часть уравнения, квадратичная часть действия. Тогда свободный пропагатор является обратным этой части. Обычно его называют для фермионных и для бозонных полей, хотя соглашения (и коэффициенты!) различаются.
Рекламировать поля операторам , используя каноническое квантование ; после некоторой боли и страданий вы обнаружите совершенно таинственный факт, что в свободной теории
Вы должны получить интеграл по путям, чтобы понять, где исходит из — однако имеет смысл, если интеграл по путям определяет корреляторы, они должны иметь предписание упорядочения: под знаком интеграла нет операторов, только числа и нет упорядочения. Вывод также убедит вас в том, что (помните, как я говорил вам не забывать о граничных условиях?)
Последний шаг — введение взаимодействий; Я оставлю это для примечаний AMS или главы I.7 Zee, но идея снова (функционально) дифференцируется под (функциональным) интегралом:
юггиб
Тримок
интуитивно понятныйфизика
Алексей Шпилькин