ϕ4ϕ4\phi^{4} теория

Я думаю, предложение, которое вы цитируете, призвано дать приблизительное представление об интуитивном значении$\phi^4$термин, не подлежащий проверке расчетным путем.

1. Решение свободной теории (без члена взаимодействия) определяет такие вещи, как «частицы» и пропагаторы.$a^\dagger$как определено в расширении свободной теории, создает свободную частицу. Обычно, если вы рассматриваете процесс рассеяния, до того, как произойдет фактическое рассеяние, частицы считаются свободными.

2. Они все еще там. Обычно разложение делаешь не по лагранжиану, а когда записываешь амплитуду рассеяния. Тогда сокращения операторов создателя и аннулятора приведут к коммутаторам, которые будут создавать дельта-распределения, потребляющие интегралы импульса.

3. Не уверен, правильно ли я понял вопрос, но если вы посмотрите на правила Фейнмана для различных членов лагранжиана, вы увидите, что$\phi^4$член соответствует вершине с четырьмя ножками, а свободный лагранжиан (квадратичный по полю) соответствует пропагатору с двумя ножками. Таким образом, количество ножек в правиле Фейнмана соответствует мощности поля в соответствующем члене.

Давайте посмотрим на комментарий Тонга в контексте, под которым я подразумеваю начать читать главу 3 с самого начала.

Он обсуждает взаимодействующие поля и начинает с написания лагранжиана, имеющего произвольно большие степени$\phi$. Однако, поскольку в$4$-мерное пространство-время энергетическое измерение$\lambda_n$является$4-n$, следует, что$\lambda_n$с$n>4$подавляются при низких энергиях, т.е.$\lambda_n=g_n\Lambda^{4-n}$с$\Lambda$Энергетическая шкала новой физики. Таким образом, при энергии$E\ll \Lambda$мы получаем$\lambda_n\propto \left(\frac{E}{\Lambda}\right)^{n-4}$, что мало для$n>4$. Это наблюдение мотивирует классификацию коэффициентов как релевантных, маргинальных или нерелевантных, если их энергетические измерения соответственно положительны, равны нулю или отрицательны. (Термин «релевантный» означает «доминирующий в масштабах, которые мы исследовали»; «маргинальный» означает «независимый от масштаба, таким образом, доминирующий ни при высоких, ни при низких энергиях».) Тонг отмечает, что только конечное число терминов является релевантным или маргинал упрощает QFT.

Затем мы переходим к комментарию, о котором вы спрашивали, в котором он обсуждает, как несколько теорий ($\phi^4$будучи первым) ведут себя при малых возмущениях. Он выбросил неактуальные муфты, но$\phi^4$был сохранен и является единственным таким термином, который также не присутствует в случае свободных полей. Мы восстанавливаем случай свободного поля как$\lambda_4\to 0$, Итак$\phi^4$теория с небольшим$\lambda_4$возмущение вокруг теории свободного поля, что делает ваше интегральное представление$\phi$примерно годно. Точное выражение для$\phi$поэтому добавляет некоторые$\lambda_4$-зависимые члены, которые по сравнению с исходным интегралом весьма малы. Поэтому все же разумно подумать о том, что происходит с матричными элементами мономов лестничных операторов.

1. Вы переключаетесь на квантовомеханическую «картину взаимодействия», в которой операторы задаются в терминах статических операторов Шредингера как ($H_0$- свободный гамильтониан,$H_I$- член взаимодействия,$H=H_0+H_I$полный гамильтониан):

$$A_I = e^{iH_0t}A_Se^{-iH_0t}$$

и состояния задаются в терминах статических состояний Гейзенберга как:

$$|\psi_I(t)\rangle = e^{iH_0t}e^{-i(H_0+H_I)t}|\psi_H\rangle.$$

Затем вы можете показать, что$U_{int} \equiv e^{iH_0t}e^{-i(H_0+H_I)t}$дается расширением серии Dyson в$H_I$:

$$U_{int} = \exp\left(-i\int e^{iH_0t}H_Ie^{-iH_0t}\ dt\right)$$

и мы обычно говорим$H_{int} \equiv e^{iH_0t}H_Ie^{-iH_0t}$. Это находится в разделе 3.1 заметок Дэвида Тонга, но в разделе 4.2 Пескина и Шредера есть более подробное обсуждение, которое я нашел полезным.

2. Вы расширяетесь$U_{int}$как «серия Дайсона»:

$$U_{int} = 1 - i\int dt' H_{int}(t') + (-i)^2 \int dt' \int dt'' H_{int}(t') H_{int}(t'') + \cdots$$

The $n$й член в этом ряду соответствует семейству диаграмм Фейнмана, все с$n$вершины.

3. Это не так, они просто приводят к нелинейному уравнению движения.$\phi^2$члены дают линейные члены в уравнении Клейна-Гордона, поэтому вы можете просто посмотреть на решения для плоских волн (и вы обнаружите, что эти$\phi^2$члены по существу порождают массовый член в дисперсионном соотношении). Если вы хотите изучить более сложное поведение, которое мы обычно называем «взаимодействием», вам нужны более высокие полномочия.