Зависимость энергии ЭЭЭ с главным квантовым числом nnn

Question

пользователь157588

Есть ли способ сказать, как энергетические уровни потенциальной ямы зависят от квантового числа? $n$ , глядя на потенциал, прежде чем решать?

Я имею в виду, для гармонического осциллятора, $E\sim n$ , для бесконечного квадратного колодца, $E\sim n^2$ , так можно ли угадать, как это было бы для степенного потенциала $\sim x^p$ , где $p$ есть какая-то сила?

Qмеханик · Answer 1

Можно показать, используя полуклассические методы ВКБ, объясненные, например, в моем ответе Phys.SE здесь , что дискретные уровни энергии идут как

Е_{н} \propto с г н (п) н^{\frac{1}{1 / п + 1 / 2}}, н е Н,

$E_n ~~\propto~~{\rm sgn}(p)~ n^{\frac{1}{1/p+1/2}}, \qquad n\in\mathbb{N},$ для одномерного потенциала

Φ (Икс) \propto с г н (п) | Икс |^{п}, - 2 < п \leq \infty .

$\Phi(x)~~\propto~~{\rm sgn}(p)~|x|^p, \qquad -2~<~p~\leq~\infty .$

Нет ли способа показать это непосредственно из уравнения Шредингера? Боюсь, я еще не знаком с методами ВКБ.
FWIW, WKB является полуклассическим приближением к уравнению Шрёдингера.