Предел эффекта Оберта при пролете сверхмассивной черной дыры

Question

Предел эффекта Оберта при пролете сверхмассивной черной дыры

Алан Роминджер

Чтобы прояснить этот вопрос, вот подробности ситуации, которую я хочу развлечь.

Космический корабль выполняет силовую гравитационную помощь, запуская двигатели при близком приближении к телу.
Мы все должны знать, что вращающиеся черные дыры могут напрямую воздействовать на прохожих, и как из-за акцента на сверхмассивности, так и для математической простоты я хотел бы принять стандартную черную дыру Шварцшильда:
Лучше всего предположить, что космический корабль стартует с $v_{infinity}=0$ , то есть его входная скорость перед входом в гравитационный колодец предполагается минимальной.
Космический корабль приближается как можно ближе, не падая, или, как бы близко он ни был, достигается максимальный эффект Оберта .
я хочу конвертировать $\Delta v$ двигатели космического корабля генерируют до конечного $V$ после того, как он покинул гравитационный колодец.

Подводя итог, я хочу какое-то выражение для релятивистского эффекта Оберта, которое применимо в самом крайнем случае.

Предварительное мышление

Предыдущий вопрос:

Что происходит с орбитами малых радиусов в общей теории относительности?

Я предполагаю, что логичным подходом было бы следовать тому же подходу, что и при вычислении эффекта Оберта для параболической орбиты на основе энергетического баланса. Но если вы станете слишком релятивистом, гравитация и кинетическая энергия могут стать довольно сложными, вот гравитация:

В (р) "=" - \frac{г М м}{р} + \frac{л^{2}}{2 мю р^{2}} - \frac{г (М + м) л^{2}}{с^{2} мю р^{3}} .

$V(r)=-{\frac {GMm}{r}}+{\frac {L^{2}}{2\mu r^{2}}}-{\frac {G(M+m)L^{2}}{c^{2}\mu r^{3}}}.$

Я также мог предположить, что оптимальным подходом является радиус IBCO, равный 3/2 радиуса Шварцшильда. Но это все еще оставляет довольно много вещей для подключения, и я сомневаюсь в правильности подхода в целом.

Черт возьми, просто чтобы показать это, скажем, я использую нерелятивистское уравнение Оберта, предполагая расстояние подхода IBCO:

В "=" Δ в \sqrt{1 + \frac{2 В_{выход}}{Δ в}} "=" Δ в \sqrt{1 + \sqrt{\frac{г М}{3 / 2 р_{с}}} \frac{2}{Δ в}} "=" Δ в \sqrt{1 + \frac{2 с}{3 \sqrt{3} Δ в}} .

$V=\Delta v{\sqrt {1+{\frac {2V_{\text{esc}}}{\Delta v}}}} =\Delta v{\sqrt {1+{ \sqrt{\frac{GM}{3/2 r_s}} \frac {2}{\Delta v}}}} =\Delta v{\sqrt {1+ { \frac {2 c}{3 \sqrt{3} \Delta v}}}}.$

Это дало бы множитель примерно в 100 раз для скорости горения 10 км/с. Но это почти наверняка неправильно, если применяется за пределами области его применимости.

Джон Дворжак

Механические нагрузки, которым подвергнется ваш корабль, будут... значительны.

Кит МакКлэри

Это тот же принцип, что и в механизме Хиллса . Скорость убегания

\approx \sqrt{v Δ v}

$\approx \sqrt{v \Delta v}$ , с

Δ v

$\Delta v$ как вы это определяете и

v

$v$ скорость в потенциальной яме.

PM 2Кольцо

Я не думаю, что игнорировать вращение черной дыры — хорошая идея, поскольку она, вероятно, будет очень большой. См. диаграмму в конце этого ответа: astronomy.stackexchange.com/a/20292/16685 .

Ответы (1)

Предел эффекта Оберта при пролете сверхмассивной черной дыры

Механические нагрузки, которым подвергнется ваш корабль, будут... значительны.
Это тот же принцип, что и в механизме Хиллса . Скорость убегания $\approx \sqrt{v \Delta v}$ , с $\Delta v$ как вы это определяете и $v$ скорость в потенциальной яме.
Я не думаю, что игнорировать вращение черной дыры — хорошая идея, поскольку она, вероятно, будет очень большой. См. диаграмму в конце этого ответа: astronomy.stackexchange.com/a/20292/16685 .

Андерс Сандберг · Answer 1

Меня также интересует ответ на этот вопрос, вот как далеко я продвинулся:

Космический корабль следует геодезической, и если он совершает импульсный толчок в какой-то точке, то теперь он будет следовать из этой точки по другой геодезической, но с другой 4-скоростью. Входящая траектория начинается со скоростью $v_0$ на бесконечности, а новый заканчивается со скоростью $v_1$ , поэтому общее повышение Оберта равно $|v_1-v_0|$ .

Стандартные уравнения учебника для времениподобных геодезических Шварцшильда:

\frac{г т}{г т} "=" \frac{Е}{м с^{2}} \frac{1}{1 - \frac{р_{с}}{р}}

$\frac{dt}{d\tau}=\frac{E}{mc^2}\frac{1}{1-\frac{r_s}{r}}$

\frac{г θ}{г т} "=" \frac{л}{М} \frac{1}{р^{2}}

$\frac{d\theta}{d\tau} = \frac{L}{M}\frac{1}{r^2}$

{(\frac{г р}{г т})}^{2} "=" \frac{Е^{2}}{м^{2} с^{2}} - (1 - \frac{р_{с}}{р}) (с^{2} + \frac{л^{2}}{М^{2}} \frac{1}{р^{2}})

$\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2 = \frac{E^2}{m^2c^2} - \left(1-\frac{r_s}{r}\right)\left(c^2+\frac{L^2}{M^2}\frac{1}{r^2}\right)$ где

E

$E$ это энергия ремесла,

L

$L$ его угловой момент,

r_{s}

$r_s$ радиус Шварцшильда,

M

$M$ масса центрального тела и

τ

$\tau$ подходящее время. Масса космического корабля

m ≪ M

$m\ll M$ .

Эффективный потенциал

В (р) "=" - \frac{г М м}{р} + \frac{л^{2}}{2 г М р^{2}} - \frac{л^{2}}{с^{2} р^{3}} :

$V(r)=-\frac{GMm}{r}+\frac{L^2}{2GMr^2} -\frac{L^2}{c^2r^3}:$ частица движется как

\frac{1}{2} м {(\frac{г р}{г т})}^{2} "=" [\frac{Е^{2}}{2 м с^{2}} - \frac{м с^{2}}{2}] + В (р) .

$\frac{1}{2}m\left(\frac{dr}{d\tau}\right)^2=\left[\frac{E^2}{2mc^2} - \frac{mc^2}{2}\right] + V(r).$ Он допускает различные типы орбит в зависимости от (

E, L

$E,L$ ). Нас волнуют те, которые не имеют границ ни в прошлом, ни в будущем.

E

$E$ должно быть больше, чем

m c^{2}

$mc^2$ (иначе он не может уйти в бесконечность).

Итак, для совершения маневра сбрасываем корабль из бесконечности в сторону дыры. Он начинается со скорости

в_{0} "=" \sqrt{\frac{Е^{2}}{м^{2} с^{2}} - с^{2}}

$v_0=\sqrt{\frac{E^2}{m^2c^2}-c^2}$ в

r = \infty

$r=\infty$ . Он приближается до тех пор, пока правая часть уравнения движения не станет равной нулю при

r_{t u r n} (E, L)

$r_{turn}(E,L)$ . В этот момент мы изменим скорость, чтобы получить

E^{'}, L^{'}

$E',L'$ и корабль уходит в бесконечность; вычисляем его скорость

в_{1} "=" \sqrt{\frac{Е^{' 2}}{м^{2} с^{2}} - с^{2}}

$v_1 = \sqrt{\frac{E'^2}{m^2c^2}-c^2}$ и будет наш ответ

v_{1} - v_{2}

$v_1-v_2$ .

Часть, где я застрял, - это как рассчитать, что $E',L'$ подразумеваются разные повышения. Также изменятся реалистичные бусты $m$ к $m'$ если выброшенная масса значительна.

Предел эффекта Оберта при пролете сверхмассивной черной дыры

Алан Роминджер

Предварительное мышление

Джон Дворжак

Кит МакКлэри

PM 2Кольцо

Ответы (1)

Андерс Сандберг

Что происходит, когда стабильная орбитальная скорость приближается к скорости света?

Почему орбиты вокруг черных дыр стабильны?

Почему Эйнштейн ошибался насчет черных дыр?

Негеодезическая круговая орбита? [закрыто]

Возможна ли стабильная орбита внутри эргосферы керровской (вращающейся) черной дыры?

Что-то не так с этим численным моделированием орбит фотонов Шварцшильда?

Проблема кривизны пространства-времени, черных дыр и планетарных орбит

Может ли заряженная (вероятно) двойная система черных дыр (ЧДД) находиться на стабильной круговой орбите (SCO)?

3PN и постньютоновское приближение Шварцшильда более высокого порядка

Какова связь между орбитальной скоростью и скоростью убегания в сильно релятивистских ситуациях?