(−1)2j(−1)2j(-1)^{2j} в теореме о спиновой статистике - Вайнберг/Новожилов/и т.д.

Я не вижу, как мы можем предпочтительно умножать$(-1)^{2j}$к$e^{-ip(x-y)}$только срок

Потому что это источник теоремы о спиновой статистике. Оно исходит из требования причинности
теории . И термин, который вызовет проблему в этом случае, — это пространственно-подобный термин.
$x-y$.

Для того чтобы теория была причинной, нельзя изменить порядок физических событий, влияющих на эволюцию системы, во времени. Это особенно проблематично для пространственно-подобных разделений, где ускорение Лоренца может изменить хронологический порядок.$t_{\mathrm{final}} - t_{\mathrm{initial}} < 0$. Для соблюдения причинности любые два пространственно-подобных разделенных оператора должны коммутировать:

$$\begin{equation} [\mathcal{O}_1(x), \mathcal{O}_2(y)] = 0 \quad \text{if} \quad (x-y)^2 < 0, \quad g_{\mu \nu} = (+,-,-,-), \end{equation}$$ чтобы гарантировать, что их временной порядок не имеет значения и не приводит к каким-либо физическим последствиям.

Потому что операторы$\mathcal{O}(x)$обычно являются просто продуктом$\prod_i \psi_i(x)$, требующий$[\mathcal{O}_1(x), \mathcal{O}_2(y)]=0$то же самое, что требовать$\left [ \psi_A(x), \psi_B(y)\right ] = 0$.

Конкретный случай пространственноподобной конфигурации обсуждается на стр. 237 Вайнберга:

Для$x-y$подобно пространству, мы можем принять репер Лоренца, в котором$x^0=y^0$, и напишите уравнение (5.7.19) как [...]. Чтобы это исчезло, когда$\mathbf{x}\neq\mathbf{y}$мы должны иметь ...

и тогда Вайнберг доходит до$2j \in \mathbb{N}$.

Итак, за четыре месяца не произошло никаких изменений, и я считаю, что у меня есть ответ, который я искал. На всякий случай, если кто-то еще столкнется с проблемой, которую я сделал, я рискну опубликовать свой собственный ответ.

Основная проблема заключается в том, что$(-1)^{2j}$термин, происходящий из ковариационной алгебры Лоренца. Для этого я полагаюсь на «Правила Фейнмана для любого спина» Вайнберга, Phys Rev 1964 B1318 1964 , Стритера и Вайтмана «PCT, Spin, Statistics, and All That» Princeton University Press, 1980, стр. 14–16, и «Введение в Теория поля элементарных частиц» , Pergamon Press, 1975, стр. 75–77.

Начиная с Вайнберга, мы хотим построить наши операторы рождения и уничтожения и, следовательно, наши поля лоренцево-ковариантным способом. Он делает это, заставляя операторы подчиняться преобразованиям в собственной однородной ортохронной группе Лоренца.

$$x^\mu\rightarrow \Lambda^\mu_{\space\space\nu}x^\nu = g_{\lambda\rho}$$ $$g_{\mu\nu}\Lambda^\mu_{\space\space\nu}\Lambda^\nu_{\space\space\rho} \tag{Weinberg (W) 2.1}$$ $$det\Lambda=1; \Lambda^0_{\space\space 0}>0$$

В нотации суммирования Эйнштейна.

За каждое преобразование$\Lambda$соответствует унитарный оператор, действующий в гильбертовом пространстве, с групповым свойством

$$U[\Lambda_2]U[\Lambda_1]=U[\Lambda_2\Lambda_1] \tag{W 2.3}$$

Далее мы опишем действие этих$U[\Lambda]$на одну частицу$|\textbf{p},\sigma\big>$состояния. Сначала мы определяем эти состояния как результат повышения ($\Lambda = L(\textbf{p})$который переводит покоящуюся частицу массы m в импульс$\textbf{p}$) в состоянии покоя$|\sigma\big>$

$$|\textbf{p},\sigma\big> = [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[L(\textbf{p})]|\sigma\big> \tag{W 2.6}$$

Это позволяет нам увидеть, как эти состояния должны трансформироваться при произвольном$\Lambda$

$$\begin{align*} U[\Lambda]|\textbf{p},\sigma\big> &= [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[\Lambda]U[L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &=[m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}U[L(\Lambda\textbf{p})]U[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &= [m/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}U[L(\Lambda\textbf{p})]|\sigma'\big>\times \big<\sigma'|U[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]|\sigma\big> \\ &=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}|\Lambda\textbf{p},\sigma'\big>\times D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})] \end{align*} \tag{W 2.8}$$

$L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})$на самом деле чистое вращение$R$, также известное как «вращение Вигнера», и т.$D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]$здесь$2j+1$размерные унитарные матричные представления группы вращений.

