Тензоры и уравнение Клейна-Гордона

Question

Тензоры и уравнение Клейна-Гордона

Маурицио Барбато

Рассмотрим уравнение Клейна-Гордона :

\frac{\partial^{2} ψ}{\partial т^{2}} "=" с^{2} Δ ψ - \frac{м^{2} с^{4}}{ℏ^{2}} ψ,

$\begin{equation} \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = c^2 \Delta \psi - \frac{m^2 c^4}{\hbar^2} \psi, \end{equation}$ и определить для каждого из его решений

ψ

$\psi$ количество:

п (Икс, т) "=" ℏ^{2} \frac{\partial ψ}{\partial т} \frac{\partial ψ^{*}}{\partial т} + ℏ^{2} с^{2} \nabla ψ \cdot \nabla ψ^{*} + м^{2} с^{4} ψ ψ^{*},

$\begin{equation} P(\mathbf{x},t)= \hbar^2 \frac{\partial \psi}{ \partial t} \frac{\partial \psi^{*}}{ \partial t} + \hbar^2 c^2 \nabla \psi \cdot \nabla \psi^{*} + m^2 c^4 \psi \psi^{*}, \end{equation}$ Примем соглашение, согласно которому общая точка пространства-времени Минковского равна

(x, y, z, c t)

$(x,y,z,ct)$ . В разделе (4.6) своего замечательного трактата «Квантовая теория» Бом утверждает, что при преобразовании Лоренца

(я) $P(\mathbf{x},t)$ преобразует как (4,4)-координата тензор второго ранга,

(ii) $\int P(\mathbf{x},t) d\mathbf{x}$ преобразуется как четвертая компонента четырехмерного вектора.

Может ли кто-нибудь дать мне доказательство этих двух утверждений, пожалуйста?

ПРИМЕЧАНИЕ (1). Все, что я знаю об уравнении Клейна-Гордона, это то, что $\psi$ инвариантен относительно преобразований Лоренца, т. е. если $\psi(\mathbf{x},t)$ является решением уравнения Клейна-Гордона, то новая функция $\phi(\mathbf{x'},t')$ получается заменой уравнений лоренцевского буста $(\mathbf{x},ct) \rightarrow (\mathbf{x'},ct')$ в $\psi$ снова является решением уравнения Клейна-Гордона.

ЗАМЕТКА 2). Бом обосновывает утверждение (i), рассматривая частное решение $\psi= \exp i \left( \frac{Et-\mathbf{p} \cdot \mathbf{x} } {\hbar} \right)$ , для чего получаем

п "=" Е^{2} + п^{2} с^{2} + м^{2} с^{4} "=" 2 Е^{2},

$\begin{equation} P=E^2+p^2c^2+m^2c^4=2E^2, \end{equation}$ так что

P

$P$ превращается на самом деле как квадрат энергии.

Дж. Г.

Дважды проверьте свои знаки, а затем посмотрите, сможете ли вы обнаружить тензор

A_{μ ν}

$A_{\mu\nu}$ для которого

P = A_{t t}

$P=A_{tt}$ .

Маурицио Барбато

Извини, что ты имеешь ввиду?

Ответы (1)

Тензоры и уравнение Клейна-Гордона

Дважды проверьте свои знаки, а затем посмотрите, сможете ли вы обнаружить тензор $A_{\mu\nu}$ для которого $P=A_{tt}$ .

Фредерик Томас · Answer 1

На самом деле, $P(\mathbf{x},t)$ вы упоминаете, это 4,4-компонента тензора напряжений $T_{ik}$ месторождения Кляйн-Гордон (КГ). В дальнейшем вместо этого я буду использовать метрический тензор $\eta_{ik}=diag(1,-1,-1,-1)$ и определить $P(\mathbf{x},t)$ с 0,0-компонентой $T_{ik}$ . Бом, по-видимому, использует другую метрику. $diag(-1,-1,-1,1)$ соглашение. Более того $c=1=\hbar$ предполагается.

Начинать лучше всего с лагранжевой плотности комплекса KG: (двойные индексы суммируются, т.е. правило суммирования Эйнштейна):

л "=" \partial_{я} ф^{⋆} \partial^{я} ф - м^{2} ф^{⋆} ф

$L = \partial_i \phi^\star \partial^i \phi - m^2 \phi^\star \phi$

Для сложного поля $\phi$ и $\phi^\star$ рассматриваются как независимые переменные. Определение тензора напряжений дается следующим образом:

Т_{я к} "=" \sum_{ф} ф_{, к} \frac{\partial л}{\partial ф^{, я}} - л η_{я к}

$T_{ik}=\sum_{\varphi}\varphi_{,k}\frac{\partial L}{\partial \varphi^{,i}} -L\eta_{ik}$

с $\varphi = (\phi, \phi^\star)$ .

Подставив выражение для лагранжевой плотности поля КГ в определение тензора напряжений, получим:

Т_{я к} "=" \partial_{я} ф^{⋆} \partial_{к} ф + \partial_{к} ф^{⋆} \partial_{я} ф - л η_{я к}

$T_{ik} = \partial_i\phi^\star \partial_k\phi + \partial_k\phi^\star \partial_i\phi -L\eta_{ik}$

Тензорное свойство $T_{ik}$ довольно очевидно, так как частные производные $\partial_i$ соответственно $\partial_k$ преобразуйте как ковариантные векторы и $\eta_{ik}$ также является тензором. Это в особенности справедливо для $(i,k)=(0,0)$ -компонент:

Т_{00} "=" 2 \frac{\partial ф^{⋆}}{\partial т} \frac{\partial ф}{\partial т} - л "=" \frac{\partial ф^{⋆}}{\partial т} \frac{\partial ф}{\partial т} + \nabla ф^{⋆} \nabla ф + м^{2} ф^{⋆} ф \equiv п (Икс, т)

$T_{00} = 2\frac{\partial\phi^\star}{\partial t}\frac{\partial\phi}{\partial t} -L=\frac{\partial\phi^\star}{\partial t}\frac{\partial\phi}{\partial t}+\nabla\phi^\star\nabla\phi + m^2\phi^\star \phi\equiv P(\mathbf{x},t)$

4-импульсный вектор $P_i$ дает:

п_{я} "=" \int_{\partial Ом} Т_{я к} г о^{к}

$P_i = \int_{\partial\Omega} T_{ik} d\sigma^k$

где $d\sigma^k$ векторный элемент гиперповерхности, который параметризуется значениями $(u,v,w)$ :

г о_{я} "=" ϵ_{я Дж к м} \frac{\partial {Икс}^{Дж}}{\partial ты} \frac{\partial {Икс}^{к}}{\partial в} \frac{\partial {Икс}^{м}}{\partial ж} г ты г в г ж

$d\sigma_i =\epsilon_{ijkm}\frac{\partial x^j}{\partial u}\frac{\partial x^k}{\partial v}\frac{\partial x^m}{\partial w}du dv dw$

Если теперь гиперповерхность $t=const$ выбирается, в качестве параметров $(u,v,w)=(x,y,z)\equiv(x^1,x^2,x^3)$ может быть использован:

г о_{я} "=" ϵ_{я Дж к м} {дельта}_{1}^{Дж} {дельта}_{2}^{к} {дельта}_{3}^{м} г {Икс}^{1} г {Икс}^{2} г {Икс}^{3} "=" ϵ_{я, 1, 2, 3} г^{3} Икс "=" (г^{3} Икс, 0)

$d\sigma_i =\epsilon_{ijkm}\delta^j_1\delta^k_2\delta^m_3 dx^1 dx^2 dx^3= \epsilon_{i,1,2,3}d^3x = (d^3x,\mathbf{0})$

поэтому мы получаем для этой конкретной гиперповерхности $t=const$ :

п_{я} "=" \int_{т "=" с о н с т} Т_{я 0} г^{3} Икс

$P_i = \int_{t=const} T_{i0} d^3x$

Можно показать, что $P_i$ рассматривается на другой гиперповерхности $\partial\Omega$ которая преобразована Лоренцем относительно исходной гиперповерхности $t=const$ имеет такое же значение, если вычисляется по более общей формуле:

п_{я} "=" \int_{\partial Ом} Т_{я к} г о^{к}

$P_i = \int_{\partial\Omega} T_{ik} d\sigma^k$

Но из-за ковариантного способа записи ясно, что $P_i$ является 4-вектором (но это уже не будет верно в искривленном пространстве-времени) и, в частности,

п_{0} "=" \int_{т "=" с о н с т} Т_{00} г^{3} Икс \equiv \int_{т "=" с о н с т} п (Икс, т) г^{3} Икс

$P_0 = \int_{t=const} T_{00} d^3x \equiv \int_{t=const}P(\mathbf{x},t) d^3x$

0-компонента 4-вектора $P_i$ (4-вектор импульса), энергия поля КГ.

Дорогой Фредерик, большое вам спасибо за то, что вы ответили на мой вопрос: я бы никогда не сделал этого сам! Я добавляю здесь единственный недостающий шаг, необходимый для обоснования утверждения, что $P_i$ можно вычислить по общей формуле, которую вы привели выше. Отметим, что $T_{ik}$ имеет нулевую дивергенцию, т. $\partial^{k} T_{ik}=0$ , как это немедленно проверяется с помощью уравнения Клейна-Гордона для $\phi$ и $\phi^{*}$ . Тогда ваше утверждение вытекает из общего аргумента, приведенного в Møller, Theory of Relativity, $\S 63$ или Паули, Теория относительности, $\S 21$ .
Пожалуйста. Утверждение, на которое вы ссылаетесь в своем комментарии, заключается в том, что $P_i$ имеет то же значение, если гиперповерхность $t=const$ преобразуется Лоренцем в другую гиперповерхность $\partial\Omega$ при расчете по более общей формуле?

Тензоры и уравнение Клейна-Гордона

Маурицио Барбато

Дж. Г.

Маурицио Барбато

Ответы (1)

Фредерик Томас

Маурицио Барбато

Фредерик Томас

Маурицио Барбато

Внутренний продукт Кляйна-Гордона: как сделать его реальным

Что не так с версией уравнения Клейна-Гордона с квадратным корнем?

Откуда берутся волновые функции частицы и античастицы в уравнении Клейна-Гордона?

Можно ли полностью заключить релятивистскую квантовую частицу в конечную дырку?

Можем ли мы вывести уравнение Шредингера из уравнения Клейна-Гордона?

Действительно ли релятивистская квантовая механика (РКМ) нарушает причинно-следственную связь?

Пределы, используемые для нахождения неотносительного предела уравнения Клейна-Гордона

Есть ли причина, по которой релятивистская квантовая теория одного фермиона существует, а одного скаляра нет?

Разделение уравнения Клейна-Гордона/Дирака (механика Бома)

Как найти функции Грина для нестационарного неоднородного уравнения Клейна-Гордона?