Алгоритм Шора и механика Бома

Возможно, вам захочется ознакомиться с моей статьей «Квантовые вычисления и скрытые переменные », где я показал, что в дискретных теориях скрытых переменных вроде механики Бома вычисление всей траектории скрытой переменной, вероятно, является неразрешимой проблемой даже для «стандартного» квантовый компьютер — и позволит нам эффективно решать определенные проблемы, такие как изоморфизм графов, для которых, как известно, нет эффективных квантовых алгоритмов. (Этот результат, вероятно, распространяется на саму бомовскую механику, но здесь есть запутанные вопросы формализации.) Что делает это удивительным, так это то, что квантовый компьютер может легко выбрать любую индивидуальную точку .в траектории со скрытой переменной (просто смоделируйте систему до этого момента времени, а затем измерьте!). Таким образом, единственный источник трудностей заключается в корреляциях между значениями скрытых переменных в разное время. В той же статье я также показал, что вычисление траектории со скрытой переменной , вероятно, все еще не позволит вам решать NP-полные задачи за полиномиальное время: все, что он сделает, — это ускорит вычисление квадратного корня алгоритма Гровера до кубического. коренное улучшение! Таким образом, вычисление траекторий со скрытыми переменными представляет собой один из немногих известных мне примеров вычислительной задачи, которая обобщает возможности квантового компьютера, но лишь «слегка».

Похоже, было очень мало других работ на стыке квантовых вычислений и бомовской механики. Одна из причин этого заключается в том, что бомовская механика естественным образом живет в непрерывном гильбертовом пространстве положений частиц, тогда как квантовые вычисления естественным образом живут в конечномерном гильбертовом пространстве кубитов. Вторая причина заключается в том, что если вы возьмете стандартный квантовый алгоритм (например, алгоритм Шора) и попытаетесь посмотреть на траекторию скрытой переменной во время работы алгоритма, вы не получите практически никакой дополнительной информации. Вы просто увидите, что экспоненциально большая волновая функция «выполняет всю работу», в то время как скрытая переменная прыгает поверх нее как почти комично неуместный пух.

Позвольте мне сначала упомянуть недавнюю статью о квантовых вычислениях в интерпретации Бома — http://arxiv.org/abs/1205.2563 , FWIW, хотя я не могу сейчас комментировать ее, извините.

Еще одна вещь. Как заметил Nightlight в своих сообщениях о скрытых переменных, существует готовый математический трюк (расширение линеаризации Карлемана), который встраивает систему дифференциальных уравнений в частных производных в квантовую теорию поля (см., например, мою статью в Int. 'l Journal of Quantum Information ( akhmeteli.org/akh-prepr-ws-ijqi2.pdf ), конец раздела 3 и ссылки там. Также имеется существенно обновленная версия на arxiv.org/abs/1111.4630).

Nightlight также упомянул, что это может означать для квантовых вычислений. Можно представить себе ситуацию, когда Природа правильно описывается квантовой теорией поля (КТП), тогда как на самом деле в Природе реализуется лишь ограниченное подмножество всего множества состояний КТП, то подмножество, которое правильно описывается (классической) системы дифференциальных уравнений в частных производных, поэтому существуют очевидные ограничения скорости квантовых вычислений. Конечно, это в высшей степени гипотетично, но, возможно, весьма актуально для поставленного выше вопроса о взаимосвязи между квантовыми вычислениями и основами квантовой теории.