Чтобы теперь утверждать лоренцеву ковариантность полей, мы говорим, что их операторы рождения и уничтожения преобразуются, как указано выше:

$$U[\Lambda]a^*(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\Lambda\textbf{p})\Lambda L(\textbf{p})]a^*(\Lambda\textbf{p},\sigma')\tag{W 2.11}$$

И с приставкой:

$$U[\Lambda]a(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})]a(\Lambda\textbf{p},\sigma')\tag{W 2.12}$$

Крайне важно, чтобы их формы совпадали, поскольку решение моей проблемы заключается в манипулировании этими матричными коэффициентами.$D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[L(\textbf{p})]$и их кросс-произведения в конечном (анти)коммутаторе. Таким образом, нам нужно внести следующие изменения, используя:

$$\begin{align*} &D^{(j)}[R]^*=CD^{(j)}[R]C^{-1} \\ &D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]=\{CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'} \end{align*} \tag{W 2.13,2.15}$$

Мы трансформируем$W 2.11$в

$$\begin{align*} &U[\Lambda]a^*(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda] \\ &=[\omega(\Lambda\textbf{p})/\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}\{CD^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}a^*(\Lambda\textbf{p},\sigma') \end{align*}\tag{W 2.16}$$

Сейчас$b^*(\textbf{p},\sigma)$трансформируется как$a^*(\textbf{p},\sigma)$, поэтому мы можем использовать$W 2.16$для оператора рождения античастиц и$W 2.12$для$a(\textbf{p},\sigma)$, оператор уничтожения частиц.

Далее Вайнберг формирует нашу$(j,0)$представление из стандартных сумм Лоренца$K$и$J$операторов, что приводит нас к следующему полезному тождеству:

$$D^{(j)}[\Lambda]=\bar{D}^{(j)}[\Lambda^{-1}]^\dagger \tag{W 2.38}$$

Далее мы используем свойство группы$\{W 2.3\}$группы Лоренца, чтобы разделить вигнеровские вращения, фигурирующие в наших формулах, на три части

$$D^{(j)}[L^{-1}(\textbf{p})\Lambda^{-1} L(\Lambda\textbf{p})] = D^{(j)-1}[L(\textbf{p})]D^{(j)}[\Lambda^{-1}]D^{(j)}[L(\Lambda\textbf{p})]$$

Позволяет нам написать наши предыдущие законы преобразования$\{W 2.12\}$и$\{W 2.16\}$как:

$$\begin{align*} &U[\Lambda]\alpha(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\Lambda^{-1})]\alpha(\Lambda\textbf{p},\sigma') \\ &U[\Lambda]\beta(\textbf{p},\sigma)U^{-1}[\Lambda]=\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\Lambda^{-1})]\beta(\Lambda\textbf{p},\sigma') \\ &\alpha(\textbf{p},\sigma)\equiv[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]a(\textbf{p},\sigma') \\ &\beta(\textbf{p},\sigma)\equiv[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}\sum_{\sigma'}\{D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}b^*(\textbf{p},\sigma') \end{align*}$$

Остался еще один шаг Вайнберга. Мы выражаем наше поле как преобразование Фурье суммы лоренц-инвариантных операторов рождения и уничтожения$\alpha$и$\beta$, а затем подставьте обратно вместо$a$и$b^*$:

$$\psi_{\sigma}(x)=\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int\frac{d^3\textbf{p}}{[2\omega(\textbf{p})]^{1/2}}\sum_{\sigma'}\left[\xi D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]a(\textbf{p},\sigma')e^{ip\cdot x}+\eta\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}b^*(\textbf{p},\sigma')e^{-ip\cdot x}\right]$$

(Анти)коммутатор, который нам нужен:$[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm$, теперь будет возвращать только такие термины, как:$D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]D_{\sigma,\sigma'}^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger$для случая частицы «а» и такие термины, как:$\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}^\dagger_{\sigma,\sigma'}$для случая античастиц «б».

Возвращаясь к$\{W 2.15\}$, у нас есть:

$$\begin{align*} &D_{\sigma',\sigma}^{(j)}[R]=\{CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'} \\ &\{C^{-1}D^{(j)}[R]C\}_{\sigma,\sigma'}=\{C^{-1}CD^{(j)}[R^{-1}]C^{-1}C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &\{C^{-1}D^{(j)}[R]C\}_{\sigma,\sigma'}=D^{(j)}[R^{-1}]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Теперь мы можем сгруппировать члены из случая античастиц следующим образом:

$$\begin{align*} &\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}^\dagger_{\sigma,\sigma'} \\ &=\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C^{-1\dagger}\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]C^{-1}\}_{\sigma,\sigma'}\{D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\{C^{-1}D^{(j)}[L(\textbf{p})]^\dagger C\}_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})^{-1}]^\dagger_{\sigma,\sigma'} \\ &=D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$ Где последним шагом было применение$\{W 2.38\}$. Это дает нам теперь для (анти)коммутатора форму, подобную:

$$[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\left[|\xi|^2 D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}e^{ip\cdot (x-y)}+|\eta|^2D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right]$$

Обратимся теперь к Новожилову, который в своей номенклатуре указывает, что:

$$D^J(\frac{p}{m})=e^{\frac{\beta(\textbf{J}\cdot\textbf{p})}{|\textbf{p}|}}, \theta^i=\beta\frac{p^i}{|\textbf{p}|} \tag{Novozhilov 4.80}$$ Это та же форма, что и в$\{W 2.39, 2.40\}$, где

$$\begin{align*} &D^{(j)}[L(\textbf{p})] = e^{-\hat{p}\cdot\textbf{J}^{(i)}\theta} \tag{W 2.39} \\ &\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})] = e^{+\hat{p}\cdot\textbf{J}^{(i)}\theta} \tag{W 2.40} \end{align*}$$

Это означает, что по групповому свойству мы можем выполнить следующее:

$$D^{(j)}[L(\textbf{p})]\bar{D}^{(j)}[L(\textbf{p})]\equiv D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(\frac{-p}{m})=D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(\frac{p}{m})D^{J}(-1)$$

Оставив нас с

$$\begin{align*} &[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\Pi(\textbf{p})\left[|\xi|^2 e^{ip\cdot (x-y)}\pm|\eta|^2{D}^{(j)}[-1]_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right] \\ &\Pi(\textbf{p}) \propto D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Новожилов прямо заявляет, что$D[-1]=(-1)^{2j}$ $\{page 77, in text\}$, но останавливается, не доходя до того, почему. Здесь я обращаюсь к Стритеру и Вайтману. В своей книге PCT, Spin and Statistics, and All that $(2000)$, стр. 15, они устанавливают форму для этих матриц$D^{(j)}$:

«Рассмотрите набор величин$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_j}$, где$\alpha$'песок$\dot{\beta}$принимают значения 1 и 2, и$\xi$симметричен относительно перестановок$\alpha$, а также при перестановках$\dot{\beta}$с. Для каждого$A\in SL(2,C)$мы определяем линейное преобразование$\xi$согласно

$$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}A_{\alpha_1\rho_1}...A_{\alpha_j\rho_j}\bar{A}_{\dot{\beta}_1\dot{\sigma}_1}...\bar{A}_{\dot{\beta}_k\dot{\sigma}_k}\xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$$ [Точка над индексом просто означает, что этот индекс трансформируется в соответствии с$\bar{A}$вместо$A$; символ ($\rho$) означает$\rho_1...\rho_j$; символ ($\dot{\sigma}$) для$\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k$] Это представление группы SL(2,C) обычно обозначается$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},\frac{k}{2})}$. Каждое неприводимое представление эквивалентно одному из них».

Отсюда, если рассматривать случай с$A\longrightarrow(-1)$и$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},0)}(A)\equiv D^{\frac{j}{2}}(A)$, то мы видим, что это преобразование сводится к умножению на обратную единичную матрицу$\textbf{-1}$j раз.

мы получаем$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}-1_1\times...-1_j \xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$или

$$\xi_{\alpha_{1}...,\alpha_{j},\dot{\beta}_1...\dot{\beta}_k} \longrightarrow \sum\limits_{(\rho)(\dot{\sigma})}(-1)^j \xi_{\rho_{1}...,\rho_{j},\dot{\sigma}_1...\dot{\sigma}_k}$$

На данный момент существует разница в обозначениях: Стритер и Вайтман используют$\frac{j_{integer}}{2}$обозначить свои представления, а Вайнберг и Новожилов — с помощью$j$целое или полуцелое. Поскольку они функционально эквивалентны, то$\mathfrak{D}^{(\frac{j}{2},0)}(-1)_{Streater}\equiv D^{j}(-1)_{Weinberg}\equiv (-1)^{2j}$.

И, наконец, это приводит нас к результату:

$$\begin{align*} &[\psi_{\sigma}(x),\psi^\dagger_{\sigma'}(y)]_\pm=\frac{1}{(2\pi)^3}\int\frac{d^3\textbf{p}}{2\omega(\textbf{p})}\Pi(\textbf{p})\left[|\xi|^2 e^{ip\cdot (x-y)}\pm|\eta|^2(-1)^{2j}_{\sigma,\sigma'}e^{-ip\cdot (x-y)}\right] \\ &\Pi(\textbf{p}) \propto D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'}D^{(j)}[L(\textbf{p})]_{\sigma,\sigma'} \end{align*}$$

Подводя нас прямо к выводу, что всегда так:$|\xi|^2=(-1)\pm|\eta|^2(-1)^{2j}=\mp|\eta|^2(-1)^{2j}$, теорема о спиновой статистике